Hướng dẫn học sinh tìm một số tính chất của hàm số y=f(x) từ đồ thị hàm số y =f'(x)

MỤC LỤC
Mục

Nội Dung

Trang

1

Mục lục

1

2

1. Mở đầu

2

3

1.1. Lý do chọn đề tài

2

4

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

5

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

6

1.4. Phương pháp nghiên cứu:

3

7

2. Nội dung đề tài

3

8

2.1. Cơ sở lí luận

3

9

2.2. Thực trạng của đề tài

3

10

2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề

4

11

2.4. Hiệu quả của đề tài

17

12

3. Kết luận và kiến nghị

17

13

3.1. Kết luận

17

14

3.2. Kiến nghị

17

1

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài” giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc
biệt là môn toán học rất cần thiết, không thể thiếu trong đời sống của con người.
Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần
các em ngại học môn này.
Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là
hình thành và phát triển tư duy toán học tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận
dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc hình thành cho học sinh phương pháp
giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.
Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài
toán. Giữa hàm số f (x) và đạo hàm f ' ( x ) của nó có nhiều mối liên hệ chặt chẽ.
Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài
việc biểu diễn dưới dạng công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ thị.
Việc dựa vào đồ thị của f ' (x ) để tìm ra được tính chất của hàm số f ( x) đưa đến
cho chúng ta những điều thú vị và những bài toán hay.
Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị
của hàm số f ' ( x ) và yêu cầu chỉ ra tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và
một số tính chất khác của hàm số f ( x). Đặc biệt trong đề thi THPTQG môn toán
của Bộ GDĐT năm 2017, một số câu vận dụng cao có đề cập đến dạng toán này
và cũng từ đó đến nay dạng toán này đã thường xuyên xuất hiện trong đề thi
khảo sát môn toán của các Sở GDDT, các trường đại học và các trường THPT.
Trong năm học 2017 – 2018 tôi được phân công giảng dạy 2 lớp 12 của
trường THPT Dương Đình Nghệ. Ngôi trường được chuyển từ bán công sang
công lập, chất lượng học sinh còn non hơn các trường bạn do vậy khi gặp dạng
toán này đa số các em rất bỡ ngỡ và không giải quyết được. Là một giáo viên tôi
đã rất băn khoăn và trăn trở về việc làm thế nào để giúp học sinh có kiến thức và
kĩ năng khi giải các dạng toán này.
Với các lí do trên tôi đã chọn bài viết “Hướng dẫn học sinh tìm một số
tính chất của hàm số y=f ( x ) từ đồ thị hàm số y=f ' ( x)’’ trình bày một số cách
tiếp cận để giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số y=f ' ( x).
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi học phần đồ thị hàm số và các tính
chất của đồ thị hàm số. Phân tích những sai lầm và đề xuất phương giải giúp học
sinh giải quyết tốt dạng toán này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán
trong trường THPT nói chung và trường THPT Dương Đình Nghệ nói riêng.
2

1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Nghiên cứu một số ứng dụng của đạo hàm.
 Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân.
 Hình thành phương pháp giải bài toán khi gặp đồ thị hàm số y=f ' ( x ) .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, một số tài liệu có liên quan.
 Chương ứng dụng đạo hàm, chương nguyên hàm, tích phân sách giáo khoa.
Giải tích lớp 12.
 Đề thi khảo sát môn toán lớp 12 của các sở GDĐT, các trường đại học, các
trường THPT.
 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu thông qua các giáo viên toán ở trường
phổ thông, qua các bài kiểm tra học sinh tại trường THPT Dương Đình Nghệ.
 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường THPT
Dương Đình Nghệ.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. cơ sở lí luận.
Muốn học tốt môn toán các em cần phải nắm vững những tri thức khoa
học ở môn toán một cách hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng
dạng bài tập, điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải
có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông,
vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải.
Trong quá trình giải toán ở nhà trường đặc biệt là cấp THPT Quốc gia, bài
toán tìm tính chất của hàm số y=f ( x ) thông qua đồ thị của hàm số y=f '( x ) là
một trong những bài toán hay và mới cần có một phương pháp giải cụ thể rõ
ràng để giúp học sinh giải quyết bài toán một cách hiệu quả. Những kiến thức
cơ bản liên quan đến vấn đề này.
2.1.1. Quy tắc tính đạo hàm (sách giáo khoa Giải tích lớp 11).
2.1.2. Ứng dụng của đạo hàm (sách giáo khoa Giải tích lớp 12).
2.1.3. Định nghĩa nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của nó (sách giáo
khoa Giải tích lớp 12).
2.2. Thực trạng của đề tài.

Học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ là đối tượng tuyển sinh có đầu
vào thấp, cho nên đa số các em không có tố chất nên khi học tập các em tiếp thu
chậm, không hệ thống được kiến thức, không tự trau dồi thêm cho mình kiến
thức mới sau mỗi bài giảng, không rút ra cho mình một kinh nghiệm, một
phương pháp giải sau mỗi bài toán. Khi gặp các bài toán về đồ thị của hàm f ' ( x )
đa số học sinh không định hình được cách giải, không xác định được tính chất
của hàm số f ( x). Bên cạnh đó trong sách giáo khoa không nêu lên phương pháp
cụ thể nào, thời lượng dành cho mỗi phần lại rất ít. Qua việc khảo sát kiểm tra
3

định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ
qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải dạng loại bài toán này.
Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ
rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp
lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có
logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó
hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về đồ thị hàm số
y '=f '( x ) .
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1. Đồ thị hàm số y=f ' (x ) và tính đồng biến nghịch biến của hàm số
y=f ( x ).
2.3.1.1. Một số kiến thức cần nhớ
Định lí: Hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên K.
1. Nếu f ' (x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến (tăng) trên K.
2. Nếu f ' ( x ) <0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch biến (giảm) trên K.
Dựa vào đồ thị hàm số f ' (x) ta nhận thấy:
a) Nếu f ' (x)>0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số f ' (x)
nằm phía trên trục hoành.
b) Nếu f ' ( x ) <0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số f ' (x)
nằm phía dưới trục hoành.
Từ đó ta có kết luận:
a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số f ' (x) nằm phía trên trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f ( x) đồng biến (tăng).
b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số f ' (x) nằm phía dưới
trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f ( x) nghịch biến (giảm).
2.3.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục,
có đồ thị của hàm số y  f '( x) như hình bên. Khi
đó hàm số đồng biến trên khoảng
A. ( ;0);(2; ).

B. (0; 2).

C. ( ;1);(2; ).

D. ( ;0);(1; ).

 Đinh hướng và cách giải: Học sinh vận dụng kết luận trên sẽ quan sát đồ thị
hàm số y  f '( x) và thấy rằng ứng với x ∈ (−∞ ; 0 ) và (2 ;+∞ ) thì đồ thị hàm số
y  f '( x) nằm phía trên trục hoành nên kết luận đáp án đúng là đáp án A.
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f ( x) xác định
và liên tục, có đồ thị của hàm số y  f '( x)
1

4

như hình bên. Khi đó hàm số nghịch biến
trên khoảng
A. ( ;  2);(1; ).

B. (  ;  1);(0;1).

C. (  2;1).

D. (  ;0);(1; ).

Định hướng và cách giải: Ở ví dụ 2 ta thấy đồ thị của hàm số y=f ' (x) có vẻ
phức tạp hơn một chút nhưng học sinh lúc này đã hình thành cho mình phương
pháp tư duy nên các em sẽ quan sát đồ thị và thấy phần đồ thị nằm phía dưới
trục hoành ứng với x thuộc khoảng (−2 ; 1) nên chọn đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 3. (Đề tham khảo của Bộ GD và ĐT năm 2018)
Cho hàm số

y  f  x

y  f  x 

.Hàm số
y  f  2  x

có đồ thị

như hình bên. Hàm số
đồng biến trên
khoảng:
A. (1;3)
B. (2;+ ∞ ¿
C.(−2 ; 1)
D. (−∞ ; 2 ¿
 Định hướng:
Ở ví dụ 3 yêu cầu của bài toán lúc này không đơn thuần là kết luận tính đồng
biến nghịch biến của hàm số y=f ( x ) khí biết đồ thị của hàm số y=f '( x ) mà kết
luận tính đồng biến của hàm y=f (2−x) là hàm hợp của hàm số y=f ( x ) lúc này
mình hướng tư duy của học về công thức tính đạo hàm của hàm hợp và xét dấu
đạo hàm dựa trên đồ thị hàm số y=f '( x )
 Cách giải:
'
x ←1
+) Quan sát đồ thị hàm số y=f '( x ) ta có f ( x ) <0 ⇔ 1< x < 4
'
+) Tính [ f ( 2−x ) ] =−f ' (2−x ) hàm số y=f (2−x) đồng biến khi

[

'

[ f ( 2−x ) ] >0 ⇔−f ' ( 2−x ) >0
⇔ f ' ( 2−x )< 0
⇔ 2−x ←1
1< 2−x <4
⇔ x >3
−2< x< 1

[
[

+) Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo y=f (x ) hàm liên tục trên .
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y=f ' (x) Xét hàm số y=f ( x 2−3)
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
Hàm số g(x ) đồng biến trên   1;0  .
A.
B. Hàm số g( x ) nghịch biến trên   ;  1 .
5

C. Hàm số g(x ) nghịch biến trên  1;2  .
D. Hàm số g(x ) đồng biến trên  2;  .
 Định hướng: Vẫn là yêu cầu suy ra tính chất của hàm số hợp nên hướng tiếp
cận bài toán của học sinh cũng tương tự như ví dụ 3 nhưng biểu thức hàm hợp
phức tạp hơn.
 Cách giải: g' ( x )=2 x f ' ( x 2−3)
Khi đó g' ( x ) >0 ⟺ x f ' ( x 2−3 ) >0
x >0
2
)
⟺ f x −3 >0
x <0
'
f x 2−3 ) <0

[

{(
{(
'

x >0
( x −3 ) >−2
x> 1
⟺
⟺
−1<
x <0
x <0
2
( x −3 ) ←2

[

{
{

2

  1;0 
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
Ví dụ 5. Cho hàm số y  f (x)

[

và  1;  .

có đồ thị của hàm số y  f (x)
được cho như hình bên.
2
Hàm số y  2f (2  x)  x
nghịch biến trên khoảng
( 1; 0).
(0; 2).
A.
B.
( 2;  1).
( 3;  2).
D.
C.

Nhận xét: Ở ví dụ 5 yêu cầu của bài từ đồ thị của hàm số y=f ' ( x ) kết luận tính
đồng biến của hàm y=kf ( u ) +g (x) nâng mức độ tư duy của học sinh.
Cách giải:

6

+) Tính y ' =2 f ' ( 2−x ) +2 x
+) Xét dấu hàm y ' =2 f ' ( 2−x ) +2 x dựa vào đồ
thị hàm số y=f ' ( x)
+) Đặt t=2−x ⟹ x =2−t
'

⟹ y =2[f ¿¿ ' ( t )−(t−2)]¿

+) Xét sự tương giao của đồ thị hàm số
'
y=f (t ) và y=t−2
quan sát đồ thị hai hàm số trên ta có:
y ' <0 ⟺ f ' ( t ) ⟹ 2⟹ 2<2−x <3
⟹−1< x <0

+) Vậy y=−2 f ( 2−x )+ x2 nghịch biến trên (
−1 ; 0 ¿ ⟹ chọn đáp án A
2.3.1.3. Phương pháp: Qua một số ví dụ trên rút ra phương pháp chung cho bài
toán từ đồ thị hàm số của hàm số y=f ' ( x) để suy ra tính đồng biến, nghịch biến
của hàm số y=kf ( u ) +g ( x) với k là hằng số
 Tính y ' =kf ' ( u ) + g' ( x)
 Tìm mối liên hệ giữa đồ thị hàm số f ' ( x ) và f ' (u), sau đìm mối liên hệ giữa đồ
thị hàm số f ' (u) và – g ' (x )
 Xét dấu y ' =kf ' ( u ) +g' ( x) trên các khoảng theo yêu cầu của đề bài
 Kết luận.
2.3.1.4. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số y=f ( x ) xác định, liên tục trên  và
có đạo hàm f ' ( x ). Biết rằng hàm số f ' (x ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng
A. Hàm số y=f (x ) đồng biến trên khoảng ( 2;0) .

0; 
B. Hàm số y=f ( x ) nghịch biến trên khoảng 
.
 ;  3
C. Hàm số y=f (x ) đồng biến trên khoảng 
.
 3;  2  .
Hàm số y=f (x ) nghịch biến trên khoảng 
D.
Bài 2. Cho hàm số f(x) xác định trên  và có đồ thị
hàm số y=f ' (x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
 1;1 .
A. Hàm số f ( x )nghịch biến trên khoảng 

 1; 2  .
B. Hàm số f ( x )đồng biến trên khoảng
C. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng

  2;1 .
7

 0; 2  .
D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng
Bài 3: Cho hàm số y  f ( x) . Đồ thị của hàm số
y  f '( x) như hình bên. Hàm số y  f ( x 2 ) đồng biến
trên khoảng
 1 
 1 1
 ;0 

 ; 
0;2 
 2;  1


2


A.
. B.
. C.
. D.  2 2  .
Bài 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  và có đồ
thị hàm y  f '  x  như hình vẽ bên. Xét hàm số
g  x   f x2  2 .
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số g  x  nghịch biến trên   1; 0  .
B. Hàm số g  x  nghịch biến trên   ;  2  .
C. Hàm số g  x  nghịch biến trên  0; 2  .
D. Hàm số g  x  đồng biến trên  2;  .
y = f ( x)
y = f ¢( x)
Bài 5: Cho hàm số
. Hàm số
có đồ





( )

y = f x2

thị như hình vẽ bên. Hàm số
có bao nhiêu
khoảng nghịch biến.
B. 3.
C. 4 .
D. 2.
A. 5 .
Bài 6: Cho hàm số y  f  x  . Biết rằng hàm số
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
y  f  3  x2 

A.  0;1 .
 2;3 .
C.

Bài 7.

đồng biến trên khoảng
B.   1;0  .
D.   2;  1 .

Cho hàm số

y  f  x

xác định, liên tục trên 

y '  f ' x
đạo hàm
có đồ thị như hình bên. Khẳng định
nào sau đây đúng?

A. Hàm số

y  f  x

đồng biến trên

  ; 0 

và

 2;  .
8

B. Hàm số

y  f  x

nghịch biến trên

 0; 2  .

C. Hàm số

y  f  x

nghịch biến trên

  ;  1 .

D. Hàm số

y  f  x

đồng biến trên  .

2.3.2. Đồ thị hàm số y=f ' ( x) và cực trị của hàm số y=f (x ).
2.3.2.1. Một số kiến thức liên quan.

 Nếu hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x 0
thì f ' ( x 0 )=0.

 Từ đó suy ra, nếu hàm số y=f ( x ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì đồ thị hàm số
y=f ' ( x ) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( x 0 ; 0¿ .

 Ngược lại, nếu hàm số y=f ( x ) liên tục,có đạo hàm x 0, đồ thị hàm số y=f ' ( x )
cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( x 0 ; 0¿ và đồng thời f ' ( x ) đổi dấu khi qua x 0
thì x 0 là điểm cực trị của hàm số y=f ( x ).

 Nếu f ' (x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 thì x 0 là điểm cực tiểu, nếu
f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0 thì x 0 là điểm cực đại.

2.3.2.2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) xác định trên  và có đồ thị
của hàm số y=f ' (x ) như hình vẽ bên. Hàm số có mấy
điểm cực trị?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

 Định hướng. Quan sát đồ thị hàm số y=f ' (x ) nhận xét về số giao điểm của
đồ thị và trục hoành, phần đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hoành để kết
luận về dấu của hàm số y=f ( x ) tương ứng.
 Cách giải. +) f ' ( x )=0 có 4 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có 3 nghiệm làm cho
đạo hàm f ' (x ) đổi dấu nên hàm số chỉ có 3 điểm cực trị. Chọn C.

9

: Cho hàm số y=f ( x ) xác định và có đạo
Ví dụ 2
hàm f ' (x ) Biết rằng hình vẽ bên là đồ thị của
hàm số f ' (x ).
Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của
hàm số f (x)
A. Hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x=−2 .
B. Hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x=1.
C. Hàm số f ( x) đạt cực đại tại x=−1 .
D. Hàm số f ( x) đạt cực đại tại x=−2 .
 Định hướng. Các em quan sát đồ thị hàm số y=f '( x ) và trả lời câu hỏi. f ' (x )
đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm nào?
 Cách giải. Tại x=1 hàm số f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số f ( x)
đạt cực tiểu tại x=1. Chọ đáp án B.
Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x)
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
g ( x)  f ( x) 

x3
 x2  x  2
3
đạt cực đại tại điểm

nào?
A. x 1 .
B. x  1 .
C. x 0 .
x 2 .
D.
3

x
 Định hướng. Để tìm điểm cực đại của hàm số g ( x )=f ( x )− + x 2−x +2 trước
3
'
'
2
(
)
(
)
tiên đạo hàm g x =f x −x +2 x−1 và tìm thêm sự tương giao của đồ thị hàm
số y=f ' ( x) và đồ thị hàm số y=x 2−2 x +1

 Cách giải.
+) g' ( x )=f ' ( x ) −x2 +2 x−1, g' ( x )=0 ⟺ f ' ( x )=x 2−2 x+1
+) Số nghiệm của phương trình g' ( x )=0 là số giao điểm của hai đồ thị hàm số
y=f ' ( x) và y=x 2−2 x +1
'

[

x=0

+) Quan sát đồ thị suy ra g ( x )=0 ⟺ x=2
x=1

+) BBT của hàm số y=g ( x)

10

Dựa vào BBT kết luận hàm số đạt cực
đại tại x=2
Ví dụ 4. Cho hàm số y=f (x ) có đạo hàm
liên tục trên  và có đồ thị hàm số
'
2
y=f ( x) như hình vẽ. Hàm số y=f (2 x +1)
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 1.

 Định hướng. Trước tiên tính đạo hàm y ' =( 4 x+1 ) f ' (2 x 2 + x), dựa vào đồ thị
hàm số y=f ' (x) lập BBT của hàm số y=f (2 x 2+1)
 Cách giải.
+) Đặt g( x ) ¿ f (2 x 2 +1)
1
'
2
2
+) f ( 2 x + x ) <0 ⟺ 2 x + x <0 ⟺− < x <0
2

+) BBT

+) quan sát BBT hàm số có 3 điểm cực trị
2.3.2.3. Phương pháp. Để tìm cực trị của hàm số y=kf ( u ) +g ( x) từ đồ thị hàm số
y=f ' ( x ) gồm các bước sau.
 Tìm đạo hàm của hàm số y ' =(kf ( u ) + g( x ))'
 Quan sát đồ thị và lập BBT
 Dựa vào BBT để kết luận bài toán.
2.3.2.4. Bài tập rèn luyện

11

Bài 1. Đồ thị sau đây là của hàm số y=f ' (x ). Khi
đó hàm số y=f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

y f x

y'  f ' x

  . hàm số
 
Bài 2. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số

y  f  x

có ba điểm cực trị.

B. Đồ thị hàm số

y  f  x

có hai điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số

y  f  x

không có cực trị

D. Đồ thị hàm số

y  f  x

có một điểm cực trị.

Bài 3. Cho hàm số y  f  x  với đạo hàm f '  x 
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
x3
g  x  f  x 
 x2  x  2
3
đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
A. x 0. B. x 0,5. C. x 1. D. x  1.
Bài 4. Cho hàm số y f  x  xác định trên R. Đồ
thị hàm số y f '  x  như hình vẽ bên. Đặt

1 3 3 2 3
x  x  x  2018.
3
4
2
Điểm
cực tiểu của hàm số g  x  đoạn   3;1 là
g  x  f  x  

1
2.
0 .

x CT 

A. x CT  1 .

B.

C. x CT  2 .

D. x CT

2.3.3. Đồ thị hàm số y=f ' ( x) và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=f ( x )
2.3.3.1. Một số kiến thức liên quan.
 Dấu hiệu nhận biết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
bảng biến thiên.
Bảng 1
x

a

x0

b

x

a

x0

b

12

y'

0

+¿

y'

−¿

f (x 0)

y

+¿

¿∨¿

−¿

f (x 0)

y

max f ( x )=f (x 0 )
[a ;b ]

Bảng 2.
x

x0

a

y'

−¿

0

b

x
y'

+¿

y

x0

a

b

|∨¿

−¿

+¿

y

f ( x 0)

f ( x 0)

min f ( x )=f (x 0 )
[ a ;b]

Bảng 3.
x
y'
y

a

b
−¿

f (a)

x
y'
y

a

b
+¿
f (b)

f (b)
f (a)
max f ( x )=f ( a), min f ( x )=f (b)
[a ;b ]

[ a; b]

max f ( x )=f (b), min f ( x )=f (a)
[a ;b ]

[a ; b]

 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f ( x ) , x=a , x=b ,Ox
+) Diện tích hình phẳng diện tích hình
phẳng giới hạn bởi bởi các đường
y=f ( x ) , x=a , x=b , y =0
b

S = ∫ ¿ f ( x ) ∨dx
a

+)Diện tích hình phẳng diện tích hình
phẳng giới hạn bởi bởi các đường
y=f ( x ) , x=a , x=b , y =g (x)
b

S = ∫ ¿ f ( x ) −g (x)∨dx
a

b

+)∫ f ' ( x)dx=f ( b )−f (a)
a

13

2.3.3.2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho hàm số

y  f  x

có đồ thị

y  f ' x

cắt trục Ox tại ba điểm lần lượt có
hoành độ a, b, c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng.
f c  f  a  2 f  b  0
A.  
.

B.  f  b   f  a    f  b   f  c    0 .
f a  f  b  f  c
C.  
.

D. f  c   f  b   f  a 
 Định hướng. Để so sánh được các giá trị của f(x) trước tiên quan sát đồ thị
hàm số y=f ' (x), lập BBT của hàm số y=f ( x ) dựa vào BBT ta so sánh được một
số giá trị của hàm số.
 Cách giải.
+) Dựa vào đồ thị hàm số y=f ' ( x ) có BBT của hàm số y=f ( x )
+) BBT.
x
y'

y

a

−∞

+

0

b


0

c
+

f(a)

0

+∞


f(c)
f(b)

+) Dựa vào BBT suy ra f ( b ) ( f ( b )−f ( a ) ) ( f ( b )−f ( c ) ) < 0
+) Chọn đáp án B.

14

Ví dụ 2. Cho hàm số y=f (x ) có đạo hàm f ' ( x ) liên
tục trên  và đồ thị của hàm số f ' ( x ) trên đoạn
  2; 6 như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng
trong các khẳng định sau.
f ( x )=f (−1)
A. max
[− 2 ;6 ]
f ( x )=f (−2)
B.max
[− 2 ;6 ]

f ( x )=f (−6)
C.max
[− 2 ;6 ]
f ( x ) =f (−2)
D. [min
−2;6 ]

 Định hướng. Lập BBT của hàm số y=f ( x ), so sánh diện tích hình phẳng.
 Cách giải.
x

+) BBT

−2

y'

+

y

2

−1

0



6

0

+

0
f (6)

f (−1)
f (−2)

f (2)

+) Dựa vào đồ thị y=f ' (x), so sánh diện tích các hình phẳng
2
+) −1 '

∫ f ( x ) dx<∫ (−f ¿¿ '( x ))dx ¿
−2

+)

−1

⇔ f (−1 )−f (−2 )< f (−1 )−f ( 2 )
⇔ f (−2 ) >f (2)
2

6

∫ f ' ( x ) dx<∫ (−f ¿ ¿' (x)) dx ¿
−1

2

⇔ f ( 2 )−f (−1 )< f ( 2 )−f ( 6 )
⇔ f ( 6 ) > f (−1)

+) Kết luận. Đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 3. Cho hàm số y=f (x ) liên tục trên R . Đồ thị
của hàm số y=f ' ( x) như hình bên. Đặt
g ( x )=2 f ( x )−(x +1)2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
g ( x )=g(1)
A. [min
−3 ;3 ]
g ( x )=g(1)
B. max
[− 3 ;3 ]

g ( x )=g(3)
C. [min
−3 ;3 ]

4
2
-3

1

3

-2

  3;3 .
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g(x ) trên
15

Định hướng. Để tính được các giá trị min f(x) trước tiên quan sát đồ thị hàm
số y=f ' ( x), lập BBT của hàm số y=f ( x ) dựa vào BBT ta so sánh được một số giá
trị của hàm số, sau đó dùng diện tích hình phẳng để rút ra GTNN của hàm
y=f (x ) trên [-3;3].
Cách giải. Ta có:
4
+) g ' ( x )=2 f ' ( x ) −2(x+ 1)
'
'
+) g (x)=0 ↔ f ( x )=x +1
x=−3
2

[

→ x=1
x=3

-3

+) BBT.

1

3

-2
x

1

−3

+

y'
y

3

0



0

g(1)
g(−3)

g(3)

+) Đáp án đúng là B
2.3.3.3. Phương pháp: Để tìm cực trị của hàm số y=kf ( u( x) ) + g ( x) từ đồ thị hàm
số y=f ' (x ) gồm các bước sau.
Tìm đạo hàm của hàm số y ' =(kf ( u(x ) )+ g (x))'
Quan sát đồ thị và lập BBT, so sánh một số giá trị của hàm số
Quan sát đồ thị để so sánh diện tích hình phẳng để so sánh một số giá trị
Từ đó rút ra kết luận của bài toán
2.3.3.4. Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho hàm số y=f ( x ) Đồ thị hàm số như
f ( x)
hình y=f ' ( x ) vẽ bên. Đặt M =max
[−2;6 ]
m= min f (x), T =M + m. Mệnh đề nào dưới đây
[−2; 6]

đúng?
A. T =f ( 0 )+ f (−2).
.
.
C T =f ( 5 )+ f (6)

B. T =f ( 5 )+ f (−2).
D. T =f ( 0 )+ f (2).

16

Bài 2. Cho hàm số y=f ¿) có đồ thị y=f ' (x ) cắt
trục Ox tại ba điểm có hoành độ a< bhình vẽ.
Xét 4 mệnh đề sau
1. f ( c ) >f ( a )> f (b).
2. f ( c ) > f ( b )> f ( a ).
3. f ( a )> f ( b ) > f ( c ).
4. f ( a ) >f (b).

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề
đúng ?
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Bài 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  x 

trên  và đồ thị của hàm số f  x  cắt trục

hoành tại điểm a, b, c, d (hình bên).

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.

f  c  f  a  f  b  f  d 

.

B.

f  a   f  c  f  d   f  b

.

C.

f  a  f  b  f  c  f  d 

.

D.

f  c   f  a   f  d   f  b

.

Bài 4. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và
hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình dưới:
Xét các khẳng định sau:
(I). Hàm số y  f  x  có 3 cực trị.
(II). Phương trình f  x  m  2018 có nhiều
nhất ba nghiệm.
(III). Hàm số y  f  x  1 nghịch biến trên
khoảng  0;1 .
Số khẳng định đúng là
A. 1.
B. 3.
C. 2.

D. 0.

17

Bài 5 . Cho hàm số y=f (x ) có đồ thị y=f ' (x )
như hình vẽ. Xét hàm số
1
3
3
g ( x )=f ( x )− x 3− x 2+ x+2018 . Mệnh đề nào
3
4
2

dưới đây đúng?
min g  x  g   1
min g  x  g  1
 3;1

A.
. B.   3;1
.
min g  x  g   3

C.   3;1

. D.

min g  x  
  3;1

g   3  g  1
2
.

2.4. Hiệu quả của đề tài.
 Trong quá trình giảng dạy nội dung từ đồ thị hàm số y=f ' ( x ) suy ra một số
tính chất của hàm số y=f ( x ), bản thân tôi và đồng nghiệp đã hình thành cho
mình phương pháp để truyền đạt kiến thức, kĩ năng cho học sinh một cách dễ
hiểu nhất, tạo cho học sinh niềm đam mê khi học nội dung này.
 Đối với học sinh, các em nắm vững kiến thức Đạo hàm, Ứng dụng đạo hàm,
Tích phân, Ứng dụng tích phân. Đặc biệt rất tự tin khi gặp dạng toán này
trong các đề thi thử THPTQG.
 Để kiểm tra tính hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng
có chất lượng tương đương nhau là học sinh lớp 12A1, 12A6 trường THPT
Dương Đình Nghệ - Thiệu hóa. Trong đó lớp 12A6 chưa được tiếp cận
phương pháp đã sử dụng trong đề tài, kiểm tra bằng hình thức trắc nghiệm,
thời gian làm bài 15 phút với kết quả thu được như sau.
Lớp
Sĩ số
Điểm < 5
5 Điểm<8
Điểm 8
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
12A1
39
2
5.1
10
25.5
27
69.4
12A6
42
23
55
11
26
8
19
 Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã triển khai ở các buổi sinh hoạt
chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình
giảng dạy, ra đề thi trắc nghiệm và hướng dẫn học sinh làm bài thi trắc
nghiệm môn Toán.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Thực tế giảng dạy, áp dụng ở các lớp 12 trường THPT Dương Đình Nghệ Thiệu Hóa. Tôi đã thu được các kết quả khả quan, không chỉ giúp cho học sinh
nắm vững kiến thức đạo hàm, ứng dụng đạo hàm, tích phân, ứng dụng tích phân
mà con giúp học sinh tránh được các sai lầm trong việc giải toán. Ngoài ra, học
sinh còn phát hiện, tìm tòi các cách giải hay đối với việc giải các bài toán trong
sách giáo khoa và sách bài tập và phân tích được các phương án gây nhiễu trong
18

đề thi trắc nghiệm giúp các em tự tin hơn trong khi học và làm bài thi trắc
nghiệm.
3.2. Kiến nghị.
 Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy
cho toàn thể cán bộ giáo viên.
 Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được công bố rộng rãi.
 Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
 Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp
có thể góp phần nhỏ cải tiến, đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2018.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Minh

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 11 Nâng cao – Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Nhà xuất
bản Hà Nội, 2008.
2. Sách giáo khoa giải tích 11 Cơ bản – Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)-Nhà xuất
bản Giáo dục, 2008.
3. Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao – Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)- Nhà
xuất bản Giáo dục, 2008.
4. Sách Giải tích 12 Cơ bản – Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo
dục, 2008.
5. Đạo hàm và ứng dụng – Lê Hồng Đức (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục Hà
Nội, 2008.
6. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet.
7. Tham khảo đề thi THPTQG môn toán năm 2017.

20