Tai lieu luyen dat diem 8 9 10 mon toan2

.NE
T

TuyÓn tËp

THS

Bé ba c©u ph©n lo¹i

TM
A

Trong c¸c ®Ò thi thö THPT Quèc Gia 2015

VIE

M¤N TO¸N

π
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC

* PT, HPT, BPT
* PP tọa độ trong MP
* BĐT, Tìm GTLN, GTNN

THS

TM
A

VIE
.NE
T

TUYỂN TẬP BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI
TRONG ĐỀ THI THỬ
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015
Diễn đàn toán học VMF

VIE

TM
A

THS

.NE
T

Ngày 6 tháng 8 năm 2015

Kí hiệu dùng trong sách
Bất đẳng thức
Bất phương trình
Chứng minh rằng
Đại học
Giáo dục và đào tạo
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Phương trình
Trung học phổ thông
Tạp chí Toán học Tuổi trẻ
Thành phố Hồ Chí Minh
Vietnam Mathematics Forum
Vế phải
Vế trái
Vectơ chỉ phương
Vectơ pháp tuyến

.NE
T

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

VIE

TM
A

THS

BĐT
BPT
CMR
ĐH
GDĐT
GTLN
GTNN
PT
THPT
THTT
TP HCM
.
VMF
VP
VT
VTCP
VTPT

Trang 4

http://diendantoanhoc.net

LỜI NÓI ĐẦU
Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với các bạn sử dụng kết quả môn Toán để
xét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba câu phân loại. Bộ ba câu này thường
rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng,
Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN.

Nhóm biên soạn tài liệu này gồm có

.NE
T

Nhằm mục đích cung cấp thêm cho các bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016
một tài liệu tham khảo hữu ích, các thành viên của Diễn đàn toán học VMF đã cùng nhau biên
soạn tài liệu này. Tài liệu bố cục gồm ba phần chính. Phần đầu, chúng tôi tóm tắt một vài lý
thuyết cơ bản tương ứng với 3 chủ đề đã nói ở trên để bạn đọc có thể tra cứu dễ dàng khi cần
thiết. Phần hai, cũng là nội dung chính của tài liệu, chúng tôi tổng hợp lại bộ ba câu phân loại
trong các đề thi thử năm học 2014 - 2015. Phần hướng dẫn, đáp số chúng tôi chủ yếu dựa trên
đáp án của đơn vị ra đề, tuy nhiên trong một số bài toán chúng tôi có đưa ra cách tiếp cận khác
hoặc chỉ hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động hơn trong quá trình đọc tài
liệu. Chúng tôi nhấn mạnh rằng, cách làm trong tài liệu này chưa hẳn là tốt nhất, bạn đọc cũng
không nên quá coi trọng các lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên.

HCM (Katyusha);

THS

• Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Toán ĐH Sư phạm TP.
• Bạn Trương Việt Hoàng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99);
• Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng);
• Thầy Nguyễn Công Định - Cà Mau (CD13);

TM
A

• Thầy Hoàng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois);

• Thầy Lê Minh An - Nam Định (leminhansp);
• Bạn Trần Trung Kiên - TP HCM (Ispectorgadget).
.

VIE

Mặc dù chúng tôi đã cùng nhau biên soạn tài liệu này với tất cả sự tận tâm, tinh thần vì
cộng đồng vô tư. Nhưng sự tỉ mỉ và cố gắng của chúng tôi chắc chắn chưa thể kiểm soát được
hết các sai sót. Vì vậy sự nhiệt tâm từ phía bạn đọc cũng sẽ giúp tài liệu hoàn thiện hơn. Mọi
trao đổi hãy chia sẻ với chúng tôi tại Diễn đàn toán học VMF (http://diendantoanhoc.net).
Sau cùng, chúng tôi hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến sẽ dành cho chúng tôi sự tôn trọng tối
thiểu bằng cách ghi rõ nguồn tài liệu khi chia sẻ. Không dùng tài liệu này để trục lợi cá nhân.
Chúng tôi xin cảm ơn!
Nhóm biên tập

http://diendantoanhoc.net

Trang 5

Mục lục
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

14

.NE
T

1 Lý thuyết chung
1.1 Hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:
1.2.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng . . . . . . . .
1.3 Góc và khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

TM
A

THS

2 Một số kĩ thuật cơ bản
2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Dựa vào hệ điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Điểm thuộc đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng . . . . . . . . . . . .
2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước một khoảng
cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng khác một
góc cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn . . . . . . . . .

14
14
14
14
14
15
15
16
16
17
17
17
17
18
19
19
20
21
21
23
23

VIE

3 Phương pháp giải toán
24
3.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Một số hướng khai thác giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

29

1

29
29
29
29
30
30
30

2

Trục căn thức
1.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
1.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Đưa về “hệ tạm” . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Biến đổi về phương trình tích
31
2.1 Các biến đổi thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Trang 6

http://diendantoanhoc.net

3 Phương pháp đặt ẩn phụ
3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến
3.2.1 Phương trình dạng: a.A (x) + bB (x) = c A (x) .B (x) . . . . .
3.2.2 Phương trình dạng: αu + βv = mu 2 + nv 2 . . . . . . . . . .
3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

33
33
35
36
37
38

.
.
.
.

39
39
41
41
42

5 Phương pháp lượng giác hóa
5.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . .
5.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
44
44
45

6 Phương pháp dùng Bất đẳng thức

46

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.NE
T

4 Phương pháp đưa về hệ phương trình
4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường .
4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II .
4.2.1 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng . . . . . .

.
.
.
.
.

48

THS

7 Phương pháp hàm số

III. MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT

51

TM
A

1 Những BĐT cổ điển thường dùng
51
1.1 BĐT hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 BĐT ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

VIE

2 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT
2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kĩ thuật tách ghép . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kỹ thuật dùng BĐT cơ bản . . . . . . . . . .
2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định của biến số .
2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp
2.6 BĐT thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

51
51
53
55
58
60
62
65

IV. BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
2015
68
1 Đề minh hoạ THPT 2015

68

2 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên

68

3 THTT số 453 tháng 04 năm 2015

68

4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai)

69

5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang)

69

http://diendantoanhoc.net

Trang 7

69

7 THPT chuyên Hà Tĩnh

69

8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An)

70

9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc)

70

10 THPT chuyên Hưng Yên

70

11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh)

71

12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc)

71

13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang)

71

14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên)
15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2

17 THPT Minh Châu (Hưng Yên)

THS

16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên)

.NE
T

6 THPT Chu Văn An (Hà Nội)

71
72
72
72

18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2

73

19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên)

73

TM
A

20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An)

73
74

22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa)

74

23 THPT Thuận Châu (Sơn La)

75

VIE

21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An)

24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa)

75

25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An)

75

26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh)

76

27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh)

76

28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh)

76

29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp)

77

30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM)
.

77

31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa)

77

32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

78

Trang 8

http://diendantoanhoc.net

78

34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D

78

35 THPT Hồng Quang (Hải Dương)

79

36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 1

79

37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa)

79

38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa)

80

39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa)

80

40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP. HCM)

80

41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2

81

.NE
T

33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB

42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh)

THS

43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa)
44 Đề 44
45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1)

47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh
.
48 Sở GDĐT Thanh hóa
49 Sở GDĐT Quảng Ngãi

51 Sở GDĐT Lào Cai
52 Sở GDĐT Lâm Đồng

VIE

50 Sở GDĐT Quảng Nam

TM
A

46 Sở GDĐT Vĩnh Long

81
81
82
82
82
83
83
83
84
84
84

53 Sở GDĐT Bình Dương

85

54 THPT Nguyễn Văn Trỗi

85

55 THPT Chuyên ĐH Vinh

85

56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh)

86

57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2

86

58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1

86

59 THPT Lam Kinh

87

http://diendantoanhoc.net

Trang 9

87

61 THPT Đa Phúc (Hà Nội)

87

62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang)

88

63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa)

88

64 THPT Quảng Hà

88

65 THPT Thống nhất

89

66 THPT Hồng Quang (Hải Dương)

89

67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc)

89

.NE
T

60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh)

68 THPT chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3

90

69 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ)

90

71 Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)
72 Chuyên ĐH Vinh lần 3

TM
A

73 Chuyên Hùng Vương (Gia Lai)

THS

70 Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam)

90
91
91
91

V. HƯỚNG DẪN VÀ LỜI GIẢI

92

1 Đề minh họa THPT Quốc gia 2015

92

2 Sở GDĐT Phú Yên

93

VIE

3 THTT Số 453

95

4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai)

96

5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang)

98

6 THPT Chu Văn An (Hà Nội)

99

7 THPT Chuyên Hà Tĩnh

101

8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An)

102

9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc)

104

10 THPT Chuyên Hưng Yên

105

11 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP HCM)
.

107

12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc)

108

Trang 10

http://diendantoanhoc.net

110

14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên)

111

15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2

112

16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên)

113

17 THPT Minh Châu (Hưng Yên)

116

18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2

119

19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên)

120

20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An)

123

.NE
T

13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang)

21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An)
22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa)

24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa)
25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An)

27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh)
28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh)

TM
A

26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh)

THS

23 THPT Thuận Châu (Sơn La)

126
127
129
131
133
135
137
140
142

30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM)
.

144

VIE

29 THPT Chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp)

31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa)

146

32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

148

33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB

151

34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D

153

35 THPT Hồng Quang (Hải Dương)

155

36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội)

158

37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa)

160

38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa)

162

39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa)

164

http://diendantoanhoc.net

Trang 11

166

41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2

167

42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh)

169

43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa)

171

44 Đề 44

173

45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần 1

174

46 Sở GDĐT Vĩnh Long

176

47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh
.

177

.NE
T

40 Trung tâm dạy thêm văn hóa - THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP. HCM)

48 Sở GDĐT Thanh Hóa
49 Sở GDĐT Quảng Ngãi

51 Sở GDĐT Lào Cai
52 Sở GDĐT Lâm Đồng
53 Sở GDĐT Bình Dương

55 THPT Chuyên ĐH Vinh

TM
A

54 THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh)

THS

50 Sở GDĐT Quảng Nam

178
180
181
183
185
186
187
189
192

57 THPT Nông Cống 1 (Thanh Hóa) lần 2

193

VIE

56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh)

58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1

196

59 THPT Lam Kinh (Thanh Hóa)

198

60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh)

199

61 THPT Đa Phúc (Hà Nội)

202

62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang)

203

63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa)

205

64 THPT Quảng Hà (Quảng Ninh)

207

65 THPT Thống nhất (Bình Phước)

210

66 THPT Hồng Quang (Hải Dương)

212

Trang 12

http://diendantoanhoc.net

215

68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 3

216

69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ)

218

70 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam)

221

71 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định)

222

72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần 3

225

73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai)

227

VIE

TM
A

THS

.NE
T

67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc)

http://diendantoanhoc.net

Trang 13

I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
1

Lý thuyết chung

1.1

Hệ tọa độ

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho các điểm: A x A ; y A , B x B ; y B ,C xC ; yC .
−
→
• Tọa độ vectơ: AB = x B − x A ; y B − y A

1.2
1.2.1

.NE
T

• Tọa độ trung điểm J của đoạn thẳng AB , trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là:
x A + x B + xC y A + y B + y C
x A + xB y A + y B
;
; G
;
J
2
2
3
3

Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

THS

→
−
− −
• Vectơ →(→ = 0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặc
u u
trùng với đường thẳng d .
−
− − →
• Vectơ →(→ = 0 ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc với đường
n n
thẳng d .

TM
A

−
• Đường thẳng ax + b y + c = 0 có một vectơ pháp tuyến là → = (a; b).
n
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến).
• Hai đường thẳng vuông góc có vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương

của đường thẳng kia.

VIE

− −
− −
• Nếu →, → lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì →.→ = 0.
u n
u n
−
−
Do đó, nếu → = (a; b) thì → = (b; −a).
u
n
−
• Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ chỉ phương. Nếu → là một vectơ
n
→(k = 0) cũng là một vectơ pháp
−
pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của đường thẳng d thì k n
tuyến, vectơ chỉ phương của d .

1.2.2

Phương trình đường thẳng

• Phương trình tổng quát của đường thẳng:
ax + b y + c = 0

(a 2 + b 2 > 0)

(1)

−
Đường thẳng đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ) và nhận → = (a; b) là vectơ pháp tuyến có phương trình
n
dạng:
a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0
(2)

Đặc biệt: đường thẳng đi qua (a; 0), (0; b) có phương trình theo đoạn chắn:
x y
+ =1
a b

Trang 14

(3)
http://diendantoanhoc.net

−
* Đường thẳng đi qua M (x 0 ; y 0 ) và nhận vectơ → = (p; q) làm vectơ chỉ phương, có phương
n
trình tham số là:
x = x 0 + pt
y = y0 + q t

(4)

Có phương trình chính tắc là:
x − x0 y − y 0
=
p
q

(p, q = 0)

(5)

Đặc biệt: đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A x A ; y A , B x B ; y B có phương trình dạng:

.NE
T

x − xA
y − yA
=
xB − x A y B − y A

(6)

• Đường thẳng đi qua M (x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k thì có phương trình đường thẳng với hệ số

góc dạng:

y = k(x − x 0 ) + y 0

Chú ý:

(7)

THS

– Không phải đường thẳng nào cũng có hệ số góc. Các đường thẳng dạng x = a không
có hệ số góc. Do vậy, khi giải các bài toán dùng hệ số góc, ta phải xét cả trường hợp
đặc biệt này.
−
– Nếu → = (a; b), (b = 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì hệ số góc của nó là
n
a
k =− .
b

Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng

TM
A

1.2.3

Cho A x A ; y A , B x B ; y B và đường thẳng ∆ : ax + b y + c = 0. Khi đó:
• Nếu ax A + b y A + c ax B + b y B + c < 0 thì A, B ở về hai phía khác nhau đối với ∆.

1.3

VIE

• Nếu ax A + b y A + c ax B + b y B + c > 0 thì A, B ở cùng một phía đối với ∆

Góc và khoảng cách

− −
• Góc giữa hai vectơ →, → được tính dựa theo công thức:
v w
− −
cos(→, →) =
u w

→.→
− −
u w
→ . →
− −
v w

(8)

− −
• Giả sử →1 , →2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của các đường thẳng d 1 và d 2 . Khi đó:
n n
→ .→
− −
n1 n2
cos (d 1 , d 2 ) =

→ . →
−
n1 −2
n

(9)

−
• Độ dài vectơ → = (a; b) là:
u
→ =
−
u

http://diendantoanhoc.net

a2 + b2

(10)
Trang 15

• Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; y A ), B (x B ; y B ) là:
AB =

xB − x A

2

+ yB − y A

2

1
2

AB.AC

2

− −
→ →
− AB . AC

2

(11)

• Diện tích tam giác ABC là:
S=

(12)

• Khoảng cách từ điểm M (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng d : ax +b y +c = 0 được tính bằng công thức:

1.4

ax 0 + b y 0 + c

Phương trình đường tròn

• Đường tròn tâm I (a; b), bán kính R có dạng:

(13)

a2 + b2

.NE
T

d (M ;d ) =

(x − a)2 + (y − b)2 = R 2
• Phương trình:

(a 2 + b 2 − c > 0)

THS

x 2 + y 2 + 2ax + 2b y + c = 0,

(14)

cũng là phương trình đường tròn với tâm I (−a; −b) và bán kính R =

(15)
a2 + b2 − c .

• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (x 0 ; y 0 )

(16)

(x 0 − a)(x − x 0 ) + (y 0 − b)(y − y 0 ) = 0

TM
A

• Vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn C tâm I , bán kính R .

– Nếu d(I ;∆) > R thì ∆ và C không cắt nhau.

– Nếu d(I ;∆) = R thì ∆ và C tiếp xúc tại I là hình chiếu của I lên d .

1.5

VIE

– Nếu d (I ;∆) < R thì ∆ và C cắt nhau tại hai điểm M , N . Khi đó trung điểm H của M N là
hình chiếu của I lên M N và
2
M N = 2 R 2 − d (I ,∆)
(17)

Phương trình Elip

• Elip là tập hợp các điểm M di động thỏa mãn M F 1 + M F 2 = 2a với F 1 , F 2 cố định, F 1 F 2 = 2c ,
a > c > 0 là các số cho trước.
• F 1 (−c; 0),F 2 (c; 0) được gọi là tiêu điểm, F 1 F 2 = 2c được gọi là tiêu cự. M F 1 , M F 2 là các bán

kính qua tiêu.
• Các điểm A 1 (−a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0; −b), B 2 (0; b) được gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng
A 1 A 2 = 2a được gọi là trục lớn, B 1 B 2 = 2b được gọi là trục nhỏ.
• Phương trình chính tắc của Elip có hai tiêu điểm F 1 (−c; 0), F 2 (c; 0) là:
x2 y 2
+
=1
a2 b2

(18)

Trong đó a > b > 0, b 2 = a 2 − c 2 .
Trang 16

http://diendantoanhoc.net

• Tâm sai e =

c
.
a

• Cho elip (E ) có phương trình chính tắc (18). Hình chữ nhật PQRS với P (−a; b), Q(a; b),
R(a; −b), S(−a; −b) được gọi là hình chữ nhật cơ sở của Elip.
• Nếu M ∈ (E ) và M , F 1 , F 2 không thẳng hàng thì đường thẳng phân giác ngoài của góc F 1 M F 2
chính là tiếp tuyến của (E ) tại M .

Một số kĩ thuật cơ bản

2.1
2.1.1

Kĩ thuật xác định tọa độ điểm
Dựa vào hệ điểm

.NE
T

2

Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện nào đó với hệ các điểm A 1 , A 2 , ..., A n . Đối với bài toán
này, ta đặt M (x; y) và khai thác giả thiết.
Ví dụ 1

THS

Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2), trực tâm H (−1; 3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp I của tam giác.
Lời giải

−→
−

−
→

−2(x − 1) = −2
−2(y − 2) = 1

−→
−

−
→

Giả sử I (x; y). Ta có: G H = (−2; 1); G I = (x − 1; y − 2). Vì G H = −2G I nên:


2.1.2

3
.
2

TM
A

Vậy I 2;

x = 2

⇐⇒
3
y =

2

Xác định tọa độ giao điểm của hai đường

VIE

Giao của hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d 1 : ax + b y + c = 0, d 2 : mx + n y + p = 0 (nếu có) là nghiệm
của hệ phương trình:

ax + b y + c = 0

mx + n y + p = 0

(19)

Giao của đường thẳng và đường tròn

x = x + mt
0
Cho đường thẳng d :
 y = y 0 + nt

và đường tròn (C ) : (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 . Tọa độ giao điểm

(nếu có) của d và (C ) là nghiệm của hệ phương trình:

x = x 0 + mt



y = y 0 + nt


(x − a)2 + (y − b)2 = R 2

http://diendantoanhoc.net

(20)

Trang 17

Giao của đường thẳng và Elip

x = x + mt
0
Cho đường thẳng d :
 y = y 0 + nt

và elip E :

x2 y 2
+
= 1.
a2 b2

Tọa độ giao điểm của d và E (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:

x = x + mt

0



y = y 0 + nt
 x2 y 2


 +
=1
 2
a
b2

(21)

Tọa độ giao điểm của hai đường tròn:
C 1 : x 2 + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = 0;

(nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:

.NE
T

Giao của hai đường tròn
C 2 : x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0

THS


x 2 + y 2 + 2a x + 2b y + c = 0
1
1
1
x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0

Ví dụ 2

: (x −1)2 +(y −2)2 = 25;

Cho hai đường tròn: C 1

TM
A

điểm (nếu có) của chúng.

C2

: x−

7
2

2

1
+ y+
2

(22)

2

=

25
. Tìm tọa độ giao
2

Lời giải

Tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình:


x 2 + y 2 − 2x − 4y − 20 = 0

⇐⇒

x 2 + y 2 − 7x + y = 0

VIE

x 2 + y 2 − 7x + y = 0


x − y = 4

⇐⇒

x − y = 4



x =6


 x =1


Vậy hai đường tròn cắt nhau tại A(6; 2), B (1; −3).
2.1.3

Điểm thuộc đường


x = x + mt
0
Để tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d :
 y = y 0 + nt

thỏa mãn điều kiện nào đó.

Ta lấy điểm M (x 0 + mt ; y 0 + nt ) và áp dụng giả thiết, ta thu được phương trình ẩn t .
Như thế, ta gọi là tham số hóa tọa độ điểm M .
Ví dụ 3
Cho điểm A(2; −1). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0 sao cho AM = 2
Lời giải
Trang 18

http://diendantoanhoc.net

Giả sử M (m; 2m − 4). Ta có: AM =
AM =

(m − 2)2 + (2m − 3)2 . Khi đó:

2 ⇐⇒ 5m 2 − 16m + 11 = 0 ⇐⇒ 

Vậy các điểm cần tìm là M1 (1; −2), M2

2.2

11 2
; .
5 5

m=1
11
m=
5

Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng
C

Để tìm tọa độ hình chiếu H của M lên đường thẳng
d ta có 2 cách:

∆

• Cách 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
M và vuông góc với d . Điểm H chính là giao
điểm của d và ∆.

.NE
T

d

M

• Cách 2: Tham số hóa tọa độ của H ∈ d và dựa
vào điều kiện M H ⊥ d .

H

Ví dụ 4

THS

Cho điểm M (−1; −1) và đường thẳng d : x − y + 2 = 0.
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d .
Lời giải

Cách 1
Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình dạng:

TM
A

1.(x + 1) + 1.(y + 1) = 0 ⇐⇒ x + y + 2 = 0

Do H = d ∩ ∆ nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:

x − y + 2 = 0
x + y + 2 = 0

Giải hệ ta được H (−2; 0).

VIE

Cách 2
−→
−
−
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương → = (1; 1). Giả sử H (h; h + 2) ∈ d . Ta có: M H = (h + 1; h + 3).
u
−→→
−
M H .− = 0 ⇐⇒ 1.(h + 1) + 1.(h + 3) = 0 ⇐⇒ h = −2
u

Vậy H (−2; 0).

2.3

Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng

Để tìm tọa độ điểm đối xứng M của M qua đường thẳng
d ta có 2 cách:
• Cách 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M
lên d . Do H là trung điểm M M nên áp dụng công
thức tìm tọa độ trung điểm, ta tìm được M
• Cách 2: Giả sử M  y) và H là trung điểm của
(x;
H ∈ d
M M . Khi đó ta có: − − →
−→
 M M .− = 0
u

http://diendantoanhoc.net

∆
d

M

H
M

Trang 19

Ví dụ 5
Tìm tọa độ điểm M là đối xứng của điểm M (1; 1) qua đường thẳng d : x + y + 2 = 0.
Lời giải
Cách 1
−
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương → = (1; −1).
u
−→
−
Hình chiếu của M lên đường thẳng d là H (h; −h − 2) ∈ d . Ta có: M H = (h − 1; −h − 3). Do đó:
−→→
−
M H .− = 0 ⇐⇒ 1.(h − 1) − 1.(−h − 3) = 0 ⇐⇒ h = −1
u

Do H là trung điểm của M M nên:


x

M = 2x H − x M = −3
 y M = 2y H − y M = −3

Vậy M (−3; −3).
Cách 2
−
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương → = (1; −1).
u

.

.NE
T

Vậy H (−1; −1).

−− −
−→
x +1 y +1
;
∈ d và M M .→ = 0. Ta có hệ:
u
2
2


x +1 y +1

x = −3
+
+2 = 0
⇐⇒
2
2
1.(x − 1) − 1.(y − 1) = 0
 y = −3


THS

Giả sử M (x; y). Khi đó trung điểm M M là H

Vậy M (−3; −3).

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước
một khoảng cho trước
∆1

p
N

M
∆2

Ví dụ 6

Để viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
M và cách điểm N x N ; y N một khoảng bằng p ta
thường giả sử vectơ pháp tuyến của đường thẳng là
→ = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) và áp dụng công thức tính
−
n
khoảng cách - công thức (13).

VIE

p

TM
A

2.4

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 3) và cách điểm B (−2; 1) một khoảng bằng 3.
Lời giải
−
Giả sử → = (a; b), (a 2 + b 2 > 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm. Phương trình đường
n
thẳng có dạng:
a(x − 1) + b(y − 3) = 0 ⇐⇒ ax + b y − a − 3b = 0

Khi đó:
d (B ;∆) = 3 ⇐⇒

Trang 20

| − 2a + b − a − 3b|
a2 + b2


= 3 ⇐⇒ 5a 2 − 12ab = 0 ⇐⇒ 

b=0
12
b= a
5

http://diendantoanhoc.net