Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Tất cả vì học sinh thân yêu
Các em cần nhớ kiến thức cơ bản sau :
1)Cách xác định tâm mặt cầu ngoài tiếp các hình cơ bản , tứ diện , chop tứ giác , lăng trụ
2)Cách tính bán kính mặt cầu
3)Cách tính diện tích mặt cầu , thể tích khối cầu
Dạng 1 : Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thường .
1)Nếu tam giác ABC vuông , thì tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC sẽ là điểm E(trung điểm của BC)
2)Nếu tam giác ABC đều , thì tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC sẽ là giao điểm 3 đường trung tuyến
3)Nếu tam giác ABC thường thì tâm đường tròn ngoại tiếp
sẽ là giao của 3 đường trung trực
1
Tất cả vì học sinh thân yêu
Trường hợp đặc biệt , nếu tam giác ABD vuông tại
A , tam giác BCD vuông tại C thì trung điểm I của BD
Sẽ là tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD
Vì IA = IB = IC = ID
Dạng 2 : Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S.ABCD , không phải chóp tứ giác nào cũng có mặt
cầu ngoại tiếp , việc này còn phụ thuộc vào sự đặc biệt của hình ví dụ như sau :
+)Nếu SA vuông góc với đáy , ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Tứ giác ABCD , Vẽ trục Ox , trong mặt phẳng SAC ta kẻ trung trực của SA
Khi đó ta tìm được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
+)Nếu trục Ox không năm trong mặt phẳng (SAC) , (SBD) ta
Không tìm được mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD
2
Tất cả vì học sinh thân yêu
Trường hợp đặc biệt 1 : Đáy là hình vuông , lại có góc ASC hay BSD
Là góc vuông thì ta sẽ có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp
S.ABCD
Trường hợp đặc biệt 2 : Chóp S.ABCD đều , ta xác định tâm I như sau
+)SO là trục
+)Trong mặt phẳng SAC ta dựng trung trực của SA ,cắt SO tại I
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Trường hợp đặc biệt 3 :
Nếu ta có góc SAC , SBC , SDC là góc vuông thì trung điểm I
Của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chop tứ giác S.ABCD
3
Tất cả vì học sinh thân yêu
Dạng 3 : Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng
O,O’ lần lượt là tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC , A’B’C’
I là trung điểm của OO’ . Khi đó
Là điểm I , vì có IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’
Câu 1 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy
góc 300. Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.
Bài giải:
+Gọi H là trung điểm BC
=> A’H (ABC)
=> góc A’AH bằng 300.
Ta có:AH =
a 3
; A’H = AH.tan300 = a/2.
2
4
Tất cả vì học sinh thân yêu
SABC =
a2 3
.
4
V = S ABC . A' H =
a3 3
.
8
Tìm bán kính mặt cầu : Ngoại tiếp tứ diện A’ABC
+ Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E
+ Gọi F là trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I => I là tâm
m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC và bán kính R = IA.
Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6.
IF = EF.tan600 =
R=
a 3
6
AF2 FI 2
a 3
3
5
Tất cả vì học sinh thân yêu
Câu 2 Cho hình chóp S. ABC có SA ABC , SA 2a , tam giác ABC cân tại A , BC 2a 2 ,
1
cos( ACB ) . Tính thể tích của khối chóp S. ABC , xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại
3
tiếp hình chóp S. ABC .
Bài giải:
Tính thể tích của khối chóp S. ABC
sin C
2 2
; tan C 2 2; CM a 2; AM CM . tan C 4a
3
S ABC
1
1
8a 3 2
AM .BC 4a 2 2 VS . ABC SA.S ABC
2
3
3
sin A sin 2C 2sin C.cos C 2
12 2 4 2
3 3
9
Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có 2 R
BC
9a
sin A 4
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC .
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R.
Dựng ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn tại J khi đó J chính là
tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC khi đó
r JA JB JS JC IA2 AN 2
2
Diện tích mặt cầu cần tính là S 4 .r
a 97
4
97 .a 2
4
6
Tất cả vì học sinh thân yêu
Câu 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của
hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Bài giải:
Thể tích lăng trụ là: V AA '.SABC a.
a 2 3 a3 3
4
4
Gọi O, O lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC, A ' B 'C ' khi đó tâm của mặt cầu (S) ngoại
tiếp hình lăng trụ đều ABC.ABC là trung điểm I của OO. Mặt cầu này có bán kính là:
R IA AO 2 OI 2
7 a 2
a 21
S 4 R 2
3
6
Câu 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của AD và N là
tâm của hình vuông CC’D’D. Tính thể tích của khối cầu đi qua 4 đỉnh M, N, B, C’ và khoảng cách
giữa 2 đường thẳng A’B’ với MN.
Bài giải:
7
Tất cả vì học sinh thân yêu
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, sao cho D trùng với gốc tọa độ O, A Ox, C Oy và
D' Oz , khi đó ta có:
D(0;0;0),C(0;2;0),B(2;2;0),A(2;0;0)
D'(0;0;2),C'(0;2;2),B'(2;2;2);A'(2;0;2)
M là trung điểm của AD nên M(1;0;0)
N là trung điểm của CD’ nên N(0;1;1)
Gọi phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) đi qua 4 điểm B, C’, M, N có dạng là:
(S):x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
Vì mặt cầu (S) đi qua 4 điểm B, C’, M, N nên ta có hệ phương trình:
8 4a 4b d 0
6 4b 2a 1 0
8 4b 4c d 0
8 4b 4c 2a 1 0
1
2
a
d
0
d 2a 1
2 2b 2c d 0
2 2b 2c 2a 1 0
8
Tất cả vì học sinh thân yêu
5
a 2
2a 4b 5 0
5
2a 4b 4c 7 0
b
2
2a 2b 2c 1 0
1
d 2a 1
c
2
d 4
2
Bán kính của mặt cầu cần tìm là R
Thể tích của khối cầu đi qua bốn đỉnh B, C’, M, N là:
3
4
4 35 35 35
(đvtt)
V R3
3
3 2
6
Tính: d[ DB ', MN ] ?
Ta có:
A ' M (1;0 2)
A ' B ' (0;2;2)
A ' B ', MN (2;0;2)
MN (1;1;1)
A ' B ', MN . A ' M 2(1) 0 2(2) 6
A ' B ', MN 02 22 22 2 2
Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B’ với MN được xác định bởi
d[ A ' B '; MN ]
2
2
35
5 5 1
a2 b2 c2 d 4
2
2 2 2
A ' B ', MN . A ' M
6
3 2
(đvđd)
2
2 2
A ' B ', MN
9
Tất cả vì học sinh thân yêu
1200 .
Câu 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB a , AC = 2a , AA' = 2a 5 và BAC
Gọi K là trung điểm của cạnh CC’.
1. Tính thể tích khối chóp A.A'BK .
2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’A 'BK.
3. Gọi I là trung điểm của BB', tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A’BK)
Bài giải:
Tính thể tích khối chóp A.A'BK
Do CK / / AA ' B nên ta có:
VA. A ' BK VK . AA ' B VC . AA ' B
Mà S ABC
1
VA '. ABC S ABC . AA '
3
1
a2 3
AB. AC sin1200
2
2
1 a2 3
a 3 15
.2a 5
3 2
3
Vậy VA. A ' BK .
Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'B'BK .
0
Ta chứng minh trung điểm của A’B là tâm mặt cầu do BAA ' A ' KB A ' B ' B 90
ABC có: BC 2 AB 2 AC 2 2 AB. AC.cos120 0 7 a 2
BK 2 BC 2 CK 2 7 a 2 a 5
2
12a 2
A ' K 2 A ' C '2 C ' K 2 4 a 2 5a 2 9a 2 ,
A ' B 2 A ' A2 AB 2 20a 2 a 2 21a 2
Suy ra A ' B 2 A ' K 2 BK 2 A ' BK vuông tại K.
Ta có
A ' KB
A ' B ' B 900 4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B. Vậy mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính R
10
1
a 21
A' B
2
2
Tất cả vì học sinh thân yêu
Tính khoảng cách từ I đến mp (A’BK)
1
d B ', A ' BK
2
Do E là trung điểm của AB ' d B ', A ' BK d A, A ' BK
Vì I là trung điểm của BB ' d I , A ' BK
Tam giác A’BK có BK A ' K S A ' BK
1
1
A ' K .BK .3a.2a 3 3a 2 3
2
2
1
S A ' BK .d A, A ' BK
3
3V
a 3 15 a 5
d A, A ' BK A. A ' BK 2
S A ' BK
3
3a 3
Có VA. A ' BK
Vậy d I , A ' BK
1a 5 a 5
2 3
6
Câu 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(SAB) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
Bài giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD
Kẻ AM SB M SB
AC ( SBD) AC SB
SB AM
Vì SB AMC
SB CM
SAB , SBC AM , CM 60o
Vì BOM vuông tại M nên OM BO AO
Suy ra: tan
AMO
Vậy
AO
1
AMO 45O
AMC 90O
MO
AMO 120o
Ta có : tan
AMO
AO
AO
a 6
MO
o
MO
tan 60
6
11
Tất cả vì học sinh thân yêu
Trong tam giác vuông SBO ta có:
Vậy VS . ABCD
1
1
1
a
SO
2
2
2
MO
SO
BO
2
1
a3
SO.S ABCD
3
6
Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực của SB căt SO tại I
vì I SO IB IC ID
vì I thuộc trung trực của SB IS IB
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
3a 2
a 3
SB
4
2
Ta có
SI SH
SB.SH 3a
SHI ~ SOB gg
SI
SB SO
SO
4
SB 2 SO 2 OB 2
Vậy bán kính mặt cầu R
3a
4
Câu 7 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a, hình chiếu
vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) là trung điểm của A’C’. biết rằng côsin của góc tạo bởi
hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD’C’) bằng
21
. tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và
7
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’.
Bài giải:
12
Tất cả vì học sinh thân yêu
*) Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’B’D’ suy ra
.
Do đó A’B’C’, A’C’D’ là các tam giác đều cạnh a 3 .
Gọi O A ' C ' B 'D' , Ta có BO ( A ' B ' C ' D ') .
Kẻ OH A ' B ' tại H, suy ra A ' B ' (BHO) . Do đó(
Từ cos
=
Vậy VABCD . A 'B'C'D'
2
BO HO.tan
3
= A ' O.sin 600.
a 3
9a 3
.
.a 3.a 3. sin 600
2
4
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’.
Vì BO
a 3 1
A ' C ' nên tam giác A’BC’ vuông tại B
2
2
Vì B'D' (A'BC') nên B’D’ là trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’.
13
2 a 3
2
3
Tất cả vì học sinh thân yêu
Gọi G là tâm của tam giác đều A’C’D’. khi đó GA’ = GC’ = GD’ và GA’ = GB = GC’ nên G là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’. mặt cầu này có bán kính R = GD’
2
2 3a
OD ' . a .
3
3 2
Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
góc giữa đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi M là trung điểm của SA, (P) là mặt
phẳng đi qua M và vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, E, F.
Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF.
Bài giải:
Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF
Từ giả thiết ta có:
BC AB
0
BC SAB BSC 30
BC SA
là góc giữa SC với mp(SAB)
Từ đó:
SB BC.cot 300 a 3
SA SB 2 AB 2 a 2
SB P tại E nên thể tích khối chóp S.MNEF
được xác định bởi: V
1
S MNEF .SE
3
Do SA AC và SA AC a 2 , nên ∆SAC vuông cân tại A SEM vuông cân tại E
SE
Ta có:
SM a
2 2
MN CS do SC P
MN SBC MN NE , MN SB
MN BC do BC SAB
14
Tất cả vì học sinh thân yêu
S MNE
1
1 a 6 a 3 a2 2
MN . NE
.
2
2 6
6
24
Hoàn toàn tương tự ta cũng có MF EF và S MEF
Vậy V 1 S MNEF .SE a
3
3
a2 2
a 2
S MNEF
24
12
2 (đvtt)
72
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF.
MN SE
MN SNE MN SN . Tương tự MF SF
MN NE
Từ đó ∆SNM, ∆SEM và ∆SFM là 3 tam giác vuông nhận SM là cạnh huyền chung. Suy ra nếu gọi I
là trung điểm của SM thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF và bán kính mặt cẩu là
R
1
a 2
SM
2
4
Câu 9 Cho hình chóp S.ABC có SA ABC ,
ABC 900 , AB a, BC a 3, SA 2a . Chứng minh
trung điểm I của cạnh SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp so sánh S.ABC và tính diện tích
mặt cầu đó theo a.
Bài giải:
Cho hình chóp S.ABCD có SA ABC ,
ABC 900 , AB a, BC a 3, SA 2a . Chứng minh trung
điểm I của cạnh SC là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC và tính diện tích mặt cầu đó theo
a.
15
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vì SA ABC SA BC
Mặt khác theo giả thiết AB BC , nên BC SAB và do đó BC SB
==>IB = IC = IS
Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAC vuông đỉnh A nên
IA IC
SC
IS IC *
2
Vậy điểm I cách đều bốn đỉnh của hình chóp, do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của
hình chóp S.ABC
Từ (*) ta có bán kính của mặt cầu là R
Ta có AC
SC
2
AB 2 BC 2 2a
SC SA2 AC 2 2 2a R a 2
Diện tích mặt cầu là 4 R 2 8 a 2
Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều A, B,
C. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’.ABC.
Bài giải:
Xác định góc 600:
16
Tất cả vì học sinh thân yêu
+Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABC) suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+AH là hình chiếu của AA’ lên (ABC), suy ra
Tính thể tích lăng trụ:
+∆ABC đều cạnh a nên
Suy ra:
Xác định tâm mặt cầu:
+Gọi P là trung điểm AA’. Kẻ đường trung trực d của AA’ trong (A’AH), d cắt A’H tại I.
+I ∊ d => IA’ = IA, I∊ A’H =>IA = IB = IC =>là tâm mặt cầu cần tìm.
Tính bán kính R:
Câu 11 Cho hình chop S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành tâm O, AB=2a, AD= 2a 3 ,các
cạnh bên bằng nhau và bằng 3a. Gọi M là trung điểm của OC. Tính theo a thể tích khối chop
S.ABMD và diện tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD.
Bài giải:
Ta có: SA SB SC SD 3a SO ABCD
SOA SOB SOC SOD
OA OB OC OD
ABCD là hình chữ nhật
S ABCD AB. AD 2 a.2a 3 4a 2 3
Có: DB
AB 2 AD 2 4a
SO
SB 2 OB 2 a 5
17
Tất cả vì học sinh thân yêu
VS . ABCD 1 .SO.S ABCD 1 .a 5.4a 2 3 4a
3
VS . ABMD
3
3
15
3
3
VS . ABCD a3 15
4
Gọi G là trọng tâm OCD , do OCD đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp OCD
Kẻ d qua G và song song với SO d ABCD
Trong mp(SOG) dựng đường trung trực của SO, cắt d tại K, cắt SO tại I
Ta có: KI là trung trực SO KO KS
Mà KO KC KD K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SOCD
2
2
a 5 2a
a 93
Có: GO CD 2a ,
R KO OI 2 OG 2
6
3
3
2
3
2
2
Diện tích mặt cầu : S 4 R 4 a 93 31a
3
6
2
Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB a, AD a 3 , góc giữa mặt
phẳng (SAC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600, tam giác SAB cân tại S thuộc mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.DHM.
Bài giải:
Do
SAB ABCD và
SAB cân SH ABCD . Kẻ HF AC khi đó góc giữa mặt
600 . Ta có HF 1 h , h là độ dài đường cao kẻ từ B của
phẳng (SAC) và mặt đáy bằng SFH
2
ABC ,
h
AB.BC a 3
a 3
3a
. Ta có SH HF .tan 600
. Gọi I, r là tâm và bán kính của
HF
4
AC
2
4
đường tròn ngoại tiếp DHM r
HM .MD.DH
.
4 S HMD
Kẻ đường thẳng d đi qua I vuông góc với mp(ABCD) (song song với SH).
18
Tất cả vì học sinh thân yêu
Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM là giao điểm của đường thẳng d với đường trung
trực của đoạn thẳng SH trong mặt phẳng (SH).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM là
R OH OI 2 HI 2
1
9 2 2
SH 2 r 2
a r
4
64
(1).
HM BH BM a HM a
MD 2 CM 2 CD 2
7 2
a 7
a MD
2
2
HD 2 AH 2 AD 2
13 2
a 13
a HD
4
2
S HMD S ABCD S BHM SCMD S ADH
Suy ra r
HM .MD.DH a 91
4.S HMD
6 3
Từ (1) và (2) suy ra R
3a 2 3
8
2
9 2 91 2 a 1699
a
a
64
108
24 3
Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB a 3 , AC = a, SA=SB=SC,
khoảng cách giữa AB và SC bằng
2a 2
. Tính theo a
3
a) Thể tích của khối chóp S.ABC
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bài giải:
19
Tất cả vì học sinh thân yêu
a) Gọi H là trung điểm của BC SH ABC .
Dựng hình chữ nhật ABCD d AB; SC
d B; SCD 2d H ; SCD .
Gọi E là trung điểm của CD CD SHE .
Gọi F là hình chiếu của H lên SE HF SCD
d H ; SCD HF HF
a 2
3
Trong HSE có SH a 2
1
a3 6
VS . ABC SH S ABC
3
6
Ta có SH là trục của ABC.
Gọi I là trung điểm của SC, trong (SHC) dựng trung trực của SC
cắt SH tại K K là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Ta có HSC ~ ISK SK
SC 2
3a 2
SK
2 SH
4
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC bằng
20
3a 2
4