Các chuyên đề luyện thi thpt quốc gia môn toán

Các chuyên đề
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

y
y=

1
x

y = x2

4
y=

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu

8
x

y=
2

x2
8

THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 07 - 2015

1

O

1

2

4

x

c
Copyright 2015
by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.

Nguyễn Minh Hiếu

2

Mục lục
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§1. Đa Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§2. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§3. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§4. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§5. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§6. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§1. Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§5. Điểm Thuộc Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chuyên đề 3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§1. Lũy Thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§2. Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§4. Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§5. Phương Trình, Bất Phương Trình Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§6. Hệ Phương Trình Mũ Và Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chuyên đề 4. Hình Học Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Thể Tích Khối Đa Diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Mặt Cầu, Mặt Trụ, Mặt Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Quan Hệ Vuông Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
29
31
32
33

Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§1. Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§5. Tích Phân Của Các Hàm Số Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Chuyên đề 6. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chuyên đề 7. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§1. Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§2. Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3

Nguyễn Minh Hiếu
§3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Phương Trình Mặt Cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Bài Toán Tổng Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
59
60

Chuyên đề 8. Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§1. Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§2. Công Thức Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
§3. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§4. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
§5. Phương Trình Lượng Giác Khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Chuyên đề 9. Tổ Hợp - Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§2. Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§3. Nhị Thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chuyên đề 10. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§2. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§3. Tam Giác Và Tứ Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§4. Phương Trình Đường Tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§5. Phương Trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Chuyên đề 11. Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . 89
§1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
§2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§3. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
§5. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§6. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức, Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất . . . . . . . . . . . . .
§1. Một Số Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Một Số Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức AM − GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Kỹ Thuật Đánh Giá Để Sử Dụng Phương Pháp Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

97
97
98
99
103

Chuyên đề 1

Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị
Hàm Số
§1. Đa Thức
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phép chia đa thức.
Định nghĩa 1.1. Cho hai đa thức f (x) và g(x), trong đó bậc f (x) > bậc g(x). Nếu tồn tại hai đa thức
h(x) và r(x) sao cho f (x) = g(x)h(x) + r(x) thì ta nói phép chia đa thức f (x) cho đa thức g(x) được đa
f (x)
r(x)
thức h(x) và dư đa thức r(x). Ta còn viết
= h(x) +
.
g(x)
g(x)
Định lý 1.2. (Bézout) Dư trong phép chia đa thức f (x) cho x − c là f (c).
Hệ quả. Nếu f (c) = 0 thì đa thức f (x) chia hết cho x − c, ta có phân tích f (x) = (x − c)h(x).
2. Sơ đồ Horner.
Khi chia đa thức f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + ak xn−k + ... + an cho x − c ta được thương h(x) =
b0 xn−1 + b1 xn−2 + ... + bk xn−k−1 + ... + bn−1 và(dư r(x) = bn . Các hệ số của h(x) thỏa mãn sơ đồ Horner
b0 = a0
a0 a1 ... ak ... an
, trong đó
.
sau :
c b0 b1 ... bk ... bn
bk = cbk−1 + ak (k > 1)
3. Định lý về dấu tam thức bậc hai.
Định lý 1.3. Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) có ∆ = b2 − 4ac.
• Nếu ∆ < 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R;
b
• Nếu ∆ = 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 6= − ;
2a
• Nếu ∆ > 0 thì f (x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1 < x2 ). Khi đó f (x) trái dấu với hệ số a với mọi x
nằm trong khoảng (x1 ; x2 ) (tức là với x1 < x < x2 ), và f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài
đoạn [x1 ; x2 ] (tức là x < x1 hoặc x > x2 ).

B. Kỹ Năng Cơ Bản.
1. Chia đa thức.
f (x) g(x)
...
h(x)
r(x)
• C2 : Sử dụng sơ đồ Horner (chỉ sử dụng khi chia f (x) cho x − c).
2. Xét dấu biểu thức.
• Tam thức bậc hai :
∆ 6 0 : "Luôn cùng dấu với a".
∆ > 0 : "Trong trái, ngoài cùng".
• Đa thức bậc n có đủ n nghiệm :
"Phải cùng, đan dấu".
• Đa thức bậc n có ít hơn n nghiệm :
Dấu f (x) trên (xi ; xi+1 ) là dấu f (c), trong đó c ∈ (xi ; xi+1 ).
• Tích thương các nhị thức, tam thức : Lập bảng xét dấu chung cho các nhị thức, tam thức.
• C1 : Thực hiện chia theo sơ đồ sau :

5

Nguyễn Minh Hiếu

C. Bài Tập
1.1. Thực hiện chia các đa thức sau :
a) f (x) = x3 + 3x2 − 4x + 5 cho x + 2;
c) f (x) = −x4 − 3x2 − 5x + 9 cho x − 1;

b) f (x) = −3x3 + 5x2 − 8x + 6 cho x − 1;
d) f (x) = x4 − 3x3 + x + 2 cho x2 − x + 1.

1.2. Xét dấu các biểu thức sau :
a) f (x) = 1 − 4x;
c) f (x) = x2 − 6x + 9;

b) f (x) = x2 + 4x + 3;
d) f (x) = −3x2 + x − 4.

1.3. Xét dấu các biểu thức sau :
a) f (x) = x3 + 2x2 − x − 2;
c) f (x) = x4 + x3 − 3x2 − x + 2;

b) f (x) = −x3 + 3x2 + 6x − 8;
d) f (x) = x4 − x3 − 6x2 + 4x + 8.

1.4. Xét dấu các biểu thức sau :
(x − 1)(3 − 4x)
a) f (x) =
;
x+2
2
(x − 1)(x + 4x + 4)
c) f (x) =
;
x2 − 4x − 5

(x − 2)(3 − x)
;
x2 + 4x − 5
2x + 3 x − 6
d) f (x) =
−
.
x−1
x+2
b) f (x) =

§2. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.4. Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.
• Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 );
• Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
Lưu ý.
• Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;
• Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.
Định lý 1.5. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) đồng biến trên I;
• Nếu f 0 (x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) nghịch biến trên I;
• Nếu f 0 (x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) không đổi trên I.
Lưu ý.
• Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ I và f 0 (x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f (x) đồng biến trên I.
• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung : "Hàm số
y = f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó".

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y 0 . Tìm các điểm tại đó y 0 bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
• Tìm tập xác định Df .
• Tính y 0 và chỉ ra y 0 > 0, ∀x ∈ Df (hoặc y 0 6 0, ∀x ∈ Df ).

C. Bài Tập
1.5. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau :
a) y = x3 − 3x2 + 1;
b) y = −2x3 + 3x2 + 1;
d) y = −x3 + 3x2 − 4x + 2;
e) y = x3 + 3x2 + 3x;
x+2
x2 − 2x + 2
g) y =
;
h) y =
;
x+1
x−1
6

c) y = −2x4 + 4x2 + 2;
f) y = x4 − 6x2 + 8x + 1;
√
i) y = x2 + 6x − 7.

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
1.6. Tìm m để hàm số y = −x3 + (m − 1)x2 − (m − 1)x + 9 luôn nghịch biến trên R.
1.7. Tìm m để hàm số y = mx3 + (3 − m)x2 + 2x + 2 luôn đồng biến trên R.
mx − 2
1.8. Tìm m để hàm số y =
luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
x+m−3
mx − 3
1.9. Tìm m để hàm số y =
đồng biến trên (2; +∞).
x+m−4
1.10. Tìm m để hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + (m2 + 2m)x + 1 đồng biến trên (0; +∞).
1.11. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

§3. Cực Trị Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.6. Giả sử hàm số f xác định trên tập D và x0 ∈ D.
• x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho
(a; b) ⊂ D và f (x) < f (x0 ), ∀x ∈ (a; b)\{x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ;
• x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho
(a; b) ⊂ D và f (x) > f (x0 ), ∀x ∈ (a; b)\{x0 }. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được
gọi chung là cực trị.
Định lý 1.7. Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 . Khi đó, nếu y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì
f 0 (x0 ) = 0.
Định lý 1.8. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a; x0 ),
(x0 ; b). Khi đó :
• Nếu f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) và f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0 ;
• Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) và f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0 .
Định lý 1.9. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại
x0 . Khi đó:
f 0 (x0 ) = 0
thì hàm số đạt cực đại tại x0 ;
• Nếu
f 00 (x0 ) < 0
 0
f (x0 ) = 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
• Nếu
f 00 (x0 ) > 0
Lưu ý. Nếu f 00 (x0 ) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x0 .

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y 0 . Tìm các điểm tại đó y 0 bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có cực trị.
• Tính y 0 ; ∆y0 .
• Hàm số có cực trị ⇔ ∆y0 > 0; hàm số không có cực trị ⇔ ∆y0 6 0.
3. Điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) có k cực trị.
"
x=0

0
0
3
2
• Tính y = 4ax + 2bx = 2x 2ax + b ; y = 0 ⇔
b .
x2 = −
2a
b
b
• Hàm số có ba cực trị ⇔ −
> 0; hàm số có một cực trị ⇔ −
6 0.
2a
2a
4. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 .
• Tính y 0 ; hàm số đạt cực trị tại x0 ⇒ y 0 (x0 ) = 0 ⇒ m.
• Tính y 00 ; thay m và x0 vào y 00 để kết luận.
Lưu ý. Nếu y 00 (x0 ) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y 0 để kết luận.
7

Nguyễn Minh Hiếu

C. Bài Tập
1.12. Tìm cực trị của các hàm số sau :
a) y = x3 − 3x + 1;
b) y = −2x3 + 3x2 + 1;
3
2
d) y = x + 3x + 4x − 2;
e) y = x4 − 8x2 − 1;
2x − 1
−x2 + 4x − 5
g) y =
;
h) y =
;
x+1
x−2

c) y = −x3 + 3x2 − 3x + 1;
f) y = 2x4 − 4x2 + 3;
√
i) y = 5 − 4x − x2 .

1.13. Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 + (m − 1)x + 2 có cực trị.
1
1.14. Tìm m để hàm số y = (m − 1)x3 + (m − 2)x2 − 4x + 1 không có cực trị.
3
1.15. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(2m − 1)x2 + 3 có đúng một cực trị.
1.16. Tìm m để hàm số y = x4 + 2(m2 − 1)x2 + 2 có ba điểm cực trị.
1.17. Tìm m để hàm số y = x3 − (m − 1)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2.
1
1.18. Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m + 1)x + 1 đạt cực đại tại x = 1.
3
1.19. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(m − 2)x2 + m − 3 đạt cực đại tại x = 0.

§4. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.10. Giảsử hàm số f xác định trên tập hợp D. Khi đó :
f (x) 6 M, ∀x ∈ D
;
• M = max f (x) ⇔
∃x
x∈D
0 ∈ D : M = f (x0 )

f (x) > m, ∀x ∈ D
.
• m = min f (x) ⇔
∃x0 ∈ D : m = f (x0 )
x∈D
Lưu ý.
• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b].
• Tính y 0 , y 0 = 0 ⇒ xi ∈ [a; b].
• Tính y(a), y(b), y(xi ); so sánh và kết luận.
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.
• Tính y 0 , y 0 = 0 ⇒ xi ∈ D.
• Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

C. Bài Tập
1.20. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y = −x3 + 3x2 − 1 trên [−2; 3];
b) y = x3 − 3x + 4 trên [0; 3];
c) y = 2x4 − 16x2 − 1 trên [−4; 1];
d) y = 1 + 4x3 − 3x4 trên [−2; 1];
x+2
e) y =
trên [0; 2];
f) y = x3 + 3x2 + 5x − 1 trên [−1; 2].
2x + 1
1.21. Tìm giá trị lớn nhất và
trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
h giá
√
πi
4
a) y = x + 2 cos x trên 0; ;
b) y = 2 sin x − sin3 x trên [0; π];
2
3
c) y = sin4 x − 4 sin2 x + 5;
d) y = sin4 x + cos4 x.
8

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
1.22. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau :
x−1
b) y =
trên [−1; 2);
a) y = x3 − 6x2 + 1 trên (1; 5);
x+3
1
d) y = −x4 − 2x2 + 3;
c) y = x − 5 + trên (0; +∞);
x
√
x2 − 2x
f) y = x + 4 − x2 .
e) y =
;
x−1
1.23. Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắn
nhất và tính khoảng cách đó.
1.24. Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 − (m − 1)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 3).
1
1
1.25. Tìm m để hàm số y = mx3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + đồng biến trên nửa khoảng [2; +∞).
3
3

§5. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.11. Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x)
nếu lim f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0 .
x→+∞

x→−∞

Định nghĩa 1.12. Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x)
nếu lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞ hoặc lim f (x) = −∞.
x→x+
0

x→x+
0

x→x−
0

x→x−
0

Định nghĩa 1.13. Đường thẳng y = ax + b, (a 6= 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số y = f (x) nếu lim [f (x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim [f (x) − (ax + b)] = 0.
x→+∞

x→−∞

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Tìm lim f (x) ⇒TCN.
x→±∞

• Tìm lim f (x) ⇒TCĐ.
x→x±
0

Lưu ý. x0 thường là một nghiệm của mẫu.
2. Tìm tiệm cận xiên.
• C1 : Viết lại hàm số dưới dạng y = ax + b + g(x). Chỉ ra lim [y − (ax + b)] = 0 ⇒TCX.
x→±∞

f (x)
• C2 : Tính a = lim
và b = lim [f (x) − ax] ⇒TCX.
x→∞
x→±∞ x

C. Bài Tập
1.26. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau :
2x − 3
3 − 4x
a) y =
;
b) y =
;
x
+
2
√
√x + 1
x+3
x2 + x
e) y =
;
d) y =
;
x+1
x−1
√
x2 − 4x + 4
h) y = x2 + x − 1;
g) y =
;
1−x

c) y =

x+2
;
1−x

f) y = 2x − 1 +
i) y = x +

√

1
;
x

x2 + 2x.

1.27. Tìm m để hàm số y =

mx2 − 2m(m − 1)x − 3m2 + m − 2
có tiệm cận xiên qua A(−1; −3).
x+2

1.28. Tìm m để hàm số y =

2x2 + (m + 1) x − 3
có giao hai tiệm cận nằm trên (P ) : y = x2 + 2x − 1.
x+m
9

Nguyễn Minh Hiếu


mx2 + 1 − m2 x − 1
1.29. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =
bằng 450 .
x−m
1.30. Tìm m để đồ thị hàm số y =

x2 + mx − 1
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có
x−1

diện tích bằng 4.

§6. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Điểm uốn.
Định nghĩa 1.14. Điểm U (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x) nếu tồn tại một
khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b) tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Mệnh đề 1.15. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x0 , f 00 (x0 ) = 0 và f 00 (x)
đổi dấu khi qua điểm x0 thì U (x0 ; f (x0 )) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x).
2. Sơ đồ khảo sát tổng quát.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên.
• Giới hạn, tiệm cận (nếu có).
• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị).
3. Đồ thị.
• Tương giao với các trục.
• Tính đối xứng (nếu có).
• Điểm đặc biệt (nếu cần).

B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
1. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0).
y

2. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0)

y

U

3. Hàm số y =
y

y

U
x

O

y

x

O

ax + b
(c 6= 0, ad − bc 6= 0)
cx + d
y

I

x

O

4. Hàm số y =
y

ax2 + bx + c
(a 6= 0, d 6= 0)
dx + e
y

I
I

O

x

O

x

O

x

10

O

I
x

O

x

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

C. Bài Tập
1.31. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a) y = x3 + 3x2 − 4;

b) y = −x3 + 3x − 2;

d) y = x3 + 3x2 + 3x + 1;

e) y = x3 + x − 2;

1
5
c) y = x3 − x2 − 3x − ;
3
3
f) y = −2x3 − x − 3.

1.32. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a) y = −x4 + 2x2 − 2;
b) y = 2x4 − 4x2 + 1;
4
2
d) y = x + 2x − 1;
e) y = −2x4 − 4x2 + 1;

c) y = x4 − 4x2 + 3;
f) y = 3 − 2x2 − x4 .

1.33. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
x−2
x+3
a) y =
;
b) y =
;
x−1
x+1
x−2
2−x
d) y =
;
e) y =
;
x+1
x+1

x−3
;
2−x
−x + 2
f) y =
.
2x + 1
c) y =

1.34. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
x2 + 2x + 2
2x2 − x + 1
a) y =
;
b) y =
;
x+1
1−x
x2 − 2x
−x2 − 2x
d) y =
;
e) y =
;
x−1
x+1

1
;
x+1
1
.
f) y = −x + 2 +
x−1

c) y = x − 1 +

CÁC BÀI TOÁN THI
1.35. (THPTQG-2015) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x.
1.36. (THPTQG-2015) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x +
1.37. (A-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

4
trên đoạn [1; 3].
x

x+2
.
x−1

1.38. (B-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 1.
1.39. (D-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x − 2.
1.40. (CĐ-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 − 1.
√
√
1.41. (CĐ-2014) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 x + 5 − x.
1.42. (A-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 − 1.
1.43. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
1.44. (B-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 6x.
1.45. (D-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1.
1.46. (D-2013) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =
1.47. (CĐ-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

2x2 − 3x + 3
trên đoạn [0; 2].
x+1

2x + 1
.
x−1

1.48. (A-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 .
1.49. (B-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 3.
2
2
1.50. (D-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x2 − 4x + .
3
3
1.51. (CĐ-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
11

2x + 3
.
x+1

Nguyễn Minh Hiếu

1.52. (A-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

−x + 1
.
2x − 1

1.53. (B-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 .
1.54. (D-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

2x + 1
.
x+1

1.55. (D-2011) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2x2 + 3x + 3
trên đoạn [0; 2].
x+1

1
1.56. (CĐ-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = − x3 + 2x2 − 3x + 1.
3
1.57. (A-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + 1.
1.58. (B-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

2x + 1
.
x+1

1.59. (D-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 6.
1.60. (CĐ-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 1.
1.61. (A-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

x+2
.
2x + 3

1.62. (B-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2 .
1.63. (D-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 .
1.64. (CĐ-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2.

ĐÁP SỐ
√
√
[1.6] 1 6 m 6 4 [1.7] 6 − 3 3 6 m 6 6 + 3 3 [1.8] 1 < m < 2 [1.9] m > 3 [1.10] m = 1; x 6 −2
9
1
[1.11] m = [1.13] m < 4 [1.14] m = 0 [1.15] m 6 [1.16] −1 < m < 1 [1.17] m = 3 [1.18] m = 2
4
2
2
3
[1.19] m 6 0 [1.23] M (−1; 1) [1.24] m > 10 [1.25] m > [1.27] m = − [1.28] m = 1; m = −2 [1.29]
3
2
√
m = −1 [1.30] m = −1 ± 2 3 [1.36] max f (x) = f (3) = 5; min f (x) = f (2) = 4 [1.41] max f (x) =
[1;3]
[1;3]
[0;5]
√
f (4) = 5; min f (x) = f (0) = 5 [1.43] m 6 −1 [1.46] max f (x) = f (0) = 3; min f (x) = f (1) = 1
[0;5]

[0;2]

17
[1.55] max y = y (2) = ; min y = y (0) = 3.
3 [0;2]
[0;2]

12

[0;2]

Chuyên đề 2

Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát
Hàm Số
§1. Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước
A. Phương Pháp
• Chỉ ra điều kiện để hàm số có cực trị.
• Tìm các điểm cực trị.
• Chỉ ra điều kiện để cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lưu ý. Nếu phương trình y 0 có nghiệm phức tạp thì gọi nghiệm là x1 , x2 và sử dụng Định lý Vi-ét.

B. Bài Tập
2.1. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa |x1 − x2 | 6 2.
2.2. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + 1 đạt trị tại các điểm có hoành độ dương.
2.3. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 1 có cực đại cực tiểu nằm về hai phía trục hoành.
2.4. Tìm m để hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực trị đồng thời giá trị cực đại của
hàm số lớn hơn 1.
3
2
2.5. Tìm m để
√ hàm số y = −x + 3x + 3m(m + 2)x + 1 có hai điểm cực trị đồng thời khoảng cách giữa
chúng bằng 2 5.

2.6. Tìm m để hàm số y = x3 −3mx−3m+1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x−y = 0.
3
1
2.7. Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
2
2
2.8. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − (m + 1)x + 2 có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng qua hai
điểm cực trị tạo với đường thẳng d : y = 2x + 3 một góc 450 .
2.9. Tìm m để hàm số y = x4 − 2m2 x2 + 1 có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông.
2.10. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
2.11. Tìm m để hàm số y =

1 4
x + 4mx2 + 4m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích
2

bằng 16.
4
2
2.12.
 Tìm m để hàm số y = −x + 4mx − 4m có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác nhận điểm
1
H 0; −
làm trực tâm.
2

13

Nguyễn Minh Hiếu

§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Giao điểm của hai đồ thị.
• Hoành độ giao điểm của (C1 ) : y = f (x) và (C2 ) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f (x) = g(x).
• Số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) bằng số nghiệm của phương trình f (x) = g(x).
Lưu ý. Phương trình f (x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.
(
f (x) = g(x)
• Hoành độ điểm tiếp xúc của (C1 ) và (C2 ) là nghiệm của hệ phương trình
f 0 (x) = g 0 (x)

.

B. Bài Tập
2.13. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − 2 và parabol y = x2 − 4x + 2.
2.14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9.
2.15. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 3)x2 + 18mx − 8 tiếp xúc với trục hoành.
2.16. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
2.17. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.
2.18. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ dương.
2.19. Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = −2x3 + 6x2 + 1 tại ba điểm phân biệt
A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm AC.
3 − 6mx2 + 9(2 − m)x − 2 tại ba
2.20. Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt đồ thị hàm số y = (2 − m)x√
điểm phân biệt A(0; −2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 13.

2.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + (3 − m)x + 3 − m cắt đường thẳng y = −14 tại ba điểm
phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn −9.
2.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 3(1 − m)x + 1 + 3m cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành
độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x1 < 1 < x2 < x3 .
2.23. Tìm m để đồ thị hàm số y = (m − 1)x4 − 2x2 + 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
2.24. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
2.25. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành
độ lập thành cấp số cộng.
2.26. Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =

2x − 1
tại hai điểm phân biệt.
x−1

2.27. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =

2x − 1
tại hai điểm
x+1

thuộc hai nhánh phân biệt.
2.28. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y =

x+3
x+1

tại hai điểm phân biệt M, N . Xác định m sao cho độ dài M N là nhỏ nhất.
2.29. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y =
cho tam giác OAB vuông tại O.
14

2x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B sao
x+1

Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0 ; y0 ) là k = y 0 (x0 ).
• Phương trình tiếp tuyến tại M (x0 ; y0 ) là y = y 0 (x0 ) (x − x0 ) + y0 .

B. Các Dạng Tiếp Tuyến
1. Tiếp tuyến tại điểm M (x0 ; y0 ).
• Tính y 0 ⇒ y 0 (x0 ) ⇒ PTTT.
Lưu ý.
∗ Nếu đề chỉ cho x0 thì gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ) và tính y0 = y(x0 ).
∗ Nếu đề chỉ cho y0 thì gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ) và giải phương trình y0 = y(x0 ) ⇒ x0 .
∗ Nếu đề chưa cho x0 , y0 thì gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0 .
2. Tiếp tuyến biết hệ số góc k.
• Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ); Tính y 0 ; Giải phương trình y 0 (x0 ) = k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ PTTT.
Lưu ý.
∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆ .
1
∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − .
k∆

C. Bài Tập
2.30. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 1 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ x = 3.
2.31. Cho hàm số y =
y = −3.

x−3
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
x+1

x+2
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C)
x−1
và đường thẳng y = −x + 6.

2.32. Cho hàm số y =

2.33. Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm
có hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2).
2.34. Cho hàm số y = x3 + 1 − m (x + 1) có đồ thị (Cm). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm)
tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có
diện tích bằng 8.
2.35. Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến qua điểm M (−1; 6).
2.36. Cho hàm số y =

x+2
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến qua
x−2

điểm A(−6; 5).
x−1
có đồ thị (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C)
2(x + 1)
tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0.
2.37. Cho hàm số y =

x+3
có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của
x+1
(C) tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm P Q.
2.38. Cho hàm số y =

2.39. Cho hàm số y = x3 − 12x + 12 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được ba
tiếp tuyến đến (C).
15

Nguyễn Minh Hiếu

2.40. Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp
x−2

tuyến bằng −5.
−x + 3
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song
2x − 1
song với đường phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ.

2.41. Cho hàm số y =

2.42. Cho hàm số y = −x4 − x2 + 6 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng d : x − 6y + 5 = 0.
x
2.43. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến và hai
x−1
tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
2.44. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị (Cm ). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba
điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
2x + 3
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm
x−2
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
2.45. Cho hàm số y =

§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị
A. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Dựa vào đồ thị (C) : y = f (x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x, m) = 0.
• Đưa phương trình về dạng f (x) = k(m).
• Vẽ đường thẳng y = k(m) bất kỳ song song với trục Ox.
• Số nghiệm phương trình g(x, m) = 0 là số giao điểm của (C) với đường thẳng y = k(m).
• Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận.
2. Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|).
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy.
• Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy.
3. Vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)|.
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x).
• Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox.

B. Bài Tập
2.46. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1. Biện luận theo m số nghiệm của
phương trình x3 − 3x2 − m = 0.
2.47. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 −3x2 +1. Tìm m để phương trình 4x3 −6x2 −m = 0
có ba nghiệm phân biệt.
2.48. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3. Biện luận theo m số nghiệm của
phương trình x4 − 2x2 + m − 1 = 0.
1
2.49. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 −4x2 +3. Tìm m để phương trình x4 −2x2 +m = 0
2
có bốn nghiệm phân biệt.
2.50. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x3 + 3x2 − 2. Tìm m để phương trình 2|x|3 −
3x2 + 2 (m + 1) = 0 có đúng bốn nghiệm.
2.51. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x − 1. Tìm m để phương trình sau có ba
nghiệm phân biệt |x|3 − 3|x| + (m − 1)2 = 0.
2.52. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4. Tìm m để phương trình sau có bốn
nghiệm phân biệt |x − 1|3 − 3(x − 1)2 − m = 0.
16

Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số


2.53. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 1. Tìm m để phương trình x3 − 3x + 1 −
2m2 + m = 0 có ba nghiệm phân biệt.


2.54. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 −4x2 +3. Tìm m để phương trình x4 − 4x3 + 3 =
m có đúng tám nghiệm.
2.55. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 4. Biện luận theo m số nghiệm của
m
phương trình (x + 2)2 =
.
|x − 1|

§5. Điểm Thuộc Đồ Thị
2.56. Tìm m để đồ thị hàm số y =

m2 x − 2
qua điểm A (2; 6).
x−1

2.57. Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 6x2 + 9x là tâm đối xứng của nó.
2.58. Tìm m để đồ thị hàm số y = −

x3
+ 3x2 − 2 nhận I (1; 0) làm điểm uốn.
m

2.59. Tìm trên đồ thị hàm số y =

2x − 1
các điểm có tọa độ nguyên.
x−1

2.60. Tìm trên đồ thị hàm số y =

−x2 + 3x − 1
các điểm có toạ độ nguyên.
x−1





2.61. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) : y = x3 + 2 (m − 1) x2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 .
2.62. Tìm trên đồ thị hàm số y =

3x + 1
hai điểm đối xứng nhau qua M (−2; −1).
x−2

x+1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua
x−1
đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0.
2.63. Cho hàm số y =

2.64. Tìm trên đồ thị hàm số y =

x
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
x+1

d : 3x + 4y = 0 bằng 1.
2.65. Cho hàm số y =

4x + 1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
x+1

x2 − x + 1
. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao
x−1
điểm I của hai tiệm cận là nhỏ nhất.

2.66. Cho hàm số y =

2.67. Cho hàm số y =

3x − 5
có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai
x−2

tiệm cận là nhỏ nhất.
2.68. Cho hàm số y =

x−1
có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục
x+1

toạ độ là nhỏ nhất.
2.69. Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị hàm số y =

x−2
có khoảng cách bé nhất.
x−1

CÁC BÀI TOÁN THI
x+2
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách
x − 1√
từ M đến đường thẳng y = −x bằng 2.

2.70. (A-2014) Cho hàm số y =

17

Nguyễn Minh Hiếu
2.71. (B-2014) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 1 có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác
ABC cân tại A, biết A(2; 3).
2.72. (D-2014) Cho hàm số y = x3 − 3x − 2 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.
2.73. (CĐ-2014) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x = 1.
2.74. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
2.75. (B-2013) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị A và B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
2.76. (D-2013) Tìm m để đường thẳng y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số y = 2x3 − 3mx2 + (m − 1)x + 1 tại
ba điểm phân biệt.
2x + 1
có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Tiếp
x−1
tuyến của (C) tại M cắt các trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
2.77. (CĐ-2013) Cho hàm số y =

2.78. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của
một tam giác vuông.
2.79. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 48.


2
2
2.80. (D-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 − 2 3m2 − 1 x + có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho
3
3
x1 x2 + 2 (x1 + x2 ) = 1.
2.81. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y =

2x + 3
, biết d vuông góc với đường
x+1

thẳng y = x + 2.
−x + 1
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn
2x − 1
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C)
tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
2.82. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =

2.83. (B-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC,
trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung.
2.84. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1
tại hai điểm phân
x+1

biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
1
2.85. (CĐ-2011) Cho hàm số y = − x3 + 2x2 − 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
3
(C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
2.86. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện x21 + x22 + x23 < 4.
2x + 1
2.87. (B-2010) Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt
x+1
√
A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3, O là gốc tọa độ.
2.88. (D-2010) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông
1
góc với đường thẳng y = x + 1.
6
2.89. (CĐ-2010) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 1 tại điểm có hoành độ
bằng −1.
18

Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số
x+2
, biết tiếp tuyến đó cắt trục
2x + 3
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

2.90. (A-2009) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

4
2
2.91. (B-2009) Khảo
 2 sát
 sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x − 4x . Với các giá trị nào của m,
2
phương trình x x − 2 = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.

2.92. (B-2009) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y =
A, B sao cho AB = 4.

x2 − 1
tại hai điểm phân biệt
x

2.93. (D-2009) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m tại bốn điểm
phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
2.94. (CĐ-2009) Tìm m để hàm số y = x3 − (2m − 1)x2 + (2 − m)x + 2 có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực trị có hoành độ dương.

ĐÁP SỐ
√

√

1
3
3 < m < 1 [2.2] m > 0 [2.3] m > √
[2.4] m > − , m 6= 0
3
2
4
√
√
1
1
[2.7] m = ± 2 [2.8] =
[2.9] m = ±1 [2.10] m = 3 3 [2.11]
[2.5] m = 0; m = −2 [2.6] m =
3
2
√
35
1
1
m = −1 [2.12] m = 1 [2.14] m = 0 [2.15] m =
; m = 1; m = 4 ± 2 6 [2.16] − < m < , m 6= 0
27
6
2
√
14
[2.17] m > −3 [2.18] −2 + 4 2 < m < 4 [2.19] m = 4 [2.20]m = 14; m =
[2.21] 12 < m < 62
3
3
1
12
[2.22] m > 1 [2.23] 1 < m <
[2.24] m = 1; m <
[2.25] m = 12; m = −
[2.26] m > 5;
2
2
19
5
m < 1 [2.27] m < 0 [2.28] m = 3 [2.29] m = − [2.30] y = 9x − 26 [2.31] y = 4x − 3 [2.32]
3
√
√
1
5
y = −3x + 10; y = − x + 4 [2.33] m = [2.34] 9 ± 4 5; −7 ± 4 3 [2.35] y = 6; y = −9x − 3 [2.36]
3

8 

1
1 3
3 5
4
y = −x−1; y = − x [2.37] M − ; −
M − ;
[2.39] m < −4; m > , m 6= 2 [2.40] y = −5x+2;
4
3
√ 2 2
√ 2 2
y = −5x +√22 [2.41] y = −x + 5; y = −x − 5 [2.42] y = −6x + 10 [2.43] y = −x; y = −x + 4 [2.44]
9 ± 65
1
m =
[2.45] m = −2 [2.47] −2 < m < 0 [2.49] 0 < m < 2 [2.50] −1 < m < − [2.51]
8
2
1
3
m = 1 [2.52] −4 < m < 0 [2.53] m = −1; m = 0; m = ; m =
[2.54] 0 < m < 1 [2.56]
2
2
m = ±2 [2.58] m = 1 [2.59] M (0; 1); M (2; 3) [2.60] M (0; 1); M (2; 1) [2.61] M (2; 0) [2.62] M!(1; −4);
√
√




−6 ± 21 43 ∓ 3 21
1
5 5
; M − ;− ; M
;
[2.65]
M (−5; 2) [2.63] A (0; −1) , B (2; 3) [2.64] M 1;
2
3 2
3
52
√
√ !
√
√ !


√
3 ± 13 3 ± 13
−5 ± 21 5 ± 21
1
1
4
√
M
;
; M
;
[2.66] M 1 ± √
;
1
±
2
±
[2.67] M (3; 4);
4
4
2
2
2
2
2
2
√
√
1
M (1; 2) [2.68] M ( 2 − 1; 1 − 2) [2.69] M (0; 2); M (2; 0) [2.70] M (0; −2); M (−2; 0) [2.71] m = [2.72]
2
8
M (2; 0); M (−2; −4) [2.73] y = 3x − 2 [2.74] m 6 −1 [2.75] m = 0; m = 2 [2.76] m < 0; m > [2.77]
9
121
2
S =
[2.78] m = 0 [2.79] m = ±2 [2.80] m =
[2.81] y = −x + 3; y = −x − 1 [2.82] m = −1
6
3
√
1
[2.83] m = 2 ± 2 2 [2.84] k = −3 [2.85] y = −3x + 1 [2.86] − < m < 1, m 6= 0 [2.87] m = ±2
4
√
[2.88] y = −6x + 10 [2.89] y = −3x − 2 [2.90] y = −x − 2 [2.91] 0 < m < 1 [2.92] m = ±2 6 [2.93]
1
5
− < m < 1; m 6= 0 [2.94] < m < 2.
3
4
[2.1] −3 < m < −1 −

3; −1 +

19

Nguyễn Minh Hiếu

20