T2016 chuyên vĩnh phúc
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014
Môn: TOÁN; Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 - ( m2 + m - 3 ) x + m 2 - 3m + 2 (1) , trong đó m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 2 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại ba điểm phân biệt có
2
2
hoành độ lần lượt là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x12 + x2 + x3 = 18 .
æp
ö
æp
ö 4 + sin x
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ =
.
2
è3
ø
è3
ø
ì x+2 + y-2 = 4
ï
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í
( x, y Î ¡ )
ï x+7 + y+3 = 6
î
1
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: I = ò ( x - 2014 ) e2 x dx .
0
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB = a, BC = a , AD = 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc giữa mặt phẳng
( SCD ) với mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S .ABCD và khoảng cách từ đỉnh
B đến mặt phẳng ( SCD ) .
Câu 6 (1,0 điểm ). Tìm các số thực dương x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:
ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32
ï
í
1
x2 + y2 - x + y =
ï
î
2
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y + 2 = 0 và hai điểm
uuuu uuuu
r
r
A(4;6), B (0; -4) . Tìm trên đường thẳng ( d ) điểm M sao cho véc tơ AM + BM có độ dài nhỏ nhất.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A (1;0; -1) , B (1; -2;3) , C ( 0;1; 2 ) và
D (1; 1 - m; 1 + 6m ) . Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 9.a (1,0 điểm). Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng
ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết A ( 3; -3 ) , hai
đỉnh B, C thuộc đường thẳng x - 2 y + 1 = 0 , điểm E ( 3; 0 ) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh C. Tìm tọa độ hai
đỉnh B và C.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1; -3), B(3; 0; -3) và mặt cầu
(S) có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 6 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua hai điểm
A, B và mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính là
2
5
2
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 log 3 ( x 2 - 4 ) + 3 log 3 ( x + 2 ) - log 3 ( x - 2 ) = 4 .
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án có 06 trang)
KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014
Môn: TOÁN; Khối D
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. LƯU Ý CHUNG:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo
cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 .
1,0
Khi m = 2 hàm số (1) có dạng y = x 3 - 3 x
a) Tập xác định D = ¡ .
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: y ' = 3 x 2 - 3 , y ' = 0 Û x = ±1 .
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥; - 1) và (1; + ¥ ) .
0.25
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -1;1) .
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCD = 2 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = -2 .
0.25
3 ö
3 ö
æ
æ
+) Giới hạn: lim y = lim x ç1 - 2 ÷ = -¥; lim y = lim x 3 ç1 - 2 ÷ = +¥ .
x ®-¥
x ®-¥
x ®+¥
x ®+¥
è x ø
è x ø
+) Bảng biến thiên:
x
-¥
-1
1
+¥
/
+
0
0
+
y
2
+¥
3
0.25
y
-¥
-2
3
c) Đồ thị: y = 0 Û x - 3 x = 0 Û x = 0, x = ± 3 .
(
)(
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại các điểm ( 0; 0 ) , - 3; 0 ,
)
3; 0 .
y '' = 0 Û 6 x = 0 Û x = 0 Þ đồ thị hàm số nhận điểm ( 0;0 ) làm điểm uốn.
4
0.25
2
2
1
1 0
10
5
1
5
10
1
2
2
4
b
Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại
1.0
ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức
2
2
x12 + x2 + x3 = 18 .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = 2 :
x 3 - ( m 2 + m - 3 ) x + m 2 - 3m + 2 = 2 Û x 3 - ( m 2 + m - 3) x + m 2 - 3m = 0
éx = m
Û ( x - m ) ( x 2 + mx - m + 3) = 0 Û ê 2
ë x + mx - m + 3 = 0 ( 2 )
Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai
0.25
0.25
ì m2 + m 2 - m + 3 ¹ 0
ém > 2
ï
nghiệm phân biệt khác m Û í
Ûê
2
ë m < -6
ï D = m - 4 ( - m + 3) > 0
î
Giả sử x1 = m ; x2 , x3 là 2 nghiệm của (2). Khi đó theo định lí Viet ta
ì x + x = -m
được: í 2 3
î x2 .x3 = - m + 3
0.25
2
2
2
Do đó x12 + x2 + x3 = 18 Û m2 + ( x2 + x3 ) - 2 x2 x3 = 18
2
ém = 3
.
Û m 2 + m 2 - 2 ( - m + 3 ) = 18 Û m2 + m - 12 = 0 Û ê
ë m = -4
So sánh với điều kiện của m ta được m = 3 thỏa mãn.
æp
ö
æp
ö 4 + sin x
Giải phương trình: cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ =
2
è3
ø
è3
ø
æp
ö
æp
ö 4 + sin x
cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ =
2
è3
ø
è3
ø
æ 2p
ö
æ 2p
ö
1 + cos ç
+ 2 x ÷ 1 + cos ç
- 2x ÷
3
3
è
ø+
è
ø = 4 + sin x
Û
2
2
2
2p
æ 2p
ö
æ 2p
ö
Û - sin x - 2 + cos ç
+ 2 x ÷ + cos ç
- 2 x ÷ = 0 Û - sin x - 2 + 2 cos
cos 2 x = 0
3
è 3
ø
è 3
ø
0.25
1.0
Ta có:
3
Û - sin x - 2 - cos 2 x = 0 Û 2sin 2 x - sin x - 3 = 0
ésin x = -1
p
Û x = - + k 2p (k Î Z)
Ûê
êsin x = 3 (VN )
2
ë
2
ì x+2+ y-2 =4
ï
Giải hệ phương trình: í
ï x+7 + y+3 = 6
î
ì x ³ -2
Điều kiện: í
. Ta có:
îy ³ 2
ì x+2+ y-2 = 4
ì x + 7 + x + 2 + y + 3 + y - 2 = 10
ï
ï
Ûí
í
ï x+7 + y+3 = 6
ï x+7 - x+2 + y +3 - y-2 = 2
î
î
Đặt u = x + 7 + x + 2 và v =
y+3 + y-2
ìu + v = 10
ìu + v = 10
ìu = 5
ï
Ûí
Ûí
í5 5
îuv = 25
îv = 5
ïu + v = 2
î
ì x + 7 + x + 2 = 5 (1)
ï
Khi đó ta có hệ í
ï y + 3 + y - 2 = 5 ( 2)
î
0.25
0.25
0.25
0.25
1,0
0.25
( u; v > 0 ) , ta được hệ
0.25
0.25
Giải pt (1) ta được: x = 2
ì x+7 + x+2 =5
ìx = 2
ï
Giải pt(2) ta được: y = 6. Khi đó í
Ûí
îy = 6
ï y+3+ y-2 =5
î
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (2; 6)
4
0.25
1
Tính tích phân: I = ò ( x - 2014 ) e 2 x dx
1,0
0
ì du = dx
ìu = x - 2014 ï
Đặt í
Þí
1 2x
2x
î dv = e dx
ïv = 2 e
î
1 1 1 2x
1
2x
Þ I = ( x - 2014 ) e
e dx
2
0 2ò
0
=-
0.25
0.25
1
2013e 2
1
+ 1007 - e2 x
0
2
4
0.25
4029 - 4027e 2
4
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B,
AB = a, BC = a, AD = 2a, SA ^ ( ABCD ) , góc giữa mặt phẳng ( SCD ) với mặt đáy
=
5
bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt
phẳng ( SCD ) .
0.25
1,0
S
0.25
H
O
A
B
D
C
AD
Þ · = 900
ACD
2
·
Dễ thấy: CD ^ ( SAC ) Þ CD ^ SC , do đó góc giữa (SCD) và mặt đáy là góc SCA
Gọi O là trung điểm AD ta có ABCO là hình vuông nên CO =
1 AD + BC
a3 6
. AB.SA =
3
2
2
Trong mp ( SAC ) kẻ AH ^ SC Þ AH ^ ( SCD ) Þ AH = d ( A, ( SCD ) ) .
Trong tam giác vuông SAC ta có:
1
1
1
1
1
3
=
+
=
+
Þ AH = a
2
2
2
2
2
AH
AS
AC
2
a 6
a 2
·
Þ SCA = 60 0 Þ SA = a 6 Þ VS . ABCD =
(
) (
0.25
)
Vì BO / / ( SCD ) Þ d ( B, ( SCD ) ) = d ( O, ( SCD ) ) =
6
0.25
1
a 3 a 6
d ( A, ( SCD ) ) =
=
2
4
2 2
0.25
Tìm x , y dương thỏa mãn hệ phương trình sau:
ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32
ï
í
1
x2 + y2 - x + y =
ï
î
2
1,0
ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32(1)
ï
í
1
x 2 + y 2 - x + y = (2)
ï
î
2
1
2
1
2
0.25
1
2
ì a £1
ï
ï b £1
î
1
2
(2) Û ( x - ) 2 + ( y + )2 = 1 . Đặt x - = a , y + = b Þ a 2 + b 2 = 1 Þ í
(1) Û 8a 3 + 14a 2 +8a + 4b3 - 4b 2 = 30
Û (4 a 2 + 11a + 15)(a - 1) + 2b 2 (b - 1) = 0
ì 4a 2 + 11a + 15 > 0
Vì: í
î
a -1 £ 0
(3)
(do a £ 1 ) Þ (4 a 2 + 11a + 15)( a - 1) £ 0
0.25
và: 2b 2 (b - 1) £ 0 ( do b £ 1 )
ì éb = 0
ìa = 1
ï
Þ (3) Û í ê b = 1 Û í
ë
îb = 0
ï a =1
î
(vì a 2 + b 2 = 1 )
ì
ì
1
3
ì
x - =1
ï x=2
a =1
ï
ï
2
+ Với í
Ûí
Ûí
ïb = 0
ïy + 1 = 0
ïy = - 1
ï
ï
ï
2
î
2
î
î
0.25
( thỏa mãn)
0.25
3 1
2 2
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( ; )
7.a
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y + 2 = 0 và hai
điểm A(4;6), B(0; -4) . Tìm trên đường thẳng (d ) điểm M sao cho véc tơ
uuuu uuuu
r
r
AM + BM có độ dài nhỏ nhất.
uuuu
r
uuuu
r
M ( x0 ; 2 x0 + 2) Î ( d ) Þ AM ( x0 - 4; 2 x0 - 4) , BM (x 0 ; 2 x0 + 6) .
uuuu uuuu
r
r
Þ AM + BM = (2 x0 - 4; 4 x0 + 2) .
uuuu uuuu
r
r
2
AM + BM = 20 x0 + 20 ³ 2 5
uuuu uuuu
r
r
AM + BM nhỏ nhất Û x0 = 0 Û M (0; 2)
8.a
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A (1;0; -1) , B (1; -2;3) , C ( 0;1; 2 )
và D (1; 1 - m; 1 + 6m ) . Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
uuu
r
uuur
Ta có AB = ( 0; -2; 4 ) , AC = ( -1;1;3 )
r
uuu uuur
r
Suy ra n = é AB, AC ù = ( -10; -4; -2 ) .
ë
û
ur
Chọn n1 ( 5; 2;1) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
1,0
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0
0.25
0.25
Þ mp ( ABC ) :5 x + 2 y + z - 4 = 0 . Để A, B, C, D đồng phẳng thì D Î ( ABC )
Û 5.1 + 2. (1 - m ) + (1 + 6 m ) - 4 = 0 Û 4m + 4 = 0 Û m = -1
9.a
0.25
0.25
Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4 } xếp thành
hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3
chữ số.
1,0
X = {0;1; 2;3; 4}
+ Số cách lấy 3 chữ số khác nhau bất kỳ từ X và xếp chúng thành hàng ngang từ
trái sang phải : A53 = 60 ( cách). Không gian mẫu : W = 60
+ Gọi A là biến cố: “ Nhận được 1 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau”
Giả sử số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành là: abc (a ¹ 0) .
a ¹ 0 nên a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
0.25
Þ W A = 3.4.4 = 48
0.25
Vậy xác suất cần tính là: P( A) =
7.b
W A 48 4
=
=
W
60 5
0.25
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết A ( 3; -3 ) ,
hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng x - 2 y + 1 = 0 , điểm E ( 3;0 ) nằm trên đường cao kẻ
từ đỉnh C. Tìm tọa độ hai đỉnh B và C.
uur
Gọi I là trung điểm BC, do I Î BC Þ I ( 2 m - 1; m ) , mà A(3;3) Þ AI = ( 2m - 4; m + 3 )
r
uur r
Do AI ^ u BC , mà u BC ( 2;1) Þ 2 ( 2 m - 4 ) + ( m + 3 ) = 0 Û m = 1 Þ I (1;1)
B Î BC Þ B ( 2b - 1; b ) , b Î ¡. . Do C đối xứng với B qua I, suy ra
uuu
r
uuu
r
C ( 3 - 2b; 2 - b ) , AB = ( 2b - 4; b + 3) , CE = ( 2b; b - 2 ) .
uuu uuu
r
r
3
Do AB ^ CE nên ta được: 2b ( 2b - 4 ) + ( b - 2 )( b + 3) = 0 Û b = 2; b = 5
Với b = 2 Þ B ( 3; 2 ) , C ( -1; 0 ) .
3
æ 11 3 ö
æ 21 13 ö
Với b = - Þ B ç - ; - ÷ , C ç ; ÷ .
5
è 5 5ø
è 5 5ø
8.b
0.25
1,0
0.25
0.25
0.25
0.25
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1; -3), B (3; 0; -3) và mặt
cầu (S) có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 6 = 0 . Viết phương trình
mặt phẳng ( P) đi qua hai điểm A, B và mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một
1,0
đường tròn có bán kính là 5 .
Mặt cầu ( S ) có tâm I (-1; -1; -1) , bán kính R = 3 .
r
Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến n(a; b; c) , (a 2 + b 2 + c 2 > 0) .
mp(P) đi qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là: a ( x - 0) + b( y + 1) + c( z + 3) = 0
0.25
Û ax + by + cz + b + 3c = 0
B Î ( P) : 3a - 3c + b + 3c = 0 Û b = -3a
d ( I , ( P )) = 32 - ( 5) 2 = 2
Þ
-a - b - c + b + 3c
2
2
a +b +c
2
= 2 Û - a + 2c = 2 a 2 + b 2 + c 2 Û - a + 2c = 2 10a 2 + c 2
é a=0
2
Û 39a + 4 ac = 0 Û ê
ê a = - 4c
39
ë
Với a = 0 thì b = 0 . Ta có phương trình ( P) : z + 3 = 0
4
Với a = - c. Chọn c = 39 thì a = -4 b = 12 .
39
Ta được phương trình ( P) : 4 x - 12 y - 39 z - 129 = 0
0.25
0.25
0.25
9.b
2
2
Giải phương trình: 2 log 3 ( x 2 - 4 ) + 3 log 3 ( x + 2 ) - log 3 ( x - 2 ) = 4 .
1,0
ì x2 - 4 > 0
ï
2
ï( x + 2 ) > 0
Điều kiện: í
Û x Î ( -¥; -3] È ( 2; +¥ ) (*)
2
ïlog 3 ( x + 2 ) ³ 0
ï
2
ï( x - 2 ) > 0
î
Biến đổi pt đã cho ta được:
log 3
(x
2
- 4)
( x - 2)
0.25
2
2
2
2
2
+ 3 log 3 ( x + 2 ) - 4 = 0 Û log 3 ( x + 2 ) + 3 log 3 ( x + 2 ) - 4 = 0
Đặt t = log 3 ( x + 2 )
2
( t ³ 0 ) thì pt (3) trở thành
ét = 1
t 2 + 3t - 4 = 0 Û ê
ët = -4 ( loai )
é x = -2 + 3 (loai )
2
2
t = 1 Û log 3 ( x + 2 ) = 1 Û ( x + 2 ) = 3 Û ê
ê x = -2 - 3
ë
Vậy nghiệm của phương trình là x = -2 - 3 .
Hết
(3)
0.25
0.25
0.25