Chuyen de day so luyen thi hsg bac thpt
WWW.VIETMATHS.COM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ
Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng
CHUYÊN ĐỀ
DÃY SỐ
NHÓM THỰC HIỆN:
Bùi Tấn Phương
Trần Mỹ Hoa
Tiêu Ngọc Diễm Quỳnh
Trần Thị Thanh Huyền
Lê Thanh Tú
Nguyễn Anh Lộc
Dương Minh Quân
Bùi Tuấn Anh
Tống Trung Thành
Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Bửu Tính, Trần Diệu Minh.
-1-
WWW.VIETMATHS.COM
-2-
WWW.VIETMATHS.COM
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một trong những
vấn đề quan trọng trong phần đại số và giải tích lớp 11. Dãy số là dạng toán khá phức tạp, cần rèn
luyện, học tập thường xuyên thì mới giải nhanh và tốt được. Vì thế, dãy số thường xuất hiện trong
các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả năng tư duy của học sinh. Do đó để có thể
học tốt môn dãy số, ta cần luyện tập giải các bài toán liên quan dãy số đồng thời tích cực tìm ra
những phương pháp hay để giải toán dãy số một cách hợp lý nhất.
Ở chuyên đề này, tập thể tổ 02 lớp 11A1 đã tổng hợp và biên soạn một số vấn đề liên quan
đến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên cũng như để nghiên cứu về một dạng toán khá lí
thú.
Chuyên đề gồm các phần:
:
1. Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số.
2. Các dạng dãy số đặc biệt.
3. Một số phương pháp xây dựng dãy số.
4. Phương trình sai phân tuyến tính.
5. Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn.
-3-
WWW.VIETMATHS.COM
PHẦN 01: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ
I)Các định nghĩa về dãy số:
Dãy số: là hàm số f : S �
S= 1; 2;3;......; n đối với dãy hữu hạn.
S= �đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 0.
S= �* đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 1.
Với dãy f: S �.
n a f ( n) .
Ký hiê êu: un ; un ; với un= f(n).
Trong đó:
+ u0 hay u1 được gọi là số hạng đầu.
+ un được gọi là số hạng tổng quát.
+n được gọi là chỉ số của các số hạng.
Dãy số có thể được cho theo các cách sau đây:
1)Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát:
VD: Cho dãy số un với un
n 10
.
2n 9
2)Cho dãy số bởi hê ê thức truy hồi:
u1 20
VD:
.
un 2un 95(n 2)
3)Cho dãy số bởi phương pháp liê êt kê các phần tử.
VD: dãy 0;1;2;3;4;5;…….
II)Tính chất:
1)Dãy số tăng, dãy số giảm:
Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có: un un 1 .
Dãy số ( un ) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: un un 1 .
Dãy số tăng hay dãy số giảm được coi là dãy đơn điê êu.
VD: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: un= n + (
Giải: n �+ Ta có: un+1- un= (1-
1 n
) với n �+.
2
1
1
> 0 (un) là dãy tăng.
n ) +
2
2n1
2)Dãy số bị chă ăn:
-4-
WWW.VIETMATHS.COM
Dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chă ên trên nếu tồn tại số M sao cho: n � , un
*
M
Số M nhỏ nhất được gọi là câ ên trên đúng của (un ).Ký hiê uê sup un .
*
Dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chă ên dưới nếu tồn tại số m sao cho: n � , un
m
Số m lớn nhất được gọi là câ nê dưới đúng của (un ).Ký hiê êu inf un .
Dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chă ên nếu nó vừa bị chă ên trên, vừa bị chă ên dưới, tức là tồn
tại số m và số M sao cho n �* m un M .
VD: Xét tính bị chặn của dãy số sau: un= (-1)n + cos n, n �+.
Giải: un= (-1)n + cos n, n �+;
-1 cos n 1 -2 (-1)n + cos n 2.
Ta có:
Vậy (un) bị chặn.
Chú ý:
Mọi dãy số ( un ) giảm luôn bị chă ên trên bởi u1
Mọi dãy số ( un ) tăng luôn bị chă nê dưới bởi u1 .
3) Dãy con và dãy tuần hoàn:
Dãy con:
Cho dãy (un) n �+.
Lập dãy (V nk ) với các số hạng: V n1 , V n2 ,….., V nk ,…….
Trong đó dãy (nk) là các số tự nhiên tăng vô hạn.
Dãy (V nk ) được gọi là dãy con của (un).
Nhận xét: (un) là dãy con của chính nó với nk=k.
VD: Cho dãy (un) xác định bởi:
0 u1 1
với n �+.
un 1 un (un 1)
CMR: dãy (u2n+1) là dãy giảm và dãy (u2n) là dãy tăng.
Giải: Áp dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng suy ra đpcm.
Dãy tuần hoàn:
Dãy tuần hoàn cộng tính:
Dãy (un) được gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi l �+ sao cho un+l = un n �+.
Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un).
Đặc biệt: (un) tuần hoàn cộng tính, chu kì l=1 là dãy hằng.
-5-
WWW.VIETMATHS.COM
VD: Dãy số (un) xác định bởi u0= 1, u1= 0, un+1= un + un-1 với n = 1,2,3,…… tuần hoàn với chu kì 6:
1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,…….
Dãy tuần hoàn nhân tính:
Dãy (un) được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi l �+, l>1 sao cho un.l = un n �+.
Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un).
Bài tập:
1) Cho dãy (un) với un=
n(n 2)
, n � và dãy (xn) xác định bởi xn= u1.u2.u3…un.
(n 1) 2
a) CMR dãy (un) tăng, (xn) giảm.
b) CMR xn=
n2
.
2(n 1)
2) Dãy (un) xác định bởi:
u1 u2 u3 1
, n 4 .
un un 1 un 3
CMR: dãy (un) tăng n 3.
3) Xét tính bị chặn của dãy un:
un= (1+
1 n
) n �+.
n
4) Dãy (un) xác định bởi:
0 un 1
1
. CM: dãy (un) tăng và bị chặn.
un 1 (1 un ) 4 n �
5) Dãy (un) xác định bởi:
u1 1
2 un
u
n
1
1 un
với n 1.
CM: dãy (u2n+1) tăng và dãy (u2n) giảm.
6) Cho k �\ �. CMR dãy (un) xác định bởi:
u0 1
u1 1
u ku u n �*.
n
n 1
n 1
Không là dãy tuần hoàn.
-6-
WWW.VIETMATHS.COM
PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT
Cấp số cộng:
Định nghĩa:
Dãy
được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số
hạng đứng trước nó cộng với số không đổi. Số không đổi được gọi là công sai.
Ký hiệu:
Có
: số hạng đầu tiên
: số hạng thứ n (tổng quát)
: công sai
1.
Nhận xét:
- Dãy
(
xác định bởi:
là các số thực)
là 1 cấp số cộng.
Tính chất:
1.
Công thức số hạng tổng quát:
là CSC
có
Chứng minh:
…
-7-
WWW.VIETMATHS.COM
Suy ra:
Nhận xét:
mà:
thì
2.
(Thường dùng chứng minh CSC):
3.
Tổng của n số hạng đầu tiên:
là cấp số cộng đặt:
Có
Hay
Chứng minh:
Có
Nhận xét:
Ví dụ:
Chứng minh rằng nếu
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì
tự cũng lập thành một cấp số cộng (giả sử
Giải:
-8-
)
theo thứ
WWW.VIETMATHS.COM
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
Tức là khi và chỉ khi
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Cấp số nhân:
Định nghĩa:
Dãy
được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bắng số
hạng đứng trước nó nhân với số không đổi. Số không đổi được gọi là công bội.
Ký hiệu:
Có
: số hạng đầu tiên
: số hạng thứ n (tổng quát)
: công bội
Nhận xét:
-
-
(
Dãy
xác định bởi:
là các số thực khác không)
là 1 cấp số nhân.
Tính chất:
1.
Công thức số hạng tổng quát:
là CSN
có
-9-
WWW.VIETMATHS.COM
Chứng minh:
…
Suy ra:
Nhận xét:
mà:
thì
2.
3.
Tổng của n số hạng đầu tiên:
là cấp số nhân đặt:
Có
Chứng minh:
Có
Tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn:
1 CSN được gọi là lùi vô hạn khi và chỉ khi công bội
Dãy
là CSN lùi vô hạn với công bội
Có
- 10 -
thỏa
WWW.VIETMATHS.COM
Ví dụ:
1.
Tính
Giải:
2.
Cho dãy số
rằng dãy số
xác định bởi
và
xác định bởi
với mọi
với mọi
. Chứng minh
là một cấp số nhân. Hãy cho biết số
hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Giải:
Từ công thức xác định dãy số
và
, ta có:
với mọi
Từ đó suy ra dãy số
và công bội
3.
số
Các số
.
là một cấp số nhân với số hạng đầu
.
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm
Giải:
- 11 -
và .
WWW.VIETMATHS.COM
Với
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, ta có:
hay
Ta lại có:
)
)
4.
Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất
và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân.
Giải:
Gọi
3
Ta
số
cần
tìm
theo
thứ
tự
có:
là
:
(thay
vào
dưới)
và
Ta
có
+với
ta
+với
2
có
dãy
dãy
là
ta có dãy -4 , 2, 8
Bài tập:
1.
Chứng minh các mệnh đề sau đúng với:
- 12 -
số
dãy
hằng:
thoả
2
,
mãn:
2
,
2
WWW.VIETMATHS.COM
3. Cho
lập thành cấp số nhân. Cmr:
4. Tìm độ dài
các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm
công bội của cấp số đó.
5. Cmr điều kiện cần và đủ để 3 số
tạo thành cấp số cộng là 3 số
thành cấp số nhân.
Một số dãy số đặc biệt:
1.
Dãy Fibonacci:
1.1
Định nghĩa: Dãy
xác định bởi:
được gọi là dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci viết dạng liệt kê:
1.2
Các định lý:
Định lý 1: Cho dãy
là dãy Fibonacci:
Khi đó:
- 13 -
lập
WWW.VIETMATHS.COM
Định lý 2: (Công thức Binet)
Cho
là dãy Fibonacci:
Số hạng tổng quát của dãy là:
Hệ quả:
a. Khi
thì:
b.
2.
Dãy Farey:
Định nghĩa: Dãy Farey bậc n là dãy số gồm các phân số tối giản nằm giữa 0 và 1 có mẫu số không
lớn hơn n và sắp theo thứ tự tăng dần.
Ví dụ:
bậc 1
- 14 -
WWW.VIETMATHS.COM
bậc 2
bậc 3
bậc 4
Tính chất:
a.
Nếu
b.
Nếu
và
là các số kề nhau trong dãy Farey với
với
thì
nguyên dương và
thì
và
là các số kề
nhau trong dãy Farey bậc Max
c.
Nếu
với các số
mediant của
và
trong dãy Farey nào đó với
và )
3. Dãy Lucas:
Định nghĩa: Dãy
xác định bởi:
Dãy Lucas viết dạng liệt kê:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...
Tính chất:
a.
Với
là tỉ lệ vàng (
b. Tính chia hết giữa các số Lucas
- 15 -
thì
( được gọi là
WWW.VIETMATHS.COM
chia hết cho
nếu m là số lẻ.
c. Mối liên hệ với các số Fibonacci:
1. Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:
Hoặc tổng quát hơn là công thức sau:
với mọi
2.
3.
4.
d. Khi chỉ số là số nguyên tố
Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố.
e. Số nguyên tố Lucas
Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất
được biết là:
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ...
4. Cấp số nhân cộng:
Dãy
được gọi là cấp số nhân cộng nếu như
là các hằng số)
Đặc biệt:
dãy
là CSN công bội là .
dãy
là CSC công sai là .
Dãy số thực:
Định nghĩa:
- 16 -
,
ta có:
WWW.VIETMATHS.COM
Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ
, trong đó
là tập hợp số tự
nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó. Khi đó thay
cho
ta dùng kí hiệu
Nếu
.
là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:
Ngược lại nó được xem là vô hạn:
Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.
Khi bắt đầu từ phần tử
với
dãy thường được ký hiệu:
là phần tử thứ .
Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử a1.
với
là phần tử thứ
Ý nghĩa thực tế:
Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu
thập có thể gồm nhiều số từ
), số thứ 2 (
. Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên (
) và các số tiếp theo.
Biên của dãy:
- 17 -
WWW.VIETMATHS.COM
Cho dãy
. Tập hợp các giá trị của dãy:
được gọi là biên của dãy đó.
Biên này không có thứ tự. Ví dụ, cho dãy
, có biên là {-1,1}. Nó có 2 phần tử thay đổi là
1 và -1.
Dãy số thực đơn điệu:
Định nghĩa
Cho dãy số thực
với xn là các số thực. Nó là
. Tăng khi và chỉ khi
,
. Giảm khi và chỉ khi
,
Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.
Ví dụ: với dãy
Ta có
Do
Suy ra
.
nên
, hay
.
là dãy tăng.
Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng.
- 18 -
WWW.VIETMATHS.COM
Ví dụ như cho dãy
. Xét hàm số:
với
Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:
Đạo hàm này nhỏ hơn 0 khi
. Điều này xảy ra với mọi
, nên dãy
là dãy
giảm.
Dãy số thực bị chặn:
Dãy
bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại
ở đó
,
. Số
được gọi là giá trị
chặn trên.
Ngược lại, dãy
bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại
ở đó
,
. Số
được
gọi là giá trị chặn dưới.
Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn.
Ví dụ: dãy
bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương.
Giới hạn của một dãy số thực:
Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất
gần" một số nào đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực:
Hay
- 19 -
WWW.VIETMATHS.COM
Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số
trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ
của dãy
thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý . Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau:
Đinh nghĩa
Cho dãy số thực
thì
và một số thực . Khi đó nếu:
được gọi là giới hạn của dãy
. Khi đó ta cũng nói dãy
hội tụ.
Giới hạn của dãy thường được kí hiệu:
Hoặc
(khi
)
Các định lý cơ bản
1.
Nếu dãy
2.
3.
Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn.
4.
5.
Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới).
Tính chất:
- 20 -
có