Định lý giá trị trung gian ở cấp độ tri thức giảng dạy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
`

Lê Thị Lan Phương

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
`

Lê Thị Lan Phương

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Với tất cả sự chân thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể
giảng viên didactique toán của trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là
PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công
Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến – những người đã mang lại cho chúng tôi những tri
thức quý báu, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và
thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 19 chuyên
ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn
trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể Giáo viên trường THPT
Phan Văn Trị, trường THPT Nguyễn Việt Dũng, trường THPT Nguyễn Việt Hồng
– Cần Thơ, trường THPT Tán Kế - Bến Tre, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
chúng tôi tham gia khóa học và giúp đỡ chúng tôi thực nghiệm.
Xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình tôi đã động
viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn.
Với thời gian còn hạn chế, chắc chắn luận văn này không tránh khỏi nhiều
khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các Thầy giáo, Cô giáo và các đồng nghiệp góp
ý để luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn.
TÁC GIẢ

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chương 1: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Ở CẤP ĐỘ

TRI THỨC

KHOA HỌC.........................................................................................5
1.1. Vài nét lịch sử của định lý giá trị trung gian....................................................5
1.2. Đặc trưng của định lý giá trị trung gian trong phạm vi toán ở bậc đại học ...12
1.2.1. Định lý giá trị trung gian trong giáo trình 1 ...........................................12
1.2.2. Định lý giá trị trung gian trong giáo trình 2 ...........................................20
Chương 2: ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC
GIẢNG DẠY ......................................................................................27
2.1. SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao ............................................................27
2.2. SGK Đại số và Giải tích cơ bản 11 ................................................................41
2.3. SGK Giải tích 12............................................................................................50
2.4. Kết luận ..........................................................................................................52
Chương 3: THỰC NGHIỆM .................................................................................55
3.1. Mục đích thực nghiệm ...................................................................................55
3.2. Hình thức và đối tượng thực nghiệm .............................................................55
3.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ............................................56
3.3.1 Xây dựng câu hỏi thưc nghiệm................................................................56
3.3.2. Hệ thống câu hỏi thực nghiệm ( xem phụ lục 1) ....................................58
3.3.3. Phân tích tiên nghiệm .............................................................................63
3.4. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ............................................67
3.5. Kết luận ..........................................................................................................72
KẾT LUẬN CHUNG ..............................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................78
PHỤ LỤC ...................................................................................................................1

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

CB

Cơ bản

đpcm

Điều phải chứng minh

ĐS & GT

Đại số và Giải tích

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NC

Nâng cao

NXB

Nhà xuất bản

NXBGD

Nhà xuất bản Giáo dục

GTTG

Giá trị trung gian

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

THPT

Trung học phổ thông

Tr

Trang

1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Định lý giá trị trung gian xuất hiện trong các sách giáo khoa không có chứng
minh mà chỉ có các giải thích hình học.
So sánh việc trình bày định lý này trong phần bài học của hai bộ sách giáo khoa
cơ bản và nâng cao chúng tôi nhận thấy sự khác biệt sau đây :
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao trình bày định lý như sau:
Định lý 2( SGK, trang 171): “ Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b].
Nếu f (a) ≠ f (b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất
một điểm
c ∈ (a; b) sao cho f(c) = M”
Hệ quả: “Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít
nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0”
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 chuẩn trình bày định lý như sau:
Định lý 3( SGK, trang 138) : “ Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0”.
-

SGK đại số và giải tích 11 NC trình bày định lý và hệ quả nhưng riêng SGK
Đại số và giải tích 11 chuẩn không đề cập định lý giá trị trung gian tổng quát
mà chỉ đưa vào một trường hợp đặc biệt của nó (hệ quả). Cả hai SGK trên
đều không chứng minh mà chỉ giải thích bằng ghi nhận trực quan hình học.
Ở bậc đại học Định lý này còn có tên gọi là định lý Bolzano- Cauchy.

-

Từ những ghi nhận trên lôi cuốn sự chú ý của chúng tôi đối với định lý này
và làm nảy sinh những gợi hỏi ban đầu sau đây:

? Đâu là lý do của sự khác nhau kể trên? Sự khác nhau này có đi kèm
với các kiểu bài tập khác nhau trong hai bộ sách giáo khoa hay không?

2

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán. Cụ
thể là:
1. Lý thuyết nhân chủng học ( chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ
cá nhân đối với một tri thức toán học, tổ chức toán học)
2. Lý thuyết tình huống ( hợp đồng didactic, tiểu đồ án didactic).
- Việc nghiên cứu ứng dụng định lý giá trị trung gian ở cấp độ tri thức toán học
đặt cơ sở trên việc nghiên cứu ứng dụng định lý trong các giáo trình bậc đại học, mà
chúng tôi xem như “ xấp xỉ” của tri thức toán học.
- Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, các câu hỏi khởi đầu có thể được trình bày
lại như sau:
Q1. Câu hỏi tri thức luận nghiên cứu:
Nhìn từ lịch sử toán học, định lý giá trị trung gian xuất hiện để giải
quyết vấn đề gì? Những tính chất đặc trưng của định lý này là gì?
Nhìn từ cấp độ tri thức toán học, định lý này có những ứng dụng nào?
Q2. Những ràng buộc của thể chế đối với định lý này là gì? Những
khoảng cách nào từ mối quan hệ thể chế đối với định lý này so với cấp độ tri
thức khoa học do chuyển đổi didactic gây ra?
Q3. Các quy tắc hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và HS liên
quan đến định lý này ? Những gì có thể quan sát được nếu có một sự phá vỡ
hợp đồng thể chế liên quan đối tượng này?

3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
 Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho các câu
hỏi ban đầu. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong
phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu trên nhằm làm rõ đặc trưng khoa học luận
của phép quy nạp toán học, những lựa chọn của thể chế. Quan sát và thực
nghiệm để làm rõ những đặc trưng đó và ảnh hưởng đến việc dạy và học của
GV và HS.

-

Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là
chúng tôi tiến hành phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về
nghiên cứu khoa học luận lịch sử để làm rõ định lý này xuất hiện để giải
quyết vấn đề gì và các đặc trưng của nó. Tổng hợp từ một số giáo trình
dùng trong các trường đại học để chỉ ra những ứng dụng của định lý này
ở cấp độ tri thức tóan học.

-

Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế, bằng cách phân tích
chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông của Việt Nam và các tài
liệu hướng dẫn giáo viên, chúng tôi cố gắng tìm hiểu sự lựa chọn của thể
chế cũng như sự chuyển đổi didactic ở đối tượng này nhằm làm rõ những
ràng buộc thể chế đối với định lý giá trị trung gian là gì? Những khoảng
cách nào từ mối quan hệ thể chế đối với định lý này so với cấp độ tri thức
khoa học do chuyển đổi didactic gây ra? Phân tích sâu SGK chúng tôi
nêu rõ các tổ chức toán học liên quan đến định lý, xem xét SGK và SBT
có những kiểu nhiệm vụ nào và kỹ thuật nào được ưu tiên và chỉ ra các
quy tắc hợp đồng hình thành trong quá trình dạy học. Chúng tôi cũng sẽ
tìm hiểu quan niệm của GV và HS về định lý này, ảnh hưởng của cách
trình bày của SGK và SGV đến các quan niệm đó.

-

Tổng hợp từ các phân tích đó cho phép chúng tôi hình thành các giả
thuyết nghiên cứu cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết nêu ra. Sau
đó, dựa trên toàn bộ kết quả nghiên cứu, chúng tôi xây dựng một tình
huống didactic có sự phá vỡ hợp đồng thể chế .

V. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm 5 phần: Phần mở đầu, 4 chương và phần kết luận chung..
Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề
tài, lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận
văn.

4

Chương 1. Phần tổng hợp và phân tích các đặc trưng của định lý giá trị trung
gian nhìn từ lịch sử toán học, các giáo trình và công trình nghiên cứu liên quan.
Từ đó chỉ ra vai trò hay ứng dụng của định lý.
Chương 2. Phần nghiên cứu chương trình, phân tích SGK và các tài liệu hướng
dẫn, phân tích các tổ chức toán học, quy tắc hợp đồng didactic, tìm hiểu quan
niệm của HS về định lý này, xây dựng các giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3. Thực nghiệm.
Trong phần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1,
2, 3 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn.

Chương 1
ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN Ở CẤP ĐỘ
TRI THỨC KHOA HỌC
Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng và ứng dụng của định lý giá
trị trung gian ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, tiến hành phân tích tổng hợp
một số công trình nghiên cứu lịch sử, phân tích một số giáo trình toán ở bậc đại học,
chúng tôi cố gắng làm rõ đặc trưng cơ bản của định lý này trong quá trình phát sinh
và phát triển của nó. Từ đó chỉ ra vai trò hay ứng dụng của định lý. Cụ thể nó nhắm
tới trả lời các câu hỏi tri thức luận cần nghiên cứu sau đây:
- Nhìn từ lịch sử toán học, định lý giá trị trung gian xuất hiện để giải
quyết vấn đề gì?
- Nhìn từ cấp độ tri thức toán học, định lý này có những ứng dụng nào?
Do thiếu tư liệu tham khảo, chúng tôi không thể đi sâu vào một nghiên cứu
lịch sử hay khoa học luận.Tuy nhiên, một vài nét về lịch sử của định lý sẽ được đề
cập với mục đích làm rõ hơn cho phân tích các giáo trình ở bậc đại học.
1.1. Vài nét lịch sử của định lý giá trị trung gian
- Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu sau đây:
+

Edwards, Jr., C. H. (1979). The Historical Development of the Calculus.
New York: Springer-Verlag.

+

Dhombres, Jean G. (1978). Nombre, mesure et continu: Epistémologie et
histoire. Paris: Cedic/Nathan.

+

Trần Anh Dũng (2006). Khái niệm liên tục - một nghiên cứu khoa học
luận và didactic. (Luận văn Thạc sỹ, Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí
Minh, Tp. Hồ Chí Minh). Truy lục từ thư viện Đại học Sư phạm Tp. Hồ
Chí Minh.

6

+

Wikipedia, bách khoa toàn thư miễn phí. Intermediate value theorem:
Định lý giá trị trung gian (2012). Truy lục về từ trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem:_%C4%90%E1%B
B%8Bnh_l%C3%BD_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_trung_gian
+

Brodie, Scott E. (1997). How to Prove Bolzano's Theorem. Truy lục về
từ trang http://www.cut-the-knot.org/fta/brodie.shtml

+

Fauvel Ed J. and Gray J. (1987). The History of Mathematics: Intuition
and Rigor. Truy lục về từ trang
http://www.cuttheknot.org/fta/bolzano.shtml

+

School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews,
Scotland (2001). Chronology for 1810 to 1820. Truy lục về từ trang
http://www.history.mcs.standrews.ac.uk/history/Chronology/1810_1820.
html

Định Lý Giá Trị Trung Gian

Phiên bản I: Định lý giá trị trung gian nói rằng: Nếu f là hàm liên tục giá trị thực
trên đoạn [a; b] và u là số nằm trong khoảng giá trị f(a) và f(b) thì ta sẽ có
c ∈ [a; b] sao cho f(c)=u .

Phiên bản II: Giả sử rằng I là đoạn [a; b] trong tập số thực  và f : I →  là hàm
liên tục thì tập ảnh f(I) cũng là một khoảng và tập này chứa [ f(a); f(b)] hoặc chứa
[f(b);f(a)] và đó là:

f ( I ) ⊂ [ f (a); f (b)] hoaëc f(I) ⊂ [f(b);f(a)]

Định lý này thường được nêu ở dạng tương đương sau: Giả sử
f : [a; b] →  có tính liên tục và u là số thực đáp ứng yêu cầu f(a) < u < f(b) hoặc f(a)

> u > f(b) thì đối với mọi giá trị c ∈ (a; b) sao cho f(c)=u .
Điều này thể hiện tính chất tự nhiên của các hàm liên tục. Thể hiện ý tưởng
cho rằng đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng đóng chỉ có thể vẽ mà không được
nhấc bút khỏi mặt giấy. Định lý này dựa trên tính hoàn chỉnh của số thực. Ngoài ra
định lý này không đúng đối với số hữu tỉ Q.
Với u = 0 thì phát biểu này còn được gọi là định lý Bolzano. Định lý này
được Bernard Bolzano chứng minh lần đầu tiên vào năm 1817. Cauchy cũng đã đưa
ra một chứng minh vào năm 1821. Cả hai đều có động cơ muốn chính thức hóa việc
phân tích hàm và công trình của Lagrange. Ý tưởng cho rằng các hàm số liên tục
chứa đặc tính của định lý giá trị trung gian xuất hiện trước đó nữa. Trước khi định
nghĩa chính thức về tính liên tục được đưa ra, đặc tính giá trị trung gian đã được
xem là một phần trong định nghĩa về hàm liên tục. Điều này đã được nêu rất rõ
trong luận văn thạc sĩ của Trần Anh Dũng (2006): “ Khái niệm liên tục - một nghiên
cứu khoa học luận và didactic” . Luận văn đã chỉ ra rằng vào khoảng thế kỷ XVIIXVIII định lý này đã xuất hiện ngầm ẩn trong tư tưởng của Gottfried Wihelm
Leibniz (1646 – 1716).Theo Leibniz: “...trong thiên nhiên không có gì hình thành
bằng bước nhảy. Một vật không thể chuyển từ trạng thái này qua trạng thái khác mà
không phải qua những trạng thái khác nhau”. Ngầm ẩn trong quan niệm này của
Leibniz là tư tưởng của định lý giá trị trung gian gắn liền với khái niệm liên tục
của hàm số. Ngoài ra tư tưởng của định lý giá trị trung gian còn xuất hiện ở F. A
Arbogast (1759 – 1803) người đã đoạt giải thưởng của học viện St. Pertersburg
Academy trong cuộc thi năm 1787 vì đã đưa phần mô tả đặc tính hàm số hoàn hảo
nhất giúp giải phương trình giây rung. Trong công trình của Ông đã được giải
thưởng, Arbogast viết:
“Luật liên tục hàm nghĩa rằng một đại lượng không thể từ trạng thái này sang
trạng thái khác mà không qua tất cả các trạng thái trung gian theo cùng một luật.

8

Các hàm số đại số là liên tục vì những giá trị khác nhau của các hàm số này phụ
thuộc theo cùng một kiểu đối với biến số và giả sử biến số tăng một cách liên tục thì
hàm số sẽ nhận những giá trị tương ứng nhưng hàm số không thể nhảy từ giá trị này
sang giá trị khác mà không đi qua tất cả những giá trị trung gian...”
Argobast cũng đã chỉ ra “định lý giá trị trung gian” mà mãi tới thế kỉ XIX
mới xuất hiện ở Cauchy.
Augustin- Louis Cauchy (1789 – 1857) nêu ra định lý giá trị trung gian:
“Nếu f (x) liên tục trên đoạn [x 0 , X], và b là một số nằm giữa f(x 0 ) và f(X) thì tồn
tại ít nhất một giá trị x thuộc đoạn [x 0 , X] sao cho f(x) = b”. Cauchy đã cho một
chứng minh định lý giá trị trung gian nhờ vào “trực giác hình học” như sau:
Chứng minh: Để thiết lập mệnh đề trên, chỉ cần chứng tỏ rằng đường cong
phương trình y=f(x) cắt đường thẳng phương trình y = b tại một hay nhiều điểm
trong khoảng giữa những tung độ tương ứng với các hoành độ x 0 và X.
Từ giả thiết thì điều này là rõ ràng. Quả thực, hàm số đã cho liên tục giữa các
cận x = x 0 và x = X. Đường cong phương trình y = f(x) đi qua
1. Điểm tương ứng với các tọa độ x 0 , f(x 0 ).
2. Điểm tương ứng với các tọa độ X, f(X).
sẽ liên tục giữa hai điểm này.Vì tung độ không đổi b của đường thẳng phương trình
y = b nằm giữa các tung độ f(x 0 ) và f(X) của hai điểm đang xét, cho nên đường
thẳng phải đi qua giữa hai điểm này, nghĩa là trong khoảng nói trên nó không thể
không gặp đường cong” ( Trích theo Giorgiuti.I,...1998).
Bernard Bolzanol (1781 – 1848) đã không xem chứng minh “ hình học” của
Cauchy về định lý giá trị trung gian như là một chứng minh thật sự. Ông viết:
“ Tuyệt nhiên không có gì có thể phản bác về tính đúng đắn và tính hiển
nhiên của định lý hình học này. Nhưng rõ ràng cũng có một lỗi không thể chấp
nhận được [...] vì người ta đã dựa trên những ghi nhận hình học để suy ra những
chân lý toán học thuần túy. [...]. Trong khoa học, các chứng minh không thể là các
phương pháp giản đơn nhằm đạt đựơc sự rõ ràng (‘evidence) mà trước hết phải là

những cơ sở. Cần phải làm rõ nền tảng khách quan của chân lý cần chứng minh.” (
trích theo Barbin, 1988).
Cauchy đưa ra một chứng minh dựa vào trực giác hình học nhưng trong một
chú thích về số nghiệm phương trình ([3], pp. trang 378-425) hàm chứa một chứng
minh loại trừ giả thuyết bằng “phương pháp trực tiếp và hoàn toàn phân tích” ( theo
lối của Bolzano?).
Chọn b = 0 và m là số nguyên lớn hơn 1, trước hết, ông chia nhỏ khoảng [x 0 ,
X] thành m khoảng con bằng nhau.Vì f(x) đổi dấu [x 0 , X] nên nó phải đổi dấu trong
khoảng con [x 1, X 1 ]. Sau đó, khoảng [x 1, X 1 ] được chia thành m khoảng con bằng
nhau, trên một trong những khoảng tương đồng này, gọi là [x 2, X 2 ] lại đổi dấu một
lần nữa. Tiếp tục theo phương pháp này, Cauchy đã xây dựng nên một dãy tăng

{x }

∞

n t

của những điểm thuộc khoảng [x 0 , X] như vậy thì mỗi giá trị f(x n ) có cùng

dấu với f(x 0 ) và một dãy giảm { X n }l thì mỗi f(X n ) có cùng dấu với f(X). Bởi vì X n
∞

– x n = (X – x 0 )/ mn → 0 khi n → ∞ , Ông ta kết luận rằng hai chuỗi hội tụ về một
điểm a ∈ (x 0 , X). Bởi tính liên tục, f(x n )>0 với mỗi n kéo theo f(a) = lim f(x n ) ≥ 0,
trong khi f(X n )<0 với mỗi n kéo theo f(a) ≤ 0. Vì vậy, như mong đợi, nó kéo theo
f(a)=0. Chứng minh này về định lý giá trị trung gian có lẽ là chứng minh thường
thấy nhất trong những cuốn sách giáo khoa hiện đại.
“Cauchy states the intermediate value theorem as Theorem IV on page 50: If f(x) is continuous on
the interval [x 0 , X], and b is a number between f(x 0 ) and f(X), then there exists at least one point x of the
interval such that f(x) = b. He provides anintuitive geometric proof but in a note on the numerical solution of
equations ([3], pp. 378-425) includes an alternative proof by “ une methode directe et purement analytique”
(shades of Bolzano?).
Taking b = 0 and m an integer larger than one, he first subdivides [x 0 , X] into m equal subintervals,

{X }

∞

Since f(x) changes sign on [x 0, X] it must f(x 0 ), and a decreasing sequence
the same sign as f(X). Because X n – x n = (X – x 0 )/ mn

n l

such that each f(X n ) has

→ 0 as n → ∞ , he concludes that these two

sequences converge to a common limit point a ∈ (x 0 , X). By continuity, f(x n ) > 0 (say) for each n implies f(a)
= lim f(x n ) ≥ 0, while f(X n )<0 implies f(a) ≤ 0. It therefore follows that f(a) = 0, as desired. This proof of the
intermediate value theorem is the one that is perhaps most frequently found in modern textbooks.

10

Ý tưởng chứng minh của Bolzano là dùng phương pháp phân đôi để sinh ra
một dãy các đoạn thắt và như vậy chỉ ra sự tồn tại của x như giới hạn của các dãy số
sao cho f(x) = b. Bolzano sử dụng “ dãy Cauchy” với ý định cho dãy này hội tụ về
một điểm. Phương pháp này ngày nay chúng ta rất quen thuộc. Ngoài ra phương
pháp này còn cho phép chỉ ra một phương pháp: “tính gần đúng giá trị x với độ
chính xác mong muốn” mà sau này một số giáo trình đại học đã chỉ ra.
Bolzano muốn tìm một chứng minh chỉ dựa vào số học, đại số hay giải tích
một cách thuần túy. Điều này kéo theo sự cần thiết phải có một định nghĩa chính
xác về khái niệm liên tục [ Boyer, 1949 p268]
Sự công thức hóa chính xác, rõ ràng về khái niệm liên tục như ngày nay lần
đầu tiên cho bởi Bolzano trong một quyển sách nhỏ kiểu lưu hành nội bộ. Tựa đề
của quyển sách đã cho biết mục đích của nó: “Cách chứng minh hoàn toàn giải tích
của định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình giữa hai giá trị làm cho biểu thức
trái dấu”. Như một bổ đề quan trọng, Bolzano khẳng định rằng nếu M là một tính
chất của số thực mà không đúng với mọi số thực x nhưng tồn tại một số thực u sao
cho mọi x < u đều có tính chất M thì tồn tại số thực U lớn nhất sao cho mọi số thực
x < U đều có tính chất M. . Mặc dù ông và sau này là Cauchy đã xác định được tính
chất mà sau này ta biết là “ tiêu chuẩn hội tụ Cauchy” nhưng ông cũng như Cauchy
sau này không thể chứng minh đầy đủ vì sự thiếu của hệ thống đầy đủ các tính chất
của số thực thời đó.
Bolzano đề nghị bổ đề nói trên để chứng minh sự tổng quát hóa của định lý
mà ông đã nêu trong tiêu đề của tác phẩm của ông:
Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a;b] mà f(a) < g(a) và f(b)>g(b)
thì f ( x ) = g( x ) vôùi x laø giaù trò naøo ñoù thuoäc [a;b] .
Chứng minh của Bolzano – Cauchy về định lý giá trị trung gian đòi hỏi phải
có “ tính chất của dãy đơn điệu bị chặn” trong tập số thực, đó là tính chất “ mỗi dãy
đơn điệu và bị chặn đều hội tụ”. Tính chất đó rất cần cho việc thiết lập tiêu chuẩn
hội tụ Cauchy và nó cũng được thừa nhận một cách ngầm ẩn bởi Cauchy và
Riemann trong chứng minh của họ về sự tồn tại tích phân với những giả thiết thích

hợp. Mặc dù được sử dụng như thế nhưng nó vẫn chưa được chứng minh ngoại trừ
sự thừa nhận dựa trên các kiểm nghiệm hình học.
Các nhà toán học đời trước mặc nhiên công nhận lý thuyết về định lý giá trị
trung gian, và không cần tìm cách chứng minh. Sự hiểu biết sâu sắc của Bolzano và
Cauchy giúp xác định khái niệm chung về tính liên tục (xét về phương diện vi phân
trong trường hợp Cauchy, và dùng bất đẳng thức số thực trong trường hợp
Bolzano), và tìm ra cách chứng minh dựa trên các định nghĩa này.
Kết luận:
Về mặt lịch sử toán học thì ý tưởng về giá trị trung gian xuất hiện trước định
lý Bolzano. Trước đây, các nhà khoa học chấp nhận các kết quả chứng minh bằng:
“trực giác hình học”. Augustin – Louis Cauchy cũng đã cho một chứng minh định
lý giá trị trung gian nhờ vào: “trực giác hình học”. Bernard Bolzano đã không xem
chứng minh: “hình học” của Cauchy về định lý này như là một chứng minh thật sự.
Bolzano đã chứng minh định lý chỉ dựa vào: “số học, đại số hay giải tích” một cách
thuần túy. Chứng minh này của Bolzano được thể hiện trong một quyển sách nhỏ
kiểu lưu hành nội bộ, tựa đề của quyển sách đã cho biết mục đích của nó: “Cách
chứng minh hoàn toàn giải tích của định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình
giữa hai giá trị làm cho biểu thức trái dấu”.
Cả Cauchy và Bolzano đều có động cơ muốn chính thức hóa việc: “phân tích
hàm và công trình của Lagrange”. Ngoài ra, Bolzano đã nói rõ định lý này xuất hiện
với mục đích: “chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình”.
Ý tưởng chứng minh của Bolzano: Ông dùng phương pháp phân đôi để sinh
ra một dãy các đoạn thắt và như vậy chỉ ra sự tồn tại của x như giới hạn của các dãy
số sao cho f(x) = y.
Phương pháp này cho phép chỉ ra một phương pháp: “tính gần đúng giá trị x
với độ chính xác mong muốn” mà sau này một số giáo trình đại học đã chỉ ra.

12

1.2. Đặc trưng của định lý giá trị trung gian trong phạm vi toán ở bậc đại học
Ở đây chúng tôi chọn phân tích đồng thời hai giáo trình sau:
-

Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, Nguyễn Đình Trí (2010), NXBGD
(kí hiệu là [1])

-

Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh (2008), NXBGD (kí hiệu là [2]).

Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là do việc trình bày các vấn đề
liên quan đến định lý GTTG, phương pháp tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp
phân đôi tương đối phong phú hơn các giáo trình khác.Việc phân tích hai giáo trình
này cho phép ta làm rõ ứng dụng của định lý ở cấp độ đại học. Điều này sẽ làm
phong phú hơn cơ sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở
chương 2
1.2.1. Định lý giá trị trung gian trong giáo trình [1]
Trong giáo trình này, định lý GTTG được đề cập ở chương 3: giới hạn và sự
liên tục của hàm số một biến số. Từ khái niệm giới hạn chuyển sang khái niệm liên
tục của hàm số một biến số và các tính chất cơ bản của hàm số liên tục và ứng dụng
để xây dụng thủ tục phân đôi, tìm nghiệm phương trình f(x) = 0.
Định lý 3.7 (về giá trị trung gian) được cho ở trang 96 như sau:
Định lý 3.7 (về giá trị trung gian): Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục
trong một khoảng I: = (α ; β ) ; cho a, b
∈ I sao cho a < b và f(a).f(b) < 0. Khi đó

tồn tại một
c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
Minh họa hình học ( hình 3.5).
Định lý trên có một ý nghĩa hình học rất
đơn giản và thú vị. Ta đã biết, đồ thị của
một hàm số liên tục là đường liền nét
(không đứt), định lý 3.7 nói rằng nếu đồ thị
nằm ở hai phía đối với trục hoành thì sẽ cắt trục hoành.

Chứng minh định lý
“Giả sử f(a).f(b) < 0 suy ra f(a) trái dấu với f(b) và để định ý, ta giả thiết
f(a)<0 ( nếu f(a)>0 thì chỉ cần thay f bởi – f và vẫn dùng lập luận đó) và sẽ đi tìm
điểm c sao cho f(c) = 0, là giới hạn chung của 2 dãy.
Thật vậy, đầu tiên đặt c 0 = a và d 0 = b, khi đó theo giả thiết f(c 0 ) < 0 và
f(d 0 ) > 0; đặt u0 :=

(c0 + d0 )
; nếu f(u 0 ) = 0 thì c = u 0 ; nếu f(u 0 ) < 0 thì đặt c 1 := u 0 ,
2

d 1 = d 0 ; nếu f(u 0 ) > 0 thì đặt c 1 := c 0 , d 1 = u 0 ; lại xét [c 1 , d 1] ta lại có f(c 1 ) f(d 1 )
< 0, do vậy tiếp tục đặt u0 :=

(c0 + d0 )
; nếu f(u 0 ) = 0 thì c = u 0 ; nếu f(u 0 ) < 0 thì
2

đặt c 1 := u 0 , d 1 = d 0 ; nếu f(u 0 ) > 0 thì đặt c 1 := c 0 , d 1 = u 0 ; lại xét [c 1 , d 1] ta lại
có f(c 1 ) f(d 1 ) < 0, do vậy tiếp tục đặt
u1 :=

(c1 + d1 )
và quá trình tiếp diễn và nói chung, với cách đặt như trên( ứng với
2

mút có giá trị hàm số tại đó là âm (dương) thì đặt là c n ( d n ); cứ như thế ta luôn có
f(c n ) < 0 và f(d n ) > 0; tiếp tục đặt un :=

(cn + dn )
. Nếu f(u n ) = 0 thì hiển nhiên c =
2

u n và chính c là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Nếu f(u n ) < 0 thì đặt c n+1 = u n
và d n+1 = d n ;
f(u n ) > 0 thì đặt c n+1 = c n và d n+1 = u n .
Bây giờ ta giả sử quá trình trên không kết thúc (nếu không thì đã tìm được nghiệm
c rồi!).
Khi đó, ta có 2 dãy số {c n } và {d n }, dĩ nhiên 2 dãy đó hội tụ( xem định lý 1.4
chương I) và có chung giới hạn là c. Vì f(c n ) < 0 nên theo giả thiết liên tục của
f(x), limf(c n ) = f(limc n ) = f(c) ≤ 0, tương tự , lim f(d n ) = f( lim d n ) = f(c) ≥ 0, do đó
f(c) = 0.
 Thủ tục chọn các điểm u n ở trên được gọi là thủ tục phân đôi. Người ta
thường dùng thủ tục này để giải phương trình f(x) = 0 khi biết khoảng chứa
nghiệm.
Định lý trên có một hệ quả hiển nhiên là

14

Hệ quả 3.1 Cho f(x) là một hàm số xác định, liên tục trong khoảng [a; b]. Khi đó
f(x) lấy ít nhất một lần mọi giá trị nằm giữa f (a) đến f (b).
Chính vì nội dung của hệ quả này mà định lý trên mang tên định lý về các giá trị
trung gian của hàm liên tục”
(Trích trang 96 -99)
Nhận xét
Hệ quả trên thể hiện tính chất tự nhiên của các hàm liên tục: cho hàm f liên tục
trên khoảng [1, 2], nếu f(1) = 3 và f(2) = 5 thì hàm f phải cho ra giá trị 4 đâu đó giữa
1 và 2. Điều này thể hiện ý tưởng cho rằng đồ thị của hàm liên tục trên khoảng đóng
là đường liền nét.
Định lý này dựa trên (và thực tế là tương đương với) tính hoàn chỉnh của số
thực. Định lý này không đúng đối với số hữu tỉ Q. Ví dụ, hàm f(x) = x2 − 2 với x ∈
Q thỏa mãn điều kiện f(0) = −2 và f(2) = 2. Tuy nhiên, không có số hữu tỉ x nào sao
cho f(x) = 0, vì √2 là số vô tỉ.
Vấn đề đặt ra cho định lý: tại sao hàm số liên tục trên đoạn [a, b] nhưng lại có
nghiệm thuộc khoảng (a, b)? liên tục khoảng (a, b) có đủ không ? Tại sao nó không
có nghiệm thuộc đoạn [a, b] mà có nghiệm trong khoảng (a, b)? Giáo trình chỉ nêu
ra định lý kèm theo minh họa hình học cho định lý nhưng không giải thích tường
minh cũng không cho phản ví dụ để giải thích rõ những vấn đề trên. Ta có thể cho
một ví dụ để thấy rằng định lý chỉ đúng khi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] như sau:
−1 neáu x=1

Cho hàm số y = − x neáu -35 neáu x=-3


Ngoài ra phương trình chỉ có thể có nghiệm thuộc khoảng (a, b) mà không thể
có nghiệm trên đoạn [a, b] vì nếu c là nghiệm phương trình nghĩa là f(c) = 0 theo
giả thuyết f(a).f(b) < 0 nên f (a) ≠ 0 và f (b) ≠ 0 ⇒ c ≠ a và c ≠ b. Vậy c ∈ (a, b) .
Về mặt lịch sử toán học thì ý tưởng về GTTG của Bolzano xuất hiện dưới dạng
hệ quả 3.1 và như vậy trước định lý 3.7 ( mang tên Bolzano). Ta có thể xem hệ quả