Da_toan_d
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu
1
(2,0 điểm)
Đáp án
Điểm
a. (1,0 điểm)
Khi m = 1 ta có y = 2 x3 − 3x 2 + 1.
• Tập xác định: D = .
0,25
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' = 6 x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) và (1; + ∞); khoảng nghịch biến: (0; 1).
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1.
0,25
- Giới hạn: lim y = − ∞; lim y = + ∞.
x→−∞
x→+∞
- Bảng biến thiên:
x −∞
y'
0
+
0
−
0
+
+∞
1
y
0,25
0
−∞
• Đồ thị:
+∞
1
y
1
0,25
O
1
x
b. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = − x + 1 là
2 x3 − 3mx 2 + (m −1) x +1 = − x +1
⎡x = 0
⇔⎢ 2
⎣ 2 x − 3mx + m = 0 (*).
Yêu cầu của bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
⎧9m 2 − 8m > 0
⇔⎨
⎩m ≠ 0
8
⇔ m < 0 hoặc m > .
9
Trang 1/4
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
2
(1,0 điểm)
Đáp án
Điểm
Phương trình đã cho tương đương với 2cos 2 x sin x + cos 2 x = 0
0,25
⇔ cos 2 x(2sin x + 1) = 0.
0,25
π
π
+ k (k ∈ ).
4
2
⎡ x = − π + k 2π
⎢
6
• 2sin x + 1 = 0 ⇔ ⎢
(k ∈ ).
⎢ x = 7π + k 2π
⎢
⎣
6
• cos 2 x = 0 ⇔ x =
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =
3
(1,0 điểm)
0,25
0,25
π
π
π
7π
+ k 2π (k ∈ ).
+ k , x = − + k 2π, x =
4
2
6
6
Điều kiện: 0 < x < 1. Phương trình đã cho tương đương với
x2
⇔
⇔
(1 − x )
x
1− x
2
=
x2
1− x
= x−2 x +2
x
x
+2⇔⎛
+ 1⎞⎛
− 2⎞ = 0
⎜
⎟⎜
⎟
⎝ 1− x ⎠⎝ 1− x
⎠
1− x
x
− 2 = 0 (do
x
1− x
>0 )
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 4 − 2 3.
1
1
1
•
∫
1
∫
0,25
1
∫x
0
∫
dx = x = 1.
0
•
0,25
1
2x
2x
Ta có I = ⎛1 + 2 ⎞ dx = dx + 2 dx.
⎜
⎟
⎝ x +1 ⎠
x +1
0
0
0
∫
0,25
0,25
⇔ x = 4 − 2 3.
4
(1,0 điểm)
0,25
0,25
0
1
2x
dx = ln( x 2 +1) 0 = ln 2.
2
+1
0,25
Do đó I = 1 + ln 2.
0,25
5
(1,0 điểm)
BAD = 120o ⇒ ABC = 60o ⇒ ΔABC đều
a 3
a2 3
⇒ AM =
⇒ S ABCD =
.
2
2
S
ΔSAM vuông tại A có SMA = 45o ⇒ ΔSAM
a 3
.
vuông cân tại A ⇒ SA = AM =
2
H
A
D
0,25
0,25
1
a3
Do đó VS . ABCD = SA.S ABCD = .
3
4
Do AD||BC nên d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
B
M
C
Ta có AM ⊥ BC và SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM )
⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A,( SBC )) = AH .
AM 2 a 6
=
,
2
4
a 6
.
suy ra d ( D,( SBC )) =
4
0,25
Ta có AH =
Trang 2/4
0,25
Câu
6
(1,0 điểm)
Đáp án
Điểm
2
Do x > 0, y > 0, xy ≤ y −1 nên 0 <
x y −1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1
≤
= − 2 = −⎜ − ⎟ ≤ .
y y2
y y
4 ⎝ y 2⎠ 4
0,25
1
x
t +1
t −2
Đặt t = , suy ra 0 < t ≤ . Khi đó P =
−
.
4
y
t 2 − t + 3 6(t +1)
Xét f (t ) =
t +1
t2 −t +3
−
1
t −2
7 − 3t
1
−
.
, với 0 < t ≤ . Ta có f '(t ) =
2
4
6(t + 1)
2 (t 2 − t + 3)3 2(t +1)
1
Với 0 < t ≤ ta có t 2 − t + 3 = t (t −1) + 3 < 3; 7 − 3t > 6 và t + 1 > 1.
4
7 − 3t
7 − 3t 1
1
1
1 1
Do đó
và −
− > 0.
>
>
> − . Suy ra f '(t ) >
2
2
3
2
2(t + 1)
3 2
6 3
3
2 (t − t + 3)
5 7
⎛1⎞
+ .
Do đó P = f (t ) ≤ f ⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ 3 30
Khi x =
0,25
1
5 7
5 7
+ . Vậy giá trị lớn nhất của P là
+ .
và y = 2, ta có P =
2
3 30
3 30
7.a
(1,0 điểm)
7 1
IM = ⎛ − ; ⎞ . Ta có M ∈ AB và AB ⊥ IM nên đường
⎟
⎜
⎝ 2 2⎠
thẳng AB có phương trình 7 x − y + 33 = 0.
B
0,25
0,25
0,25
A∈ AB ⇒ A(a;7 a + 33). Do M là trung điểm của AB nên
B ( − a − 9; −7 a − 30). Ta có HA ⊥ HB ⇒ HA. HB = 0
M
I
A
H
⇒ a 2 + 9a + 20 = 0 ⇒ a = −4 hoặc a = −5.
C
• Với a = −4 ⇒ A(−4;5), B ( −5; −2). Ta có BH ⊥ AC nên
đường thẳng AC có phương trình x + 2 y − 6 = 0. Do đó
C (6 − 2c; c). Từ IC = IA suy ra (7 − 2c)2 + (c −1) 2 = 25. Do
đó c = 1 hoặc c = 5. Do C khác A, suy ra C (4;1).
• Với a = −5 ⇒ A(−5; −2), B(−4;5). Ta có BH ⊥ AC nên
đường thẳng AC có phương trình 2 x − y + 8 = 0. Do đó
C (t ;2t + 8). Từ IC = IA suy ra (t +1)2 + (2t + 7) 2 = 25. Do đó
t = −1 hoặc t = −5. Do C khác A, suy ra C (−1;6).
8.a
(1,0 điểm)
0,25
0,25
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Suy ra H (−1 + t ; −1+ t ; −2 + t ).
0,25
5
2 2 1
H ∈( P) ⇔ (−1+ t ) + (−1+ t ) + (−2 + t ) −1 = 0 ⇔ t = . Do đó H ⎛ ; ; − ⎞ .
⎜
⎟
⎝ 3 3 3⎠
3
0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta có AB = (1;2;3) và vectơ pháp tuyến của (P) là
n = (1;1;1). Do đó (Q) có vectơ pháp tuyến là n ' = (−1;2; −1).
0,25
Phương trình của mặt phẳng (Q) là: x − 2 y + z +1 = 0.
9.a
(1,0 điểm)
0,25
Điều kiện của bài toán tương đương với (3 + i ) z = −1+ 3i
0,25
⇔ z = i.
0,25
Suy ra w = −1 + 3i.
0,25
Do đó môđun của w là 10.
0,25
Trang 3/4
Câu
Đáp án
Ta có tâm của (C) là I (1;1). Đường thẳng IM vuông góc với Δ
nên có phương trình x = 1. Do đó M (1; a ).
7.b
(1,0 điểm)
M
Do M ∈ (C ) nên (a −1)2 = 4. Suy ra a = −1 hoặc a = 3.
Mà M ∉Δ nên ta được M (1; −1).
N ∈Δ ⇒ N (b;3). Trung điểm của MN thuộc (C)
I
P
Điểm
0,25
0,25
2
N
b +1 ⎞
2
⇒⎛
−1⎟ + (1 −1) = 4 ⇒ b = 5 hoặc b = −3.
⎜
⎝ 2
⎠
Do đó N (5;3) hoặc N (−3;3).
P ∈Δ ⇒ P(c;3).
- Khi N (5;3), từ MP ⊥ IN suy ra c = −1. Do đó P (−1;3).
0,25
0,25
- Khi N (−3;3), từ MP ⊥ IN suy ra c = 3. Do đó P(3;3).
8.b
(1,0 điểm)
d ( A,( P )) =
|(−1) − 2.3 − 2(−2) + 5|
0,25
12 + (−2) 2 + (−2) 2
2
= .
3
Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1; −2; −2).
Phương trình mặt phẳng cần tìm là x − 2 y − 2 z + 3 = 0.
9.b
(1,0 điểm)
Ta có f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [0; 2] ; f '( x) =
0,25
0,25
0,25
2
2x + 4x − 6
.
( x +1) 2
Với x∈[0; 2] ta có f '( x) = 0 ⇔ x = 1.
0,25
0,25
5
Ta có f (0) = 3; f (1) = 1; f (2) = .
3
Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 1; giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 3.
------------- Hết -------------
Trang 4/4
0,25
0,25