Chuyên đề 5 tích phân
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
CHUYÊN ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1 TÍCH PHÂN
Khái niệm tích phân
—
Cho hàm số f ( x) liên tục trên K và a, b K. Hàm số F( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x)
trên K thì F(b) F( a) được gọi là tích phân của f ( x) từ a đến b và được kí hiệu là
b
f ( x)dx
. Khi
a
b
đó: I f ( x) dx F( x) a F(b) F(a) , với a gọi là cận dưới, b là cận trên.
b
a
— Đối với biến số lấy tích phân, ta có thễ chọn bất kì một chư̂ khác nhau thay cho x , nghĩa là:
b
b
b
a
a
a
I f ( x) dx f (t ) dt f (u) du F(b) F( a).
— Nếu hàm số y f ( x) liên tục và không âm trên đoạn a; b thì diện tích S của hình thang cong
b
giới hạn bỡi đồ thị cũa y f ( x), trục Ox và hai đường thẳng x a, x b là: S f ( x) dx
a
Tính chất của tích phân
b
a
a
f ( x) dx f ( x) dx và
b
a
f ( x) dx 0.
b
b
k f ( x) dx k f ( x) dx, với ( k 0).
a
a
b
b
b
a
a
a
f ( x) g( x) dx f ( x) dx g(x) dx
b
a
a
c
b
a
c
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx
Dạng toán 1. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b
b
f ( x) u( x) dx F u( x) a F u(b) F u(a)
a
– Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t u( x) dt u( x) dx (xem lại các phương pháp
đỗi biến số trong phần nguyên hàm )
x b t u(b)
x a t u( a)
– Bước 2. Đổi cận:
(nhớ: đổi biến phải đổi cận)
u( b )
– Bước 3. Đưa về dạng I
f (t ) dt đơn giản hơn và dễ tính toán.
u( a )
BÀI TẬP VẬNDỤNG
BT 1. Tính các tích phân sau:
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 117
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Ph¬ng ph¸p
I1 f(ax b)n xdx
§ Æt t ax b dt a.dx
m
xn
Ph¬ng ph¸p
I
§ Æt t x n 1 1 dt (n 1)x n .dx
Dạng toán: 2 n 1 dx
ax 1
2
n
Ph¬ng ph¸p
2
I3 f(ax b) xdx § Æt t ax b dt 2ax.dx
1
a) I x.(1 x)19 dx.
ĐS: I
1
120
ĐS: I
1
168
ĐS: I
1
660
ĐS: I
1
168
0
1
5
b) I 2. x.(1 x 2 ) dx.
0
0
c) I x2 ( x 1)9 .dx.
1
1
d) I x5 .(1 x3 )6 dx.
0
1
x3
dx.
2
0 1 x
1
2
e) I
1
f)
x3
dx.
2 3
0 (1 x )
I
1
g) I
0
1
2
ĐS: I ln 2
ĐS: I
x5
dx.
x2 1
1
16
1
2
1
4
ĐS: I ln 2
1
h) I (1 3x) (1 2 x 3x2 )10 dx.
ĐS: I
0
611 1
22
BT 2. Tính các tích phân sau (phương pháp : đặt t n f ( x) t n f ( x) n.t n1 .dt f ( x).dx và đổi cận)
3
x
a) I
x1
0
8
3
ĐS: I
dx.
Đề thi dự bị THPT Quốc Gia năm 2015
1
b) I x 2 x2 .dx.
ĐS: I
0
2 2 1
3
Đề thi Đại học khối B năm 2013
7
c) I x. 3 1 x 2 dx.
ĐS: I
0
45
8
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Khuyến – Tp. Hồ Chí Minh
0
d) I ( x 1)2 . x 1. dx.
1
ĐS: I
142
105
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Trâi – Tp. Hồ Chí Minh
6
e) I
0
2dx
4x 1 1
ĐS: I 4 ln 3.
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 118
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nghèn – Hà Tĩnh
x 3 1
dx
x2
6
f)
I
1
ĐS: I 2 2 ln 2.
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần 1
2 x2 4 x 1
4
g) I
2x 1
0
dx
ĐS: I
478
15
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nă̂ng
3
0
dx
x1
x2
h) I e x
ĐS: I e 3
91
15
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – Lần 3
i)
I
2x 1
1
x2 x 1
1
5
j)
I
1
dx
dx
x 3x 1
ĐS: I 2.( 3 1).
ĐS: I 2 ln 3 ln 5.
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Bình Định
2
k) I
1
dx
x x 1
3
1
3
ĐS: I ln
32 2
2
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Mạc Đĩnh Chi – Tp. Hồ Chí Minh
4
l)
e
I
4 x +1
x
1
dx
ĐS: I
e9 – e5
2
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Du – Tp. Hồ Chí Minh
BT 3. Tính các tích phân sau (căn thức cũa logarit, mũ hoặc lượng giác):
e
a) I
1
b) I
ln x
x 1 ln x
e e
e3
ln 2 x
c) I
x ln x 1
1
e
1
e) I
I
g) I
ln 5
( e x 1)3
e2x
ln 2
e 1
ln 2
e 2 x dx
0
x
e 1
x
5
3
ĐS: I
76
15
ĐS: I
4
27
2
e x dx
42 2
3
ĐS: I
x 1 3ln x
3
dx
ĐS: I
dx
ln 3 x.dx
0
f)
3 2 ln x
x 1 2 ln x
1
d) I
dx
ĐS: I 2 1.
dx
ĐS: I
20
3
ĐS: I
2 2
3
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 119
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
h) I
ln 6
x
e dx
3
3 e x 2e x 7
0
i)
I
ln16
0
dx
4
e 4
x
ĐS: I ln
80
63
3
5
ĐS: I ln
2
j)
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
I cos x 3sin x 1 dx
ĐS: I
0
14
9
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Bình Thạnh – Tây Ninh
2
k) I (sin x 1 cos x )sin x.dx
4
ĐS: I
0
2
l)
sin 2 x sin x
I
1 3cos x
0
2
dx
sin 2 x.dx
m) I
cos x 4 sin x
2
0
2
ĐS: I
dx
2
n) I 6 1 cos3 x .sin x.cos 5 x.dx.
4 2 2
3
34
27
2
3
ĐS: I
ĐS: I
0
6
91
BT 4. Tính các tích phân sau (liên hợp và biến đỗi ):
2
xdx
a) I
x x2 1
1
1
x3 dx
b) I
x x 1
2
0
c) I
5
0
0
1
0
ĐS: I
dx
ĐS: I
253 5 5
60
4
ĐS: I
11
2 ln 2.
6
dx
1 x 1 x2
1
1 x x 1
2 x3 3x
0
x x2 3 4
2
2 x 3 3x 2 x
h) I
0
2
x2 x 1
2 1
3
1
g) I
i)
2
ĐS: I 3.
dx
1
I
x 4
2
1 1 x
1
e) I
x3
2 x x3
1
d) I
f)
4
x
7
3
ĐS: I 1.
dx
ĐS: I
dx
dx.
cos 2 x
I sin x sin x
dx
1 3cos x
0
3 2 ln( 2 1)
2
ĐS: I 2 4 ln 2.
4
3
ĐS: I
4
ĐS: I
118
405
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 120
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
4
I
j)
0
x
2
ĐS: I
dx.
1 x x
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
80
9
BT 5. Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t căn):
Bài toán tổng quát: Tính tích phân I f ( a2 x2 ) x2n dx , với n .
Phương pháp: Đặt x a sin t hoặc x a cos t.
Mấu chốt việc đặt ẩn phụ này là xuất phát từ công thức sin 2 t cos2 t 1 .
Thật vậy a2 x2 a2 a2 sin2 t a2 (1 sin2 t ) a cos2 t a cos t , ta sê tương tự
nếu đặt x a cos t. Mục đích chính của vi ệc đặt ẩn này là giúp khai căn d ễ
dàng.
a
a) I x2 a2 x2 dx , (a
).
ĐS: I
0
a
2
b) I
0
dx
a2 x2
, ( a 0)
1
c) I 1 x2 dx
6
ĐS: I
4
ĐS: I
0
d) I
1
1 x 2 dx
a 4
16
3
ĐS: I
1
2
3
8
2
e) I x2 4 x2 dx
ĐS: I .
0
1
I x2 1 x2 dx
f)
ĐS: I
16
ĐS: I
2
8
ĐS: I
1 2016 3 9
ln 2016
4
0
g) I
2
2
0
x2 dx
1 x
2
1 2016 x. 6 x x 2
dx
2016 x
0
3
h) I
2
I ( x 1) 4 x 2 dx
i)
8
3
ĐS: I .
0
BT 6. Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t căn):
Bài toán tổng quát: Tính tích phân I f ( x2 a2 )m x2 n dx , với
n , 2 m .
Phương pháp: Đặt x a tan t hoặc x a cot t.
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 121
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
1
Có phép đặt ẫn phụ này là xuất phát từ công thức tan2 t 1
nên biểu
cos2 t
x2 a2 a2 tan 2 t a2 a2 (tan 2 t 1)
thức:
a2
a
2
cos a cos a
Mục đích chính củ a việc đặt ẩn này là giúp khai căn d ễ dàng.
a
dx
a) I
, ( a 0)
x2 a2
0
a
b) I a2 x2 dx
ĐS: I ln(1 2).
ĐS: I
a2
2 ln( 2 1)
2
ĐS: I
a4
3 2 ln(1 2)
8
0
a
c) I x2 x2 a2 .dx , (a 0)
0
4
1
dx
2
0 1 x
d) I
ĐS: I
1
x3
dx
8
0 1 x
e) I
2
f)
dx
I
x2 4
0
ĐS: I
16
ĐS: I ln(1 2).
1
g) I x2 1.dx
ĐS: I
0
2
h) I x2 x2 4.dx.
2 1
ln(1 2).
2 2
ĐS: I 6 2 2ln(1 2).
0
i)
I
3
dx
3 x2
0
1
j)
x x1
2
2
x 2x 4
2
0
3
3
3
m) I
3
0
e
n) I
1
dx
dx
k) I
I
ĐS: I ln(1 2).
1
I
0
l)
1
(1 x )
2 3
x2
3 x2
dx
x 1 3ln x
2
32 3
3
1
2
ĐS: I ln(2 3) ln 3.
ĐS: I
3 1
2
3
2
dx
dx
ĐS: I ln
ĐS: I 2 2 ln
ĐS: I
2 2
2
3
ln(2 3).
3
BT 7. Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t căn):
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 122
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Bài toán tổng quát: Tính tích phân I f ( x2 a2 )m x2 n dx , với n .
Phương pháp: Đặt x
x2 a2
thức:
a
a
a
hoặc x
thì biểu
, chẳng hạn đặt x
cos t
sin t
cos t
a2
1 cos 2 t
sin 2 t
sin t
2
a
a
a
a
a tan t khi và chỉ khi
cos t
cos 2 t
cos 2 t
cos 2 t
sint và cost cùng dấu, nghĩa là t thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ ba
3
t 0; ;
2 2
2a
dx
a) I
, ( a 0).
x2 a2
a
ĐS: I ln(2 3).
2a
b) I x2 a2 dx , ( a 0).
a
3
c) I
x 2 1dx
ĐS: I
2
5
dx
x2 1
2
ĐS: I 10 ln 3.
ĐS: I ln(1 2).
x2 1
dx
x2
2
f)
I
1
5 2 1
ln(1 2).
2
2
3
3
9
2
d) I x2 9.dx.
e) I
1
ĐS: I a2 3 ln(2 3)
2
ĐS: I
3
ln(2 3).
2
BT 8. Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t căn):
ax
Ph¬ng ph¸p
A f
dx Đặt
a x
x a cos 2t
ax
a a cos 2t
2 sin 2 t
sin t
2
ax
a a cos 2t
2 cos t cos t
dx
B
( a bxn ) n a bxn
1
Ph¬ng ph¸p
Đặt x
t
s
s
Ph¬ng ph¸p
C R 1 ax b ,.., k ax b dx
Đặt t n ax b với n là BCNN s1 ; s2 ;...; sk
dx
D
( ax b)(cx d)
64
a) I
1
dx
3
x x
Ph¬ng ph¸p
Đặt t ax b cx d .
2
3
ĐS: I 11 6 ln
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 123
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
1
b) I
0
4
1 x
x 2
1
x 3 x2
2
d) I 3
1
2
e) I
0
1
I
0
1
g) I
1
2
0
x2 4 x
I
0
1
j)
I
0
2
ĐS: I 4 6 ln 2
ĐS: I 3 3 2 6 6 2 3 6ln
2x
dx
x2
1
x2 4x 3
dx
1
3
(1 xn ) n 1 xn
dx
(1 x ) 1 x
3
2 2
ĐS: I 2 ln
1 3
ĐS: I ln
dx
3
2
6 1
2
ĐS: I 2.
x
dx
3
x 1
1
i)
ĐS: I
dx
dx
1
h) I
8
3
dx
27
c) I
f)
x
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
3
ĐS: I
ĐS: I
xdx
3x 1 2 x 1
ĐS: I
1
n
( 2 1)2
2
2
1
3
2
17 9 3
9
BT 9. Tính các tích phân sau (đỗi biến cũa hàm logarit):
b
1
x
1
x
Ph¬ng ph¸p
Bài toán: Tính I f (ln x) dx
Đặt t ln x dt dx
a
Nếu f (ln x) có chứa m n.ln x với m, n là hằng số thì ta đặt luôn t m n.ln x. Bởi lẻ
1
x
khi vi phân dt n dx sẽ không bị mất tính tổng quát so với khi đặt t ln x và làm
cho việc xử lý bài toán sau khi đặt ẩn phụ sẽ đơn hơn. Ngoài ra, khi gặp căn thức , ta
cũng đặt t n f (ln x)
Nếu có chứa log a x thì ta chuyển về ln x bằng công thức: log a x log a e.log e x
e
ln x
dx.
1 x
a) I
ln x
ln a
1
2
ĐS: I
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n An Ninh – Tp. Hồ Chí Minh
1 ln x
dx
x
1
e
b) I
3
2
ĐS: I
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 124
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
1 2 ln x
dx
x
1
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
e
c) I
ĐS: I 2.
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Marie Curie – Tp. Hồ Chí Minh
e4
d) I
1
2 ln x
dx
x
ĐS: I 16.
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Tạ Quang Bữu – Tp. Hồ Chí Minh
e
ln 2 x
dx
x
1
ĐS: I
1 ln 4 x
dx
x
1
ĐS: I
1
3
e) I
e
f)
I
6
5
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Định Thiện Lý – Tp. Hồ Chí Minh
1 ln 2 x
dx
x
1
e
g) I
4
3
ĐS: I
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Phan Bội Châu – Tp. Hồ Chí Minh
e
ln x
dx
2
1 x(2 ln x)
h) I
1
3
3
2
ĐS: I ln
Đề thi Đại học khối B năm 2010
i)
I
e2
dx
x ln x.ln ex
ĐS: I 2 ln 2 ln 3.
2 x ln x 1
dx
x
1
ĐS: I 2e
e
e
j)
I
1
2
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Cần Thơ
1 x ln x
dx
x2
1
2
k) I
ĐS: I
1 ln 2 2
2
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Trần Phú – Tây Ninh
1
l)
I
0
x ln( x2 4)
dx
x2 4
ĐS: I
ln 2 5 ln 2 4
4
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Thị Minh Khai – Hà Tĩnh
e
m) I
1
ln x 1
dx
x ln x 1
ĐS: I ln(1 e).
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lê Duẫn – Tây Ninh
1 ln x
dx
2
x ln x
1
e
n) I
e
ln 2 x
dx
1 x(1 2 ln x)
o) I
ĐS: I ln
ĐS: I
e2
2
ln 3
8
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Số 3 Bảo Thắng – Lào Cai – Lần 1
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 125
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
ln x 2
dx
1 x ln x x
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
e
p) I
ĐS: I 1 ln 2.
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Đan Phượng – Hà Nội
4 ln x
dx
x
e
q) I
1
ĐS: I
10 5 16
3
3
Đề thi học kỳ II năm 2014 – Trường Quốc Tế Việt Úc – Tp. Hồ Chí Minh
1 3ln x
dx.
x
e
r) I
1
ĐS: I
14
9
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Hư̂u Trang – Tp. Hồ Chí Minh
e3
s) I
1
t)
I
ln 3 x
x 1 ln x
e
dx
dx
x
1 ln x
2
1
ĐS: I
15
ln 2.
4
6
ĐS: I
1 ln 2 x ln x
dx
x
ĐS: I
2 2 1
3
ln(3 x) ln(3 x)
dx
9 x2
0
ĐS: I
ln 2 2
12
e
u) I
1
1
v) I
5
w) I
2
ln( x 1 1)
x 1 x 1
dx
xe x 1
dx
x
1 x( e ln x)
e
x) I
e2
y) I
e
( x 2 1)ln x 1
dx
x ln x
ĐS: I ln 2 3 ln 2 2.
ĐS: I ln
ĐS: I
ee 1
e
e4 e2
1 ln 2.
2
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần 1
e2
z) I
1
2 ln x 1
dx
x (8 ln 2 x 8 ln x 3)
1
8
ĐS: I ln
19
3
BT 10. Tính các tích phân sau (đỗi biến cũa hàm số mû ):
1
1
2
a) I xe x dx.
2
ĐS: I ( e 1).
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Cần Thạnh – Tp. Hồ Chí Minh
1
b) I (2 x 1).e x x .dx.
2
ĐS: I 0.
0
c) I
ln 2
e x .dx
x
1)2
(e
0
1
6
ĐS: I
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Đào Duy Anh – Tp. Hồ Chí Minh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 126
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
3
dx
1 e 1
d) I
e) I
ĐS: I ln
x
ln 3
e
0
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
dx
2
e e 1
e2
2
1
2
ĐS: I ln 3 ln 5.
x
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Đức Trí Q.7 – Tp. Hồ Chí Minh
f)
I
ln 5
e
ln 3
g) I
ln 2
0
x
dx
2e x 3
3
2
ĐS: I ln
2e x 1
dx
ex 1
ĐS: I 3ln 3 4 ln 2.
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ
1
ex
dx
x
x
0 e e
1
2
h) I
i)
I
ln 2
e
0
j)
I
k) I
e 2 x 3e x
dx
3e x 2
e 2 x dx
ln 2
e 1
ln 6
0
x
ĐS: I
23
3
dx.
ĐS: I
20
3
e2x
3 ex
e2 1
2
ĐS: I 3ln 3 4 ln 2.
2x
ln 5
ĐS: I ln
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Quang Khãi – Tp. Hồ Chí Minh
l)
I
ln 3
0
m) I
ln 3
0
dx
ex 1
e x dx
( e x 1)3
ĐS: I 2ln(1 2) ln 3.
ĐS: I 2 2.
PP
BT 11. Tính các tích phân sau (dạng f (sin x).cos x
đặt t sin x hoặc t a b sin x) :
2
a) I sin 2 x cos xdx.
0
1
2
ĐS: I
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Lương Văn Can – Tp. Hồ Chí Minh
2
b) I (1 3sin x).cos x.dx.
0
1
2
ĐS: I
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Quốc Trí – Tp. Hồ Chí Minh
2
cos x
dx
1
sin x
0
c) I
ĐS: I ln 2.
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Marie Curie – Tp. Hồ Chí Minh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 127
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
2
cos x
dx
0 5 2 sin x
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
1
2
d) I
5
3
ĐS: I ln
2
sin 2 x
dx
0 1 sin x
e) I
ĐS: I 2 2 ln 2.
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Bắc Mŷ – Tp. Hồ Chí Minh
2
f)
I (1 sin x)2 .cos x.dx.
7
3
ĐS: I
0
Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Chuyên Năng Khiếu Thễ Dục Thễ Thao – Tp. Hồ Chí Minh
2
2
5
g) I sin 2 x.sin 3 x.dx.
ĐS: I
0
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Trần Phú – Tp. Hồ Chí Minh
2
h)
(1 2 sin x)
3
ĐS: I 10.
cos xdx.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Nam Mŷ – Tp. Hồ Chí Minh
2
i)
1
2
cot x
dx
cos
2x
I
ĐS: I ln 2.
6
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Huệ – Quảng Nam
2
j)
cos 3 x
dx
1 sin x
I
ĐS: I
32 2
4
ĐS: I
8
15 4
4
2
k) I (cos3 x 1).cos 2 x.dx.
0
Đề thi Đại học khối A năm 2009
2
l)
I 1 sin x .cos xdx.
ĐS: I
0
4 2 2
3
3
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Lê Thị Hồng Gấm – Tp. Hồ Chí Minh
2
m) I cos x. 3sin x 1.dx.
0
ĐS: I
14
9
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên – Lần 2
2
n) I
0
cos x
2 3sin x 1
dx
2
3
4
3
3
4
ĐS: I ln
PP
đặt t cos x hoặc t a b cos x) :
BT 12. Tính các tích phân sau (dạng f (cos x).sin x
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 128
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
3
a) I sin x.cos 4 xdx.
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS: I
0
31
160
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Lê Thánh Tôn – Tp. Hồ Chí Minh
2
sin x
dx
0 1 cos x
b) I
ĐS: I ln 2.
3
sin x
dx
2
0 cos x
c) I
ĐS: I 1.
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Việt Mŷ Anh – Tp. Hồ Chí Minh
d) I sin 2 x.cos2 x.dx.
ĐS: I 0.
0
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Văn Trô̂i – Hà Tĩnh – Lần 1
2
e) I sin x cos x(1 cos x)2 dx.
ĐS: I
17
12
ĐS: I
ln 4
3
0
2
f)
sin 2 x
dx
2
0 3cos x 1
I
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Bình Chánh – Tp. Hồ Chí Minh
2
sin 2 x
dx
2
0 4 cos x
4
3
g) I
2
ĐS: I ln
sin x
dx
0 cos 2 x 3cos x 2
h) I
3
2
ĐS: I ln
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hưng Yên – Hưng Yên
π
2
i)
sin x
dx
π cos 2 x cos x
I
1
3
ĐS: I ln 4.
3
3
j)
sin x
dx
3
0 cos x
I
3
2
ĐS: I
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Nhân Tông – Tp. Hồ Chí Minh
2
sin xdx
2
0 1 cos x
k) I
2
l)
I 2 1 4 cos x sin xdx.
0
4
ĐS: I
ĐS: I
5 5 1
3
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Hiền – Tp. Hồ Chí Minh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 129
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
2
m) I
0
sin 2 x sin x
1 3cos x
dx
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS: I
34
27
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Chuyên Trần Đại Nghîa – Tp. Hồ Chí Minh
2
1
5
n) I sin 3 2 x.cos4 x.dx.
ĐS: I
0
2
sin 3 x cos x
dx
2
0 1 cos 2 x
o) I
ĐS: I
BT 13. Tính các tích phân sau (dạng f (tan x)
4
a) I
0
2 3 tan x
dx
1 cos 2 x
16
1
PP
đặt t tan x) :
2
cos x
ĐS: I
5 5 2 2
9
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa
4
(cos x e tan x ) sin x
dx
cos3 x
0
b) I
π
6
tan 4 x
dx
0 cos 2 x
c) I
ĐS: I 2.
ĐS: I
10 3 1
ln(2 3).
27
2
Đề thi Đại học khối A năm 2008
3
dx
3
sin x cos x
d) I
1
2
ĐS: I 1 ln 3.
4
4
e) I
0
3 2(1 tan 3 x)
dx
cos x.cos x –
4
ĐS: I 5.
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Du – Tp. Hồ Chí Minh
PP
đặt t sin x cos x) :
BT 14. Tính các tích phân sau (dạng f (sin x cos x) (sin x cos x)
2
sin x cos x
dx
sin
x cos x
a) I
1
2
ĐS: I ln 2.
4
4
sin x cos x
dx
0 sin x cos x 3
b) I
4
sin x cos x
dx
0 3 sin 2 x
c) I
ĐS: I ln
3 2
4
1
4
ĐS: I ln 3.
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 130
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
4
d) I
0
cos 2 x
2 1 sin x cos x
2
sin 2 x
e) I
cos2 x 4 sin 2 x
0
2
f)
0
2
0
2
2
2
3
ĐS: I
1
5
b cos x c sin x
2
26
12 ln 2.
3
2
sin x cos x
g) I
ĐS: I
ĐS: I
4 cos x 9 sin x
2
dx
dx
sin x cos xdx
I
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
2
dx
ĐS: I
1
bc
Dạng toán 2. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Định lý: Nếu u u( x) và v v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn a; b thì:
b
b
b
b
a
a
b
I u( x) v( x) dx u( x) v( x) u( x) v( x) dx hay I udv u.v a vdu.
a
a
b
a
Thực hành:
— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau , chẵng hạn : mũ nhân lượng giác ,…
Vi phân
b
b
u
du dx
b
I
udv
u
.
v
vdu.
— Đặt:
Suy
ra:
Nguyên ha m
a
v
dv dx
a
a
— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay
1
.ln x và dv còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn
ln a
u đa thức và dv còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u lượng giác,….
log a x thì chọn u ln hay u log a x
— Lưu ý rằng bậc cũa đa thức và bậc cũa ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm .
— Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi .
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 15. Tính các tích phân (dạng tích phân từng phần cơ bản):
4
a) I 2x cos xdx.
0
ĐS: I
2
2 2.
4
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Hư̂u Thọ – Tp. Hồ Chí Minh
2
b) I x.ln x.dx.
3
4
ĐS: I 2 ln 2
1
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Văn Lang – Tp. Hồ Chí Minh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 131
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
c) I e x .cos x.dx.
ĐS: I
0
1 e
2
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Quang Khãi – Tp. Hồ Chí Minh
2
2
d) I x cos xdx.
ĐS: I 1.
0
e
ln x
dx
2
1 x
2
e
e) I
ĐS: I 1
1
f)
I ( x 3).e x .dx.
ĐS: I 4 3e.
0
Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015
4
3
4
g) I ( x 1).sin 2x.dx.
ĐS: I
0
Đề thi Đại học khối D năm 2014
2
2
h) I ( x 2) cos x dx
ĐS: I 3.
0
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chí Linh – Hải Dương – Lần 1
2
i)
I (2 x 1).sin x.dx.
ĐS: I 3.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Đăng Khoa – Tp. Hồ Chí Minh
1
j)
I ( x 1).e x .dx.
ĐS: I e.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Lê Thị Hồng Gấm – Tp. Hồ Chí Minh
1
k) F (1 e x ).ln( x e x )dx.
ĐS: I (1 e).ln(1 e) e.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Marie Curie – Tp. Hồ Chí Minh
4
l)
xdx
2
0 cos x
I
4
ĐS: I ln
2
2
Đề thi học kỳ II năm 2014 – Quốc Tế Việt Úc – Tp. Hồ Chí Minh
2
m) I ( x 1)sin xdx.
ĐS: I 0.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT An Nghîa – Tp. Hồ Chí Minh
2
n) I ( x 1)cos xdx.
0
2
ĐS: I
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 132
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Bình Tân – Tp. Hồ Chí Minh
2
o) I (2 x 1).e x .dx.
ĐS: I e 2 3.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Bình Khánh – Tp. Hồ Chí Minh
2
1
2
p) I x cos 2xdx.
ĐS: I
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Đào Duy Anh – Tp. Hồ Chí Minh
2
q) I (2 x 1).ln x.dx.
1
2
ĐS: I 2 ln 2
1
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Việt Mŷ Anh – Tp. Hồ Chí Minh
2
r) I (2 x 1)cos 2 xdx.
ĐS: I 1.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Cần Thạnh – Tp. Hồ Chí Minh
1
s) I (2 x 1)e x dx.
ĐS: I e 1.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Lê Thánh Tôn – Tp. Hồ Chí Minh
e
t)
I x 2 ln xdx.
ĐS: I
1
2e 3 1
9
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trưng Vương – Tp. Hồ Chí Minh
x2 1
.ln x.dx.
x2
1
2
u) I
5
2
3
2
ĐS: I ln 2
Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2013
3x 1
dx
e2x
0
1
5
4
v) I
ĐS: I
11
4e 2
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Tp. Hồ Chí Minh
1
w) I
0
x1
dx
e2x
ĐS: I
3 5e 2
4
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Chuyên Trần Đại Nghîa – Tp. Hồ Chí Minh
2
x) I (2 x 1)e x dx.
ĐS: I 3e 2 1.
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Lương Văn Can – Tp. Hồ Chí Minh
e
y) I (1 x)ln xdx.
1
ĐS: I
e2 5
4
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Nam Mŷ – Tp. Hồ Chí Minh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 133
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
1
z) I (4 x 1)e 2 x dx.
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS: I
0
e 3
2
2
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Ngô Gia Tự – Tp. Hồ Chí Minh
e
aa) I ( x 2)ln xdx.
ĐS: I
1
e2 9
4
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Sao Việt – Tp. Hồ Chí Minh
2
bb) I x.sin 2 x.dx.
ĐS: I
0
2 4
16
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Tân Phong – Tp. Hồ Chí Minh
2
cc) I x cos 2 xdx.
ĐS: I
0
2 1
16 4
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Bình Phú – Tp. Hồ Chí Minh
1
I ( x 1).e 2 x .dx.
dd)
ĐS: I
0
3 e2
4
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Phù Cừ – Hưng Yên
2
ee) I 3x.cos x dx.
ĐS: I
0
3
3.
2
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Tạ Quang Bữu – Tp. Hồ Chí Minh
2
ff) I ( x 1)e 2 x dx.
0
ĐS: I
5e 4 1
4
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Hư̂u Cãnh – Tp. Hồ Chí Minh
4
gg) I (3 2 x)cos 2 xdx.
4
ĐS: I 2
0
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Khuyến – Tp. Hồ Chí Minh
4
hh) I
0
ln(cos x)
dx
cos 2 x
ĐS: I ln
2
1
2
4
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Hùng Vương – Tp. Hồ Chí Minh
1
ii) I =
0
ln( x + 1)
dx
( x + 2)2
5
3
ĐS: I ln 2 ln 3.
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Du – Tp. Hồ Chí Minh
e
jj) I x2 ln xdx.
1
2
9
1
9
ĐS: I e3
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Hiền – Tp. Hồ Chí Minh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 134
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
3
kk)
I 2 x.(3x 1).dx.
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
ĐS: I
2
ll)
I
ln 2
e
x
0
1
mm) I
x
dx.
ex 2
x.ln( x 1 x 2 )
1 x2
0
5
3
ĐS: I ln 2 ln 3.
dx
1
nn) I x.ln( x2 x 1).dx.
ĐS: I 2 ln(1 2) 1.
3
4
ĐS: I ln 3
0
x2 2 x 3
ln xdx.
2
1 x 2x 1
e
oo)
I
e
pp) I x.ln 2 x.dx.
qq) I ( x2 1).sin x.dx.
3
12
ĐS: I
3e 1
e 1
2 ln
e 1
2
ĐS: I
e2 1
4
1
2
52
12
2
ln 2 ln 2
ĐS: I 1.
0
e
rr)
I cos(ln x).dx.
e 1
2
ĐS: I
0
1
ss)
I ( x 2 2 x).e x .dx.
ĐS: I e.
0
2
tt)
I e .cos x.dx.
x
ĐS: I
e
0
2
2
1
2
uu) I e .cos 2 x.dx.
x
0
4
vv) I 5e x .sin 2 x.dx.
e2 2
ĐS: I
5
ĐS: I 2 e 4 .
0
4
3
ww) I e .sin 4 x.dx.
3x
0
1
xx)
I e x sin 2 ( x).dx.
4e 4 4
ĐS: I
25
ĐS: I
0
2 2 .( e 1)
1 4 2
BT 16. Tính các tích phân (tách ra 2 tích phân A và B với A dạng cơ bản, B là tích phân từng phần):
6
a) I x(1 s in2x)dx.
ĐS: I
0
2
3
72 24 8
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Hư̂u Trang – Tp. Hồ Chí Minh
e
b) I x(1 ln x)dx.
1
ĐS: I
3e 2 1
4
4
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 135
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Nhân Tông – Tp. Hồ Chí Minh
1
c) I (1 x) (2 e 2 x ) dx
ĐS: I
0
e2 1
4
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần 2
d) I x.( x sin x).dx.
ĐS: I
0
3
.
3
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội
2
e) I (2x3 ln x).dx.
ĐS: I
1
13
2 ln 2.
2
Đề thi minh họa THPT Quốc Gia năm 2015 – Bộ GD & ĐT
x 3 2 ln x
dx
x2
1
2
f)
1
2
I
ĐS: I ln 2.
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Thanh Chương III – Nghệ An
2
ln( x.e x )
dx
2
1 ( x 2)
g) I
ĐS: I
5ln 2 ln 3 1
4
2
6
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Minh Châu – Hưng Yên – Lần 2
1 x2 e x
dx
x
1
2
h) I
ĐS: I ln 2 e 2 .
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần 1
1
i)
I x.(1 e 2 x ).dx.
ĐS: I
0
e2 3
4
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lạng Giang Số 1 – Bắc Giang – Lần 3
ex x
dx
ex
0
1
j)
I
2
e
ĐS: I 2
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Lào Cai
1
k) I ( x e 2 x ).x.dx.
ĐS: I
0
3e 2 7
12
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hà Tînh – Hà Tĩnh – Lần 1
2
l)
I x.( x sin x).dx.
ĐS: I 1
0
3
24
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần 2
4
m) I x.(1 sin 2 x).dx.
0
ĐS: I
2 8
32
Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Hà Tînh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia
TRANG 136