Hình học vi phân lý thuyết đường cong



Lý thuyết Đường cong

1

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Toán – Tin Học


Tiểu luận

HÌNH HỌC VI PHÂN
LÝ THUYẾT

ĐƯỜNG CONG
GVHD:
Ts Nguyễn Hà Thanh
SVTH:
1. Nguyễn Quốc Ấn
2. Vũ Văn Chiến.
3. Võ Hữu Định
4. Vũ Kim Hồng
5. Dương Thanh Huyền
6. Lê Xuân Hùng
7. Nguyễn Thị Hương
8. Đặng Lan Hương
9. Lý Sa Ma Lay
10. Đoàn Nhật Lâm
11. Thạch Thanh Dự
Tháng 1 năm 2011

Lý thuyết Đường cong



2

LỜI MỞ ĐẦU

L

ý thuyết đường cong là một phần cơ bản của môn hình học vi phân. Tiểu luận “Lý
thuyết đường cong” nhóm chúng tôi thực hiện lần này trình bày các kiến thức cơ
bản nhất của phần đường cong và các bài tập từ cơ bản đến nâng cao để có thể giúp
các bạn mới làm quen với môn học này nắm được kiến thức về lý thuyết đường cong. Hy
vọng tài liệu này sẽ có ích cho các bạn muốn học, muốn tìm hiểu về hình học vi phân.
Tài liệu của chúng tôi chia làm hai phần: phần lý thuyết và phần bài tập. Ở mỗi phần
lý thuyết chúng tôi đều có trình bày ví dụ minh họa để bạn đọc tiện theo dõi và hiểu hơn
phần lý thuyết. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày thêm phần bài tập tổng hợp nhằm giúp bạn
đọc hiểu sâu lý thuyết hơn, giúp các bạn khá giỏi có cơ hội khắc sâu kiến thức và nâng cao
khả năng giải bài tập của mình.
Do khả năng và thời gian có hạn, tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, nhóm chúng tôi
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để tài liệu này hoàn thiện hơn,
trở thành một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn trong học tập. Xin chân thành cảm ơn.
TP.Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 1 năm 2011
Nhóm sinh viên thực hiện

Lý thuyết Đường cong



3

MỤC LỤC
Phần 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT -------------------------------------------------------------4
Phần 2: BÀI TẬP --------------------------------------------------------------------------------16
Chủ đề 1: Hàm vectơ----------------------------------------------------------------------------16
Chủ đề 2: Xác định ảnh ------------------------------------------------------------------------21
Chủ đề 3: Độ dài cung --------------------------------------------------------------------------32
Chủ đề 4: Đường tham số chính quy – tham số tự nhiên---------------------------------40
Chủ đề 5: Hai đường tham số tương đương ------------------------------------------------45
Chủ đề 6: Tam diện Frenet --------------------------------------------------------------------48
Chủ đề 7: Độ cong – độ xoắn ------------------------------------------------------------------52
Chủ đề 8: Tiếp tuyến – pháp tuyến – trùng pháp tuyến ----------------------------------65
Chủ đề 9:Mặt phẳng mật tiếp – mặt phẳng pháp tuyến – mặt phẳng trực đạc ------72
Chủ đề 10: Các vấn đề xoay quanh tính chất đường cong -------------------------------77
Chủ đề 11: Bài toán tổng hợp -----------------------------------------------------------------83
Chủ đề 12: Quỹ tích -----------------------------------------------------------------------------97



Lý thuyết Đường cong

Phần 1: Tóm tắt

4

lý thuyết

1. Các định nghĩa.
Cho I là khoảng của  . I có thể là  a, b  ,  a, b  ,  a, b  ,  a, b  ,  a,   ,  a,   ,  .
1.1 Định nghĩa:
Một đường tham số lớp C k  k  0  trong không gian Euclide  3 là một C k  ánh xạ:

r : I  3

t  r  t    x  t  , y  t  , z  t .

 
Ta kí hiệu một đường tham số xác định như trên là: I, r hay I, r  r  t  hay đơn
 
giản hơn là r  r  t  .

 





Lưu ý:


Một đường tham số r  t    x  t  , y  t  , z  t   thuộc lớp C k khi và chỉ khi x  t  ,

y  t  , z  t  thuộc lớp C k .

Trong trường hợp I không mở ta giả sử x  t  , y  t  , z  t  thuộc lớp C k trong phần
o

trong I của I và mọi đạo hàm đến cấp k có giới hạn phải hoặc trái hữu hạn tại các điểm đầu
mút của I (nếu các điểm này thuộc I).
Đường tham số được gọi là compact, nửa mở hay mở nếu I là compact, nửa mở hay
mở (tương ứng).
Nếu I bị chặn dưới hoặc trên hay cả hai thì các điểm mút của I được gọi là điểm cuối
của đường.
Nếu đường tham số là compact và hai điểm cuối của nó trùng nhau thì đường tham
số được gọi là đường tham số đóng hay còn được gọi là một vòng lặp.
1.2 Định nghĩa:


Ta nói một đường tham số compact r :  a, b  3 là C k  từng khúc nếu tồn tại một

phân hoạch: a  x 0  x1  ...  x i1  x i  ...  x n  b của đoạn  a, b  sao cho hạn chế của r
trên các khoảng compact  x i 1 , x i  thuộc lớp C k , ở đây i  1, 2,..., n .
Ghi chú:


Ta có thể chứng minh: đường tham số r :  a, b  3 là C k  từng khúc nếu và chỉ
nếu các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:
(i)
Tập S  t   a, b  / f  k  không tồn tại  là hữu hạn.



(ii)

f  k  liên tục trên  a, b  \ S .

f   có giới hạn phải và giới hạn trái là hữu hạn tại mọi điểm của S.
(iii)
Khi nói đường tham số lớp C k thì k được giả sử đủ lớn để các pháp toán có nghĩa.
k



Lý thuyết Đường cong

5




Ảnh r  I   3 được gọi là giá của đường tham số I, r . Nếu r  t 0   a ta nói đường

 

tham số đi qua điểm t  t 0 hay a là điểm t 0 của đường tham số.
1.3 Định nghĩa:




Đường tham số I, r được gọi là chính quy tại điểm t  t 0 nếu r '  t 0   0 và chính

 

quy (trên I) nếu nó chính quy tại mọi điểm t  I .
1.4 Định nghĩa:

 
Cho I, r  t  , J,     s  là hai đường tham số và vi phôi  : I  J, t  s    t 
 
 
sao cho r     nghĩa là r      t   , được gọi là một phép biến đổi tham số hay lấy tham
số lại.
Nếu tồn tại một phép biến đổi tham số giữa hai đường cong tham số thì chúng là
tương đương nhau và hai điểm t với s    t  gọi là hai điểm tương ứng.



 



Ghi chú:
Hệ thức tương đương vừa định nghĩa ở trên là một hệ thức tương đương trong đại số,
nghĩa là nó có tính: phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Cần nhớ một vài phép biến đổi tham số như:
- Phép biến đổi t   b  a    a biến  0,1 thành  a, b  và phép biến đổi ngược

t a
biến  a, b  thành  0,1 .
ba

2
- Phép biến đổi t  tan
biến  0,1 thành  0,   và phép biến đổi   arctan t
2

biến  0,   thành  0,1 .


- Phép biến đổi t 

2
biến  0,   thành  0,1 .
2  1

1.5 Định nghĩa: Tham số tự nhiên
Trong các đường tham số tương đương với một đường tham số cho trước, có một
đường tham số có ý nghĩa lý thuyết đặc biệt. Nó làm đơn giản nhiều chứng minh liên quan
đến đường cong mà ta gọi là đường tham số tự nhiên.
Ta nói: Đường tham số 3t 02  X  t 0   3t 0  Y  t 02   Z  t 30  0 là tham số tự nhiên nếu

r '  s   1, s  I . Ta thường kí hiệu tham số tự nhiên này là s.
Ghi chú:
Ta thấy ngay rằng đường tham số tự nhiên khà vi (trơn) là chính quy, vì với s  I

thì r '  s   1  0 .
1.6 Định nghĩa: Độ dài cung

 
Độ dài cung của một cung tham số I, r  r  t  giữa hai điểm t1 , t 2 là số:





t2

  t1 ,t 2  


t1


r '  t  dt .



Lý thuyết Đường cong

6

Ghi chú:
Độ dài cung của hai đường tham số tương đương giữa hai điểm tương ứng là bằng
nhau.


Trường hợp đặc biệt với đường tham số tự nhiên I, r  s  ta có:





  t1 ,t 2    s1 ,s 2   s 2  s1

Ta có thể luôn giả thiết 0  I vì phép tịnh tiến là một vi phôi nên  0,s  s . Hay nói
khác đi: sai khác một dấu, tham số tự nhiên là độ dài cung.
1.7 Mệnh đề:
Với đường tham số chính quy bất kỳ, luôn tồn tại một đường tham số tự nhiên tương
đương với nó.
2. Định nghĩa đường cong.
2.1 Định nghĩa:
Tập con M   3 được gọi là một đường cong chính quy nếu:với a  M , tồn tại


đường tham số chính quy I, r có giá r  I  là một tập mở trong M của điểm a, hay



r  I   M  U với U là một lân cận mở trong  3 và ánh xạ r : I  r  I  là một phép đồng

phôi tương ứng với tôpô của không gian con của r  I  . Đường tham số có tính chất trên gọi
là tham số địa phương của đường cong M quanh điểm a. Khi đường cong M có tham số địa


phương I, r là toàn cục hay r  I   M thì ta nói M là đường cong đơn.

 

 

Ghi chú:
Trực giác ta thấy rằng đường cong chính quy chẳng qua là dán các giá của đường
tham số lại với nhau.
Không phải mọi đường tham số chính quy nào cũng được dùng như tham số địa


phương của đường cong vì đường tham số bất kỳ I, r , với r : I   3 chưa chắc là đơn ánh

và như vậy không thể là tham số địa phương. Ngay cả khi r : I  3 là đơn ánh thì nó cũng
chưa chắc là phép đồng phôi vì hàm liên tục và song ánh thì ánh xạ ngược của nó chưa chắc
liên tục.

 

2.2 Định lý:

 
 
Cho M   3 là một đường cong chính quy và I, r  r  t  , J,      là hai tham



 



số địa phương của M với a  0 .


 1

  1

Khi đó:  r  W  , r r1 W  và    W  , r 1 W  là các đường tham số tương đương.
 
 




Ghi chú:
Giá của một đường tham số bất kỳ chưa chắc là đường cong chính quy. Tuy nhiên, ta
có thể hạn chế miền xác định của đường tham số sao cho trên miền hạn chế này giá của nó là
đường cong chính quy.
2.3 Định lý:



Lý thuyết Đường cong

7

 
Cho I, r  r  t  là đường tham số chính quy. Khi đó, tại mọi điểm t 0  I luôn tồn tại

một lân cận W  I sao cho r  W  là đường cong chính quy đơn.





3. Biểu diễn giải tích của đường cong phẳng.
3.1 Định nghĩa: Đường cong phẳng
Một đường cong M   3 gọi là đường cong phẳng nếu như nó được chứa trong một
mặt phẳng    nào đó. Trong phần này ta giả sử    là mặt phẳng Oxy.
3.2 Biểu diễn tham số:


Cho I, r với r  t    x  t  , y  t  , z  t   là tham số địa phương của đường cong. Khi

đó giá r  t  là tập con mở của đường cong. Như vậy mọi điểm a của đường cong có một lân
cận mở là giá của một đường cong tham số:
 x  x  t 
1

 y  y  t 
Ta gọi 1 là phương trình tham số của đường cong trong lân cận điểm a.

 

3.3 Biểu diễn tường minh:
Cho f : I   là một hàm số khả vi với I là khoảng mở của  . Khi đó đồ thị của f là
C   x, f  x   x  I là một đường cong đơn có tham số toàn cục là:





 x  t
 2

 y  f  t 
Ta gọi  2  là phương trình tường minh của  C  .
3.4 Biểu diễn ẩn:
Cho F : D   là một hàm khả vi xác định trên miền D   2 và
C   x, y   D F  x, y   0 (gọi là tập mức 0 của hàm F).





Trong trường hợp tổng quát, C không là đường cong chính quy (đây chỉ là một tập
con đóng của mặt phẳng). Tuy nhiên nếu lấy điểm  x 0 , y 0   C và vectơ
 F F 
F
grad F   ,   0 , ví dụ như
 x 0 , y0   0 , thì theo định lý hàm ẩn tồn tại:
y
 x y 
- Một lân cận mở U của điểm  x 0 , y 0  trong 2
- Một hàm khả vi y  f  x  xác định trên lân cận mở I của x 0 trong  sao cho
CU 

 x, f  x   x  I .

Nếu grad F  0 tại mọi điểm của C thì C là một đường cong chính quy.
Ghi chú:
Điều kiện grad F  0 là điều kiện đủ để phương trình F  x, y   0 là biểu diễn của một
đường cong. Nếu grad F  0 tại một điểm ta cũng không thể kết luận phương trình
F  x, y   0 biểu diễn hay không biểu diễn chó đường cong trong lân cận của điểm này.



Lý thuyết Đường cong

8

4. Biểu diễn giải tích của đường cong trong không gian.
4.1 Biểu diễn tham số:
Tương tự như trường hợp đường cong phẳng, ta biểu diễn đường cong dưới dạng:
x  x  t 

 y  y  t  và gọi là biểu diễn tham số của đường cong.

z  z  t 
4.2 Biểu diễn tường minh:
Nếu f ,g : I   là hai hàm số khả vi cùng xác định trên một khoảng mở I thì tập hợp
C

 x, f  x  ,g  x    

3



x  I là một đường cong đơn với tham số toàn cục:

x  t

y  f  t  .

z  g  t 
 y  f  x 
Hệ 
gọi là phương trình dạng tường minh của đường cong.
 z  g  x 

4.3 Biểu diễn ẩn:
Cho F, G : D   xác định trên miền D   3 . Xét tập hợp:
C

 x, y, z   D F  x, y, z   0, G  x, y, z   0

 F  x, y, z   0
hay C là tập hợp nghiệm của hệ 
1
G  x, y, z   0
Trong trường hợp tổng quát, C không là đường cong chính quy. Tuy nhiên, nếu tại
  xF  yF zF 
điểm a   x 0 , y 0 , z 0   C hạng của ma trận Jacobi 
  2  bằng hai thì tồn
  x G  yG  z G 

tại một lân cận mở U  D của điểm  x 0 , y 0 , z0  sao cho C  U (tập hợp nghiệm của  2 
trong U) là một đường cong.
5. Tiếp tuyến và mặt phẳng pháp tuyến.
5.1 Định nghĩa:
 
 
Cho đường tham số I, r  r  t  . Ta gọi  ,  là vectơ tiếp xúc hay vectơ vận tốc
3 2
của đường cong tại điểm t 0 .

 
Nếu t 0 là điểm chính quy thì đường thẳng qua điểm r  t 0  có phương là  , 
3 2

được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm r  t 0  hay tại điểm t 0 .



Phương trình vectơ của tiếp tuyến tại điểm t 0 là: R     r  t 0   r '  t 0  .



5.2 Mệnh đề:





Lý thuyết Đường cong

9

Các vectơ tiếp xúc của các đường tham số tương đương tại các điểm tương ứng là
cùng phương và như vậy các tiếp tuyến tại các điểm này là trùng nhau.
Ghi chú:



Rõ ràng r '  t  và  '  s  là cùng chiều hay ngược chiều là do  '  t   0 hay  '  t   0 .
Phép biến đổi tham số không làm thay đổi phương của các tiếp tuyến tương ứng.
Bây giờ ta đưa ra một điều kiện để nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của một
đường tham số.


 
Cho đường tham số I, r  r  t  và r  t 0  , r  t 0  t  là hai điểm gần nhau. Theo



 
cong thức Taylor, ta có: r  t 0  t   r  t 0   t.r '  t 0   t. với lim   0 .
 t 0


Gọi  là đường thẳng bất kỳ qua r  t 0  và có phương là vectơ đơn vị m . Đặt

d  t   d r  t 0  t  ,  .









5.3 Mệnh đề:

 
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng  là tiếp tuyến với đường tham số r  r  t  tại

d  t 
0.
t  0
t
Ghi chú:
d  t 
Điều kiện lim
 0 cho thấy tiếp tuyến và đường cong có tiếp xúc bậc một hay
t  0
t


tiếp tuyến là vị trí giới hạn của đường thẳng đi qua hai điểm r  t 0  , r  t 0  t  . Khi


r  t 0  t  tiến về r  t 0  .
điểm t 0 là lim

Ta quy ước trong các phần sau các đường tham số được đề cập đều chính quy.
5.4 Định nghĩa:
 

Cho r  r  t  là đường tham số và t 0  I . Mặt phẳng pháp tuyến tại điểm r  t 0  của
 

đường cong r  r  t  là mặt phẳng đi qua điểm r  t 0  và vuông góc với tiếp tuyến của đường

cong tại r  t 0  .
 
Khi r  r  t  là đường cong phẳng, ta gọi đường thẳng pháp tuyến với đường cong tại



r  t 0  là đường thẳng đi qua r  t 0  và vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại r  t 0  .
Ghi chú:
Ta thấy ngay phương trình của mặt phẳng pháp tuyến (trong không gian) hay đường



thẳng pháp tuyến trong mặt phẳng có phương trình vectơ là: R     r  t 0  .r '  t 0   0 .





5.5 Phương trình tiếp tuyến và mặt phẳng (đường thẳng) pháp tuyến của đường
cong.
5.5.1 Đường cong có biểu diễn dạng tham số:


I, r  t  với r  t    x  t  , y  t  , z  t  



Phương trình tiếp tuyến là:



Lý thuyết Đường cong



10 

 X     x  t 0   x '  t 0 

Xx Yy Zz


hay
 Y     y  t 0   y '  t 0 
x
'
y
'
z'

 Z     z  t 0   z '  t 0 
Phương trình mặt phẳng pháp tuyến là:
 X  x  x '  Y  y  y '  Z  z  z '  0

Khi đường cong là đường cong phẳng có tham số r  t    x  t  , y  t   thì:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm r  t 0  là:
 X     x  t 0   x '  t 0 
hay

 Y     y  t 0   y '  t 0 

Phương trình pháp tuyến tại điểm r  t 0  là:

Xx Yy

x'
y'

 X  x  x '  Y  y  y '  0 .
5.5.2 Đường cong có biểu diễn dạng tường minh:
 y  f  x 

 z  g  x 

x  t

Ta đem về dạng tham số  y  f  t  .

z  g  t 
Khi đó phương trình tiếp tuyến là:
Y  f x Z  g x

Xx 
f ' x 
g 'x
Phương trình mặt phẳng pháp tuyến là:
 X  x    Y  f  x  f '  x    Z  g  x  g ' x   0
Khi đường cong là đường cong phẳng có phương trình y  f  x  thì:
Phương trình tiếp tuyến là:
Y  f x
Y  f  x   f '  x  X  x 
hay
Xx 
f 'x
Phương trình pháp tuyến là:
1
hay
Y  f x  
 X  x    Y  f  x  f '  x   0
X  x
f 'x
5.5.3 Đường cong có tham số dạng ẩn:

 F  x, y, z   0
Cho đường cong cho bởi phương trình 
1
G  x, y, z   0
Phương trình tiếp tuyến là:
F'
Y  y 0  f '  x 0  X  x 0   Y  y 0   x  X  x 0 
F 'y
hay  X  x 0  F 'x   Y  y 0  F 'y  0



Lý thuyết Đường cong

11 

Phương trình pháp tuyến là:
 X  x 0  F 'y   Y  y0  F'x  0
6. Mặt phẳng mật tiếp.
6.1 Định nghĩa:


 
Đường tham số I, r  r  t  được gọi là song chính quy tại điểm t 0 nếu vectơ r ' và

  
r" là không cùng phương hay r '  r "  0 .
Đường tham số được gọi là song chính quy trên I nếu nó song chính quy tại mọi điểm
của I.





Ghi chú:
Khái niệm điểm song chính quy không phụ thuộc vào tham số hay một điểm là song
chính quy với một đường cong tham số cho trước thì nó cũng là song chính quy tại điểm
tương ứng qua phép biến đổi tham số.
6.2 Định nghĩa:
 
Cho I, r  r  t  là một đường tham số và t 0  I là điểm song chính quy. Mặt phẳng



mật tiếp của đường cong r  t 0  là mặt phẳng đi qua r  t 0  và song song với hai vectơ r '  t 0 

và r "  t 0  .
Dựa vào định nghĩa trên, ta có phương trình mặt phẳng mật tiếp là:
 


R  r  t 0  , r '  t 0  , r"  t 0   0









X  x0
hay x '
x"

Y  y0
y'
y"

Z  z0
z' 0.
z"

6.3 Định lý:
Các mặt phẳng mật tiếp của hai đường tham số tương đương tại hai điểm song chính
quy tương ứng nhau là trùng nhau.
6.4 Ý nghĩa hình học của mặt phẳng mật tiếp:



Cho r  t 0  và r  t 0  t  là hai điểm gần nhau trên đường tham số với r  t 0  là điểm


song chính quy. Ta xét mặt phẳng    có vectơ pháp tuyến đơn vị e đi qua điểm r  t 0  . Đặt

d  t   d r  t 0  t  ,    .



6.4.1 Định lý:



 
Mặt phẳng    là mặt phẳng mật tiếp của đường tham số r  r  t  tại điểm song

d  t 
chính quy r  t 0  nếu và chỉ nếu lim
 0 hay đường cong về mặt phẳng    có tiếp
2
 t 0
t
xúc cấp 2.
Ghi chú:



Lý thuyết Đường cong

12 

Nếu một đường tham số song chính quy là cong phẳng thì mặt phẳng mật tiếp tại mọi
điểm của đường cong này trùng với mặt phẳng của đường cong. Ngược lại, đường tham số
song chính quy có cùng mặt phẳng mật tiếp tại mọi điểm thì nó là đường cong phẳng. Mặt
phẳng chứa nó chính là mặt phẳng mật tiếp.
7. Độ cong của đường cong.
7.1 Định nghĩa:
 
 
Vectơ k   "  s  được gọi là vectơ độ cong của đường tham số I, r  r  t  tại điểm

t và k  t    "  s  t   được gọi là độ cong của đường tham số tại điểm t .



7.2 Công thức tìm độ cong:



 
r '  r"
 
k  t    '  "   3
r'

Ghi chú:

 
Công thức trên cho ta đường tham số I, r  r  t  là song chính quy tại điểm t 0 khi





và chỉ khi k  t 0   0 .
Công thức trên cho phép ta tính được độ cong của đường tham số bất kì.
8. Tam diện Frenet của một đường tham số.
8.1 Định nghĩa:
Tam diện Frenet hay mục tiêu Frenet của một đường tham số song chính quy

 
I, r  r  t  tại một điểm t 0  I là một mục tiêu trực chuẩn trong  3 , có gốc tại điểm r  t 0 



và các vectơ cơ sở trên ba trục là   t 0  ,   t 0  ,   t 0  . Ở đây:



r ' t 
+   t 0  là vectơ đơn vị tiếp tuyến của đường cong hay   t 0    0 .
r ' t0 


k t0 
+   t0  
là vectơ đơn vị của vectơ độ cong và gọi là vectơ đơn vị pháp tuyến
k t0 
chính.



+   t 0     t 0     t 0  và gọi là vectơ đơn vị trùng pháp tuyến.









+ Các trục tọa độ tương ứng với mục tiêu Frenet lần lượt gọi là: tiếp tuyến, pháp
tuyến chính và trùng pháp tuyến.
 
 
 
+ Các mặt phẳng tọa độ có cơ sở lần lượt là: ,  , ,  , ,  được gọi tương

     

ứng là: mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng pháp tuyến và mặt phẳng trực đạc.
 
Nếu đường có tham số tự nhiên J,     s  thì các vectơ cơ sở trong mục tiêu



Frenet là:





Lý thuyết Đường cong

13 

   s    '  s 


 
 " s 
  s   
 " s 




  s     s     s 

 
Trong trường hợp đường tham số song chính quy bất kỳ I, r  r  t  , ta có các vectơ



cơ sở trong mục tiêu Frenet là:





r 't 
  t   
r 't 




r '  t   r"  t 


  t   
r '  t   r"  t 




  t     t     t 



8.2 Sự thay đổi của tam diện Frenet qua phép biến đổi tham số:
8.2.1 Định lý:
 
 
Cho I, r  r  t  và J,     s  là hai đường tham số tương đương với phép biến



 



đổi tham số  : I  J, t  u    t  . Khi đó, tại các điểm tương ứng t và u    t  . Ta có:
- Khi  '  t   0 hai tam diện Frenet tương ứng trùng nhau.
- Khi  '  t   0 hai tam diện Frenet tương ứng có cùng gốc, cùng vectơ đơn vị pháp
tuyến chính. Còn các vectơ đơn vị tiếp tuyến, trùng pháp tuyến là các vectơ đối nhau.
9. Đường cong định hướng. Tam diện Frenet của đường cong định hướng.
9.1 Định nghĩa:

 
 
Hai đường tham số I, r  r  t  và J,     t  được gọi là tương đương dương nếu



 



tồn tại phép biến đổi tham số  : I  J, t  u   '  t  với  '  t   0 , t  I .
9.2 Định nghĩa:
Một phép định hướng cho một đường cong chính quy C  3 là một họ các tham số
 
sao cho:
địa phương I , r  r  t 
A

a. C   r  I 
A


b. Với bất kì thành phần liên thông C b của giao C   r  I   r  I  với ,   A




 
b
các đường tham số Ib , rb và Ib , rb với Ib  r1.  Cb  , rb  rIb ; Ib  r1 .  C
,

 
rb  C\Ib tương đương dương.









9.3 Định nghĩa:

 





Lý thuyết Đường cong

14 

Một đường cong chính quy C   3 với một định hướng được gọi là đường cong
chính quy định hướng.
9.4 Định nghĩa:
Một tham số địa phương chính quy định hướng C được gọi là tương thích với định



hướng xác định bởi họ I , r
nếu trên các phần giao r  I   r  I  các đường tham số
A


I, r và I , r là tương đương dương.



 







9.5 Định nghĩa:
Tam diện Frenet của đường cong định hướng tại một điểm x  C là tam diện Frenet
 
 
của đường tham số song chính quy r  r  t  tại t 0 . Ở đây r  r  t  là một tham số địa

phương của đường cong C, tương thích với định hướng, sao cho r  t 0   x .
10. Công thức Frenet. Độ xoắn.
10.1 Công thức Frenet:

 
Đối với đường tham số bất kì r  r  t  :



  '  t   r ' .k  t  .  t 





 '  t   r ' .  k  t  .  t     t  .  t 



 '  t    r ' .  t  .  t 

 
Trong trường hợp đường tham số tự nhiên J,     s  thì công thức Frenet sẽ là:


  '  s   k  s  .  s 
 


 '  s   k  s  .  s     s  .  s 


'
s
s
.








s










10.2 Định nghĩa:
Đại lượng   t  được gọi là độ xoắn (hay còn gọi là độ cong thứ hai của đường tham
 
số song chính quy I, r  r  t  ) tại điểm t.





10.3 Định lý:
 
 
Nếu I, r  r  t  và J,     u  là hai đường tham số tương đương dương với phép



 



biến đổi tham số  : I  J ,  '  0 thì chúng có cùng độ xoắn tại các điểm tương ứng t và
u    t .
10.4 Công thức tính độ xoắn:

  
r ', r ", r '''
1   
  2  ',  ",  '''    2
k
r ' r"



10.5 Ý nghĩa hình học của độ xoắn:









Lý thuyết Đường cong

15 

10.5.1 Mệnh đề:
 
Nếu I, r  r  s  là đường tham số tự nhiên và  là góc của các mặt phẳng mật tiếp


của đường tại r  s  và r  s  s  (hay  là góc của vectơ trùng pháp tuyến tại các điểm s






.
 s 0 s

và s  s ) thì   s   lim
10.5.2 Định lý:

Giá của một đường tham số song chính quy nằm trong một mặt phẳng nếu và chỉ nếu
độ xoắn của đường cong đồng nhất bằng không.
Ghi chú:
Nếu độ cong đo độ lệch của đường cong bằng tiếp tuyến thì độ xoắn đo độ lệch của
đường cong bằng trùng pháp tuyến hay độ lệch của đường cong từ đường cong phẳng.
10.6 Tính chất của đường cong có độ cong và độ xoắn không đổi:
Như đã biết: Nếu độ cong của một đường tham số đồng nhất bằng không tại mọi
điểm thì giá của nó nằm trên một đường thẳng và ngược lại.
Độ cong của một đường tròn bằng nghịch đảo bán kính của nó. Ngược lại lấy một
đường tham số có độ cong là hằng số thì liệu giá của nó có nằm trên một đường tròn không?
Trong trường hợp tổng quát điều này không đúng.
10.6.1 Mệnh đề:
 
Nếu I, r  r  s  là đường tham số tự nhiên với độ cong k bằng hằng số dương k 0 và





độ xoắn bằng 0, s  I thì giá của nó nằm trên đường tròn bán kính

1
.
k0

10.6.2 Mệnh đề:

 
Nếu đường tham số tự nhiên I, r  r  s  có giá nằm trên mặt cầu tâm tại gốc O, bán



kính bằng a thì độ cong k của nó thỏa k 



1
.
a

10.7 Đường Helix:
10.7.1 Định nghĩa:
 
Đường tham số I, r  r  s  gọi là đường Helix nếu các tiếp tuyến của nó tạo mọt





góc không đổi với một phương cố định trong không gian.
10.7.2 Định lý (Lancret):
Đường cong trong không gian với độ cong k  0 là một đường Helix nếu và chỉ nếu
tỉ số giữa độ xoắn và độ cong của nó là hằng số.



Lý thuyết Đường cong

Phần 2: Bài

16 

tập

Chủ đề 1: HÀM VECTƠ

Bài 1: Cho đường tham số r : I    3 , các kết quả sau đây có đúng không?



 
a. r '  r ' .
b. r.r '  r . r ' .
Giải.
a. Sai.

Lấy r  t     sin t, cos t, 0  ta có:

r '    cos t,  sin t, 0 

r  sin 2 t  cos2 t  1

r '  cos2 t  sin 2 t  1

r '0


Suy ra r '  r '
b. Sai.

Vẫn lấy r  t     sin t, cos t, 0  ta có:

r.r '  sin t cos t  sin t cos t  0  0
 
r . r '  1.1  1

 
Suy ra r.r '  r . r ' .
0



Bài 2: Cho đường tham số I, r  t  . Giả sử O  r  I  và t 0  I với r  t 0  gần gốc tọa độ


nhất. Chứng minh rằng r  t 0   r '  t 0  .





Giải.







Đặt r  t     t  .e  t  với   t   r  t  , e  t   1  r  t     t  . e  t     t 



r  t 0  là điểm gần gốc tọa độ O nhất  r  t 0   r  t  , t
   t 0     t  , t
  't0   0





Ta có r  t 0  .r '  t 0     t 0  .e  t 0  .  '  t 0  .e  t 0     t 0  .e '  t 0 





   t 0  .e  t 0  . '  t 0  .e  t 0 
(do e  t   1 const nên e  t   e '  t  )
2
   t 0  . '  t 0  .e  t 0   0


Vậy r  t 0   r '  t 0  .







Lý thuyết Đường cong

17 

 
 
Bài 3: Cho hàm vectơ khả vi I, r1  r1  t  , I, r2  r2  t  và khả vi I   3 . Chứng minh



 



các kết quả sau đây:
 
 

 
b. f r '  f 'r  f r ' .
a. r1  r2 '  r1 ' r2 ' .
 
  
 
   
c. r1 , r2 '  r1 ' r2  r1 r2 ' .
d. r1  r2 '  r1 ' r2  r1  r2 ' .
  
  
  
  
e. r1 , r2 , r3 '  r1 ', r2 , r3  r1 , r2 ', r3  r1 , r2 , r3 ' .

 
 

 

 

 
 


 

Giải. 



Đặt r   a, b, c  , r1   a1 , b1 , c1  , r2   a 2 , b 2 , c2  , r3   a 3 , b 3 , c3  , ta có :
 
a. r1  r2 '   a1  a 2 , b1  b 2 , c1  c2  '   a1 ' a 2 ', b1 ' b2 ', c1 ' c2 ' 
 
  a1 ', b1 ',c1 '    a 2 ', b 2 ', c2 '   r1 ' r2 ' .


b. f r '   fa, fb, fc  '   fa ', fb ',fc '   f  a ', b ', c '   f r ' .
 
c. r1.r2 '   a1a 2  b1b 2  c1c 2  '  a1 'a 2  a1a 2 ' b1 'b 2  b1b 2 ' c1 'c 2  c1c 2 '
   
  a1 'a 2  b1 'b2  c1 'c2    a1a 2 ' b1b 2 ' c1c2 '   r1 '.r2  r1.r2 ' .
  
e1 e 2 e3
 
d. r1  r2  a1 b1 c1





 
 






a 2 b 2 c2
  
  
  
e1 ' e 2 ' e3 ' e1 e2 e3
e1 e2 e3
 
   
r1  r2 '  a1 b1 c1  a1 ' b1 ' c1 '  a1 b1 c1  r1 ' r2  r1  r2 ' .
a 2 b 2 c2
a 2 b 2 c2 a 2 ' b 2 ' c2 '




0
  
     
       
e. r1 , r2 , r3 '  r1  r2 'r3  r1  r2 r3 '  r1 ' r2  r1  r2 ' r3  r1  r2 r3 '
  
  
  
 r1 ', r2 , r3  r1 , r2 ', r3  r1 , r2 , r3 ' .





 





 





 

 






Bài 4: Cho hàm vectơ r : I  3 . Chứng minh rằng:




a. r '  t   0, t  r  t   const, t  I .



b. r  t   r '  t  , t  r  t   const, t .



c. r  t  có phương không đổi  r  t  // r '  t  , t  I .







d. Nếu  r  t   r '  t   .r ''  t   0 và r  t   r '  t   0 thì r  I  nằm trong một mặt phẳng.


a. Đặt r  t    x, y, z 

Giải.



Lý thuyết Đường cong

x  a



r  t   const   y  b
z  c

x '  0

 y '  0
z '  0


b. r  t   const 

18 

a, b,c  



 r ' t   0 .

 
 
2
r  t   const  2r  t  .r '  t   0  r  t  .r '  t   0


 r  t  r ' t 



c. Đặt r  t     t  .e  t  với e  t   1 .

- Chiều    :



Vì r  t  có phương không đổi nên e  t  có phương không đổi. Mà e  t   1 nên


e  t   const .




r '  t    '  t  .e  t     t  .e '  t    '  t  .e  t 




0

Suy ra r '  t  // e  t  . Do đó r '  t  // r  t  .
- Chiều    :




Do r '  t  // r  t  nên r '  t     t  .r  t 



  '  t  .e  t     t  .e '  t     t  .  t  .e  t 





2
  '  t  .e  t  .e '  t     t  . e '  t      t  .  t  .e  t  .e '  t 




2
   t  .  e '  t    0 (vì e  t   const nên e  t   e '  t  )


 e ' t   0


 e  t   const



Mà r  t  // e  t  nên r  t  có phương không đổi.
 
 r  r '
d. Đặt R    . Theo cách đặt, ta có:
rr'
 
 
 
   
 
 
R  r  R.r  0  R '.r  R.r '  0  R '.r  0 ( R.r '  0 do R  r ' )
 
(1)
 R'r
 



 
   
 
R  r '  R.r '  0  R '.r ' R.r ''  0  R '.r '  0 (Do  r  t   r '  t   .r ''  t   0 )
 
 R '  r ' (2)
 
Từ (1) và (2) suy ra R // R ' .


 
Suy ra R có phương không đổi. Mà R  1 nên R  const .
 
 
Lấy O là điểm cố định và OM  r  t  . Suy ra R.OM  0 . Do đó điểm M thuộc mặt phẳng

(P) qua O và có vectơ pháp tuyến là R .



Lý thuyết Đường cong

19 

 
Bài 5: Cho U, r  r  u, v  , U   2 . Chứng minh rằng:
 
 ru '  r  u, v 

.
r  u, v   const    
r
'
r
u,
v



 v





Giải.


 r 2  const theo u
2

Ta có: r  u, v   const  r  u, v   const  2
 r  const theo v
 

 
 r 2 '  0



2r.r
'

0
r.r
'

0
ru '  r




u
u
  u
   
  
   
2
 2r.rv '  0
 r.rv '  0
 r '0
 rv '  r
v

 
 ru '  r  u, v 

.
Vậy, r  u, v   const    

r
'
r
u,
v


 v

 
 

Bài 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau đây:
2
 2
b. r ' .
a. r .
  
 

d. r ', r '', r ''' .
e. r ' r ''  r ''' .



 
 



Giải.

2
 
a. r '  2r '.r .

 

b.



 
c. r1  r2 .
2
f. r .

 

r ' '  2r '.r'' . 
2


c. r1  r2 '  r1 ' r2  r1  r2 ' .
  
  
  
  
  
  
d. r ', r '', r ''' '  r '', r '', r '''  r ', r ''', r '''  r ', r '', r ''''  r ', r ''', r '''  r ', r '', r '''' .









 

 

 

 

 



0

 

 

 

 

     
e. r ' r ''  r ''' '  r ' r '' ' r ''' r ' r ''  r ''''   r
'' r ''  r ' r '''   r ''' r ' r ''  r ''''

 0

 

 

 r ' r '''  r ''' r ' r ''  r '''' .


r.r ' r.r '
 2  1 1  
f.  r  '  .  .2r.r '     .
2

 2 r2
r
r



  



















Bài 7: Giả sử r  t  là đường tham số trong  3 mà r ''  t   0, t . Kết luận gì về r  t  ?
Giải.




Ta có: r ''  t   0, t  r '  t   const   a, b,c  với a, b, c   .

 r  t    at  a 0 , bt  b0 , ct  c0 

Lý thuyết Đường cong



20 





- Nếu  a, b, c   0 thì r  t    a 0 , b0 , c0   const tức r  t  là một điểm cố định.


- Nếu  a, b, c   0 thì r  t  là đường thẳng có phương trình:
 x  at  a 0
x  a 0 y  b0 z  c0

.


 y  bt  b 0 hay
a
b
c
 z  ct  c
0





Bài 8: Cho đường tham số r : I   3 và n là vectơ cố định. Giả sử rằng r '  t  trực giao




với n với mọi t và r  0  cũng trực giao với n . Chứng minh rằng r  t  cũng trực giao với

n với mọi t.
Giải.




   



 

Xét r  t  .n '  r '  t  .n  r  t  .n '  0 vì n '  0 ( n  const ) và r '  t  .n  0 ( r '  t   n ).








Suy ra r  t  .n  const . Mà r  0  .n  0 (do r  0   n ) nên r  t  .n  const  0 .


Vậy r  t  cũng trực giao với n , t  I .



