KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
1
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
CÁC KỸ THUẬT CHỨNG MINH VUÔNG GÓC – P1
Trong hình học phẳng, bài toán chứng minh vuông góc là một trong những bài
toán khá phổ biến, thường được lồng ghép vào hệ trục tọa độ Oxy những năm gần đây khi
gắn với kì thi THPT Quốc Gia nhằm mục đích phân loại thí sinh tốt hơn. Việc phải trải qua
bước “chứng minh vuông góc” này vô tình đã tạo ra một trở ngại không nhỏ với các em học
sinh khi chinh phục bài toán. Thấu hiểu và đồng cảm với điều đó, Thầy tổng hợp một số
phương pháp chứng minh thông dụng cùng với việc sưu tầm một khối lượng lớn các bài tập.
Hi vọng đây sẽ là một tài liệu nhỏ bổ ích đồng hành với các em trên con đường chinh phục
vũ môn, mở ra cánh cổng Đại học sắp tới.
Kỹ thuật 1: Sử dụng định lý đảo Py-ta-go.
Kỹ thuật này đòi hỏi ở các em HS ở sự tính toán cẩn thận, có khả năng tính toán đại số tốt
khi vận dụng các “hệ thức lượng trong tam giác như cạnh, góc và diện tích”.
Quy trình mô tả như sau:
Bước 1: Xét 2 cạnh cần chứng minh vuông góc trong một tam giác.
cm
ABC vuông tại B
AB 2 BC 2 AC 2
VD: AB BC
Bước 2: Đặt một cạnh của tam giác là x 0 , tính các cạnh còn lại theo x . Hoặc
đặt một cạnh nào đó là x 0 . Biểu diễn cả 3 cạnh đó theo x .
Bước 3: Từ sự biểu diễn trên, kiểm tra AB 2 BC 2 AC 2 AB BC
Ví dụ 1 (Câu 22 – phần “bài toán liên quan đến lập phương trình đường thẳng”): cho
hình vuông ABCD có điểm E là trung điểm của cạnh CD . Gọi F là một điểm trên
đoạn AC sao cho CF 3 AF . Chứng minh rằng EF BF .
Hướng dẫn giải.
* Đặt AB = a > 0 là độ dài cạnh hình vuông ABCD. Ta có
EC
CD a
3AC 3a 2
,CF
2
2
4
4
* Xét EFC có định lý hàm số cosin là:
CF2 EC2 EF2
a 10
(1)
cos FCE
EF
2CF.EC
4
* Mặt khác BIF vuông tại I: BF BI 2 IF 2
* Mặt khác BEC vuông tại C: BE BC 2 EC 2
a 10
2
4
a 5
3
2
* Từ 1 , 2 , 3 BE2 BF 2 EF 2 BEF vuông tại F BF EF .
Kỹ thuật 2: Sử dụng tính chất đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền trong tam
giác vuông.
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
2
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
M la trung diem AC
cm
BM
ABC vuông tại B
Ta cần chứng minh AB BC
AC
2
Ví dụ 2 (Câu 22 – phần “bài toán liên quan đến lập phương trình đường thẳng”): cho
hình vuông ABCD có điểm E là trung điểm của cạnh CD . Gọi F là một điểm trên
đoạn AC sao cho CF 3 AF . Chứng minh rằng EF BF .
Hướng dẫn giải.
Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AD, BE.
* Dễ dàng chứng minh F là trung điểm MN và do K là
trung điểm BE
FK / /NC
FK là đường trung bình của MNC
NC
FK 2
EBC NCD c g c NC BE FK
BE
BF FE
2
Kỹ thuật 3: Sử dụng kỹ thuật dùng vectơ (thuần túy)
Với kỹ thuật này, yêu cầu ở người dùng phải có kỹ năng tốt về việc dùng véctơ thuần túy.
Một số các quy tắc chèn điểm, công thức tích vô hướng giữa 2 véctơ, v,v... cụ thể là:
● Quy tắc chèn điểm: AB AC CB hay AB AC CD Dx .... xB 0
AB AD AC
● Quy tắc hình bình hành ABCD :
AB AD DB
● Tích vô hướng giữa 2 véctơ a.b a . b .cos a;b
IB IC 0
● Quy tắc trung điểm: cho tam giác ABC có I trung điểm BC:
AB AC 2AI
GA GB GC 0
● Quy tắc trọng tâm: cho tam giác ABC có G là trọng tâm :
MA MB MC 3MG
dpcm
bien doi
AB.CD
0.
Khi đó giả sử ta cần chứng minh AB CD
Ví dụ 3 (Câu 22 – phần “bài toán liên quan đến lập
phương trình đường thẳng”): cho hình vuông ABCD có
điểm E là trung điểm của cạnh CD . Gọi F là một
điểm trên đoạn AC sao cho CF 3 AF . Chứng minh
rằng EF BF .
Hướng dẫn giải.
dpcm
EF.FB 0
Ta có: EF BF
Do đó ta có: EF EC CF, FB FC CB
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
3
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
EF.FB EC.FC EC.CB CF.FC CF.CB .
CD 3CD 2
.
.
EC.FC EC.FC.cos FCE
2
4
3CD 2
CF.CB CF.CB.cos FCB CD.
.
*
4
EC.CB 0 do EC CB
2
9CD2
CF.FC CF
8
1
3CD2
8
2
1
3CD2
4 EF.FB 0 FE FB
2
Kỹ thuật 4: Sử dụng điểm thuộc đường tròn trong tứ giác nội tiếp.
Với kỹ thuật này, ta sẽ chọn điểm nhìn cạnh là đường kính dưới một góc vuông. Nhưng
trước hết ta cần hiểu các trường hợp chứng minh tứ giác nội tiếp.
• Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O. Khi
đó các điều kiện để tứ giác nội tiếp là:
ABD
ACD (2 góc nội tiếp liên tiếp cùng
chắn 1 cung bằng nhau)
DAB
DCB
180o (tổng hai góc đối diện
bằng 180 độ)
BAD
BCM (góc ngoài bằng góc đối trong).
Ngoài ra nếu từ 1 điểm M nằm ngoài một đường O
, kẻ hai cát tuyến MBA, MCD đến O thì khi đó ta
có MB.MA
MC .MD .
Đặc biệt nếu kẻ tiếp tuyến MT như hình vẽ thì ta có MB.MA
MC .MD
MT 2 .
Ví dụ 4 (Câu 22 – phần “bài toán liên quan đến lập phương trình đường thẳng”): cho
hình vuông ABCD có điểm E là trung điểm của cạnh CD . Gọi F là một điểm trên
đoạn AC sao cho CF 3 AF . Chứng minh rằng EF BF .
Hướng dẫn giải.
Gọi I AC BD và M là trung điểm AB.
* Ta có MBCE là hình chữ nhật nên là tứ giác
MBCE nội tiếp đường tròn tâm K đường kính BE
(1).
MI AM
FM AC
* Lại có CF 3 AF FI AF
MFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường
kính BE (2). (do MFC MEC 900 ).
*
1 , 2 F, M, B,C, E
cùng thuộc đường tròn
đường kính BE BFE 900 FB FE .
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
4
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
Kỹ thuật 5: Sử dụng phương pháp tọa độ.
Với kỹ thuật này, ta cần phải “tạm quên đi” các dữ kiện mà đề bài cho trong hệ trục
Oxy, chuyển bài toán về hình phẳng thuần túy, sau đó là chọn lại 1 hệ trục mới có yếu tố
“vuông góc”, kèm với việc chuẩn hóa độ dài của các cạnh nhằm đưa đến việc tọa độ hóa các
điểm. Bước cuối cùng là tính véc tơ của các cạnh và xét tích vô hướng giữa chúng bằng 0.
Đây là một phương pháp có nhiều ứng dụng và Thầy cũng đã viết thành 1 tập tài
liệu khoảng 15 bài (đăng lên Facebook khoảng đầu tháng 6 năm 2016). Các em có thể tìm đọc
để hiểu rõ hơn. Hoặc tham khảo chương 4 quyển sách “phát triển tư duy khoa học và giải
toán hình tọa độ phẳng” của chính thầy viết).
Ví dụ 5.1 (Câu 22 – phần “bài toán liên quan đến lập phương trình đường thẳng”):
cho hình vuông ABCD có điểm E là trung điểm của cạnh CD . Gọi F là một điểm
trên đoạn AC sao cho CF 3 AF . Chứng minh rằng EF BF .
Hướng dẫn giải.
Dựng hệ trục Dxy DC Dx, DA Dy
Đặt CD 4a 0 . Khi đó ta có tọa độ các điểm
là:
E 2a; 0 , F a; 3a , B 4a; 4a .
FB 3a; a
Khi đó:
FB.EF 0 FB FE 1
EF
a;
3
a
Ngoài ra ta cũng có: FB FE a 10 2
Từ 1 , 2 FBE vuông cân tại F .
Ví dụ 5.2 : Cho tam giác ABC cân tại A . D là trung điểm của AB . Biết rằng I , E lần
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng
tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng IE vuông góc CD.
Hướng dẫn giải
Dựng hệ trục Hxy HC Hx, HA Hy
Đặt AH 2 , HC 2 a 0 . Khi đó ta có:
H 0 ; 0 ,C 2a; 0 ,B 2a; 0 , A 0 ; 2 ,D a; 1
a
; 1 .
3
Khi đó ta có E
qua D a; 1
DI
:
DI : ax y a2 1 . Do đó I DI AH I 0 ; a2 1 .
Đường
vtpt : BA 2a; 2
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
5
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
a 2 a
EI ; a 1; 3a
EI.DC 0 EI CD .
3
3
Xét
DC 3a; 1
Kỹ thuật 6: Sử dụng giao của 3 đường cao trong tam giác.
Như các bạn đã biết, nếu hai đường cao tương ứng của 1 tam giác cắt nhau tại 1
điểm thì ta gọi điểm đó là trực tâm của tam giác ấy. Và đồng thời đỉnh còn lại đi qua trực
tâm cũng vuông góc với cạnh tương ứng của tam
giác.
Cho ABC có AD, BE là hai đường cao. Gọi H là giao
điểm giữa AD, BE . Khi đó ta có H là trực tâm tam giác
ABC và HC AB :
BE AC
HC AB
AD BC
BE AD H
Ví dụ 6.1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của
H trên AC, E là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AE BD.
Hướng dẫn giải
Phân tích: nhận thấy HD AC , HC AH nên ta thử “đổi
đường thẳng” BD sang 1 đường thẳng khác, (phát hiện H là
trung điểm AC nên ta gọi M là trung điểm CD thì khi đó ta
có được MH / /BD. Và như vậy ta cần chứng minh
MH AE
EM AH EM / /HC, HC AH
HM// BD
AE BD .
HD AM
HD EM E
Ví dụ 6.2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD 2AB. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của D lên đường thẳng AC , M là trung
điểm của đoạn HC. CMR: BM DM .
Hướng dẫn giải
Gọi K là trung điểm DH KM là đường trung bình
CD
AD,KM / /CD / /AD
HDC KM
2
ABMK là hình bình hành AK / / BM
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
6
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
DH AM
AK// BM
Lại có: KM AD do KM / /CD,CD AD AK DM
BM DM dpcm .
K DH KM
Kỹ thuật 7: Sử dụng đường nối hai tâm thì vuông góc dây cung chung. ( hay định
lý đường kính và dây cung)
Cho hai đường tròn I ; R , O; R' cắt nhau
tại hai điểm phân biệt A, B . Khi đó ta có
IO AB tại H là trung điểm của AB (định
lý đường kính và dây cung).
Lưu ý: trong trường hợp này, ta có thể hiểu
dây cung chung (hay trục đẳng phương) của
2 đường tròn sẽ vuông góc với đường nối hai
tâm. Như vậy chỉ cần ta chứng minh được
hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
nào đó thì sẽ suy ra được đoạn nối 2 điểm sẽ
vuông góc với đoạn nối 2 tâm.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H , M là trung điểm
BC. Gọi K là trung điểm AH. Chứng minh rằng
DE MK
Hướng dẫn giải
BEC BDC 900 BEDC là tứ giác nội
Ta có:
tiếp đường tròn đường kính BC.
Lại có: ADH AEH 1800 ADHE là tứ giác nội
tiếp đường tròn đường kính AH .
AH
BC
Ta có K; R
, M; R'
cắt nhau tại 2 điểm
2
2
E, D MK ED .
Kỹ thuật 8: Chứng minh “Tổng của hai góc phụ nhau bằng 900 ”.
Bằng cách khai thác hai góc phụ nhau của 2 đường thẳng vuông góc, ta chứng minh tổng
của hai góc bằng 900 . Như vậy, việc làm này sẽ chuyển bài toán thành chứng minh các góc bằng
nhau. Có thể kể đến các cách như chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, v,v...
Ví dụ 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD , M là một điểm trên cạnh AB sao
cho AB = 4AM. Chứng minh rằng DM vuông góc AC.
Hướng dẫn giải
Gọi H AC DM
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
7
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
BC 1
tan MAH
AB
2
Xét
AM
1
tan ADM
AD 2
MAH
Lại có
ADM
AMD ADM 900
MAH ADM 900 AHM 900 AH HM hay AC DM .
Kỹ thuật 9: Sử dụng tính chất của đường trung
trực.
Như chúng ta đã biết, tính chất của đường trung
trực chính là những điểm nào thuộc đường trung
trực của một cạnh nào đó thì sẽ cách đều hai đầu
mút của cạnh đó. Như trong hình vẽ ta có: d là
đường trung trực của đoạn AB,
EA EB
Khi đó:
EF là đường trung trực của
FA FB
AB hay EF AB .
Điều này có nghĩa rằng, lại chuyển bài toán thành chứng mình 2 cạnh bằng nhau hay chứng
minh tam giác cân, v.v...
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I , trực tâm H , B . Gọi K là trung
điểm AH. Đường thẳng vuông góc BK tại K cắt AC tại P . Đường thẳng AH cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai H’. Chứng minh rằng: IP AH .
Hướng dẫn giải
Phân tích: Ta phát hiện IA IH ' . Vì vậy nếu ta
chứng minh được PA PH ' hay APH ' là tam giác
cân thì sẽ suy ra được IP chính là đường trung trực
của đoạn AH’ hay IP vuông góc AH.
Trước tiên ta chứng minh 5 điểm B, K, E, P, H’
cùng thuộc đường tròn đường kính BP. (việc này
xin dành cho bạn đọc).
Ta có:
H1 ' H2 ' 90o do BH ' PH ', cmt
E2 E1 90o gt
E1 EAK do EAK can tai K
H1 ' E2 KEH ' B la tgnt
IA IH '
IP là trung trực của AH’
EAK H2 ' APH ' cân tại P PA PH '
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
8
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
IP AH ' hay IP AH (đpcm)
Kỹ thuật 10: Sử dụng tính chất tiếp tuyến của đường tròn.
Một trong những tính chất cũng rất hay được sử dụng đối với bài toán có liên quan đến
đường tròn hoặc tứ giác nội tiếp chính là việc dựng thêm tiếp tuyến (ngầm ẩn yếu tố vuông
góc) để chứng minh hoặc chứng minh một đường thẳng chính là tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 10.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, BE và CF lần lượt là hai đường cao
của tam giác ABC. Chứng minh rằng IA vuông góc EF.
Hướng dẫn giải
Kẻ Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC tại I suy ra IA Ax
Ta có: EFBC là tứ giác nội tiếp
BFC BEC
AFE ACB 1 .
Mặt khác,
xAF ACB 2 (góc giữa tiếp tuyến
và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung AB )
1 , 2
xAF AFE (so le trong)
Ax IA
EF / / Ax
IA EF
Ví dụ 10.2. Cho hình bình hành ABCD . Đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC tại điểm thứ hai
là E . Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
EAB . Chứng minh FB vuông góc BD.
Hướng dẫn giải
Ta có:
BEC BDC (do EBCD là tứ giác nội tiếp)
ABD BDC do AB / /CD BEA ABD
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng
chắn cung AB) BD là tiếp tuyến của
EAB FB BD .
Kỹ thuật 11: Sử dụng định lý 4 điểm.
Cho tứ giác ABCD , khi đó AC BD AB2 CD2 BC 2 AD 2
Từ kết quả của tính chất trên, ta có thể sử dụng để
chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.
Trước tiên, ta cần chứng minh kết quả trên:
Dựng hệ trục Hxy như hình vẽ.
Đặt A a; 0 ,C c; 0 ,B 0;b .
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
9
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
Giả sử: D m; n . Ta có AB2 a 2 b2
CD2 c 2 2cm m2 n2
2
2
2
2
2
2
2
2
AD a 2am m n .Từ 4 đẳng thức trên ta có: AB CD AD BC cm am
2
2
2
BC b c
Vì a c m 0 D 0 ; n trục tung AC BD
Ví dụ 11: Cho hình chữ nhật ABCD, từ A kẻ đường thẳng vuông góc BD tại H và cắt CD tại
E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, ED.
Chứng minh rằng BM AN .
Hướng dẫn giải
Để chứng minh BM AN
Ta cần chứng minh AM 2 BN 2 AB2 MN 2
a,b,c 0
Đặt AD 2a, DE 2b, AB c, c b
c 2 a
Ta có: ABED có AE BD AB2 DE2 BE2 AD2 c 2 4b2 a2 4a2 c 2b
2
Suy ra 5a 2bc
2
1 .
Với tứ giác AMNB . Xét AM2 BN 2 MN 2 AB2 a2 4a2 c b a2 b2 c 2
2
2
Suy ra 5a 2bc
ap dung dinh ly 4 diem
AN BM .
2 . Từ Suy ra 1 , 2
Kỹ thuật 12: Sử dụng định lý “con nhím”
Trước khi ta đi vào tìm hiểu định lý, mời bạn đọc xem qua một số bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC. Khi đó ta có:
AM
MC
MB
AB
.AC
BC
BC
Hướng dẫn giải: Kẻ MN // AC.
AN MC
BC
Theo định lý Thales ta có: AB
NM
MB
AC BC
AN
MC
AN AB AB BC AB
Đồng thời
NM NM AC MB AC
AC
BC
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
10
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
Suy ra AN NM
THẦY LÂM PHONG
MC
MB
MC
MB
AB
AC AM
AB
AC dpcm .
BC
BC
BC
BC
Bổ đề 2: Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC. Khi đó: aIA bIB cIC 0
Hướng dẫn giải: lần kẻ các đường phân giác AA’, BB’, CC’ của các góc A, B, C.
Khi tính tổng của nhiều vecto ta thường tìm cách tổng hợp chúng thành từng cặp. Do đó, trong bài
toán này ta dựng thêm hình bình hành ANIM sao cho C ' IN , B ' IM . Khi đó ta có:
AI AN AM
AM AB ' AB c
B ' C BC a
Theo định lý Thales: IC
AN C ' A AC b
IB
C ' B BC a
Suy ra AM
Do đó AI AN AM
c
b
IC , AN IB .
a
a
c
b
IC IB aIA b.IB cIC 0 (đpcm).
a
a
Bổ đề 3: Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt tại
M, N, P. Chứng minh rằng: aIM bIN cIP 0
Hướng dẫn giải: (để giải quyết bổ đề 3 này ta sử
dụng lại hai bổ đề 1 và 2)
VT aIM bIN cIP
aIA bIB cIC aAM bBN cCP
a IA AM b IB BN c IC CP
0
MC
AN
AP
MB
NC
BP
a
AB
AC b
BC
BA c
CB
CA
a
b
c
a
b
c
MC NC AB MB BP AC AN AP BC 0
0
0
0
Từ bổ đề 3, ta mở rộng với đa giác lồi nhiều hơn 3 đỉnh thì sẽ có phát biểu như sau:
Định lý “con nhím”: Cho đa giác lồi A1 A2 ...An và ei 1 i n , ei 1 là các vecto đơn vị
vuông góc với Ai Ai 1 (xem An1 A1 ) và hướng ra ngoài đa giác. Khi đó ta có đẳng thức:
A1 A2 e1 A2 A3 e2 ... An A1 en 0
(Việc chứng minh định lý này, bạn đọc có thể sử dụng phương pháp quy nạp, bổ đề 3
chính là trường hợp ta xét với n = 3).
Như vậy khi sử dụng định lý trên để chứng minh 2 đường thẳng vuông góc, ta thường chứng minh
một vecto có giá là một trong hai đường cùng phương với một vecto vuông góc với đường còn lại.
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
11
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
Ví dụ 12.1: Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài các tam giác ABD, ACE, vuông
cân tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM vuông DE.
Hướng dẫn giải
Phân tích: ADE có cạnh DE cần chứng minh vuông AM, đồng thời ta phát hiện thêm
AD AB, AE AC , nên ta có thể gọi thêm 1 vecto đơn vị e vuông góc với DE, hướng ra ngoài,
khi đó dựa chỉ cần ta chứng minh được 2 vecto e và AM cùng phương thì xem như bài toán kết
thúc.
Lưu ý: với các vecto bất kì không phải vecto đơn vị (là vecto có độ dài bằng 1) thì để chuyển nó về
vecto đơn vị ta chỉ cần chia cho độ dài của chính vecto đó, ví dụ:
1
AB ABe e
AB .
AB
Trở lại bài toán,
Áp dụng định lý con nhím trong ADE , đồng thời e là vecto
đơn vị vuông góc với ED và hướng ra ngoài cạnh ED.
Khi đó ta có:
AD
AE
AB
AC DE.e 0 (do AD=AB, AE=AC)
AB
AC
AB AC DE.e 0 2 AM DE.e 0 AM
DE
e ED
e
AM ED
2
Ví dụ 12.2 (tương ứng VD 5.2) : Cho tam giác ABC cân tại A . D là trung điểm của AB .
Biết rằng I , E lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác
ACD . Chứng minh rằng IE vuông góc CD.
Hướng dẫn giải
Gọi F là trung điểm AC. Khi đó ta nhận thấy IF vuông AC,
ID vuông AD và điều phải chứng minh là IE vuông DC.
Áp dụng định lý con nhím, trong tam giác ACD
Gọi u là vecto vuông góc với cạnh CD, hướng ra ngoài
cạnh CD và có độ lớn bằng ID. Khi đó:
AD
AC
CD
ID
IF
.u 0 (do ID = IF)
ID
IF
ID
AD.ID AC.IF CD.u 0
AC
AC
AC
.ID
IA IC CD.u 0
ID IA IC CDu 0
2
2
2
3 IE
IE
2CD
uCD
u
CD IE dpcm
3 AC
Ví dụ 12.3 (tương ứng VD 6.1): Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của
BC, D là hình chiếu của H trên AC, E là trung điểm của HD. Chứng minh rằng
AE BD.
Hướng dẫn giải
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
12
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
Phân tích: quan sát BHD ta thấy AH BH,HD AD , gọi e là vecto đơn vị vuông góc BD
và hướng ra ngoài cạnh BD. Áp dụng định lý con nhím trong BHD ta có:
BH
HD
AH
AD BD.e 0
AH
AD
tan BAH AH tan DAH AD BDe 0
DAH
tan BAH AH AD BD.e 0
2 tan BAH AE BDe 0
Suy ra AE,e cùng phương nên AE BD
BÀI TẬP VẬN DỤNG – PHẦN 4.
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,
1
AB AD CD . Giao điểm của AC và BD là E 3 ; 3 , điểm F 5 ; 9 thuộc cạnh AB sao
3
cho AF 5FB . Tìm tọa độ đỉnh D , biết rằng đỉnh A có tung độ âm.
(Trích đề TTL2, THPT Chuyên Đại Học Vinh, 2016), Đs: D 15 ; 15
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A , có trọng tâm
G . Gọi E,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC ; D là điểm đối xứng của H qua A và
I là giao điểm giữa AB và đường thẳng CD. Biết điểm D 1; 1 , đường thẳng IG có
phương trình 6 x 3 y 7 0 và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC.
(Trích đề thi chọn HSG tỉnh Vĩnh Phúc, 2016), Đs: A 1; 1 , B 1; 5 ,C 5 ; 1
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là
trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D 7 ;2 là điểm nằm trên đoạn MC
sao cho GA GD, phương trình đường thẳng AG : 3x y 13 0. Xác định tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC biết đỉnh A và B có hoành độ nhỏ hơn 4.
(THPT Nguyễn Siêu, Lần 1, 2016), Đs: A 3 ; 4 ,B 3; 2 , C 9 ; 4
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có AB 2 AC và gọi M là
trung điểm cạnh AB. Gọi I 1;8 là tâm đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại
M và C. Biết rằng phương trình đường thẳng BC là x 9 y 5 0 , điểm A nằm trên
đường thẳng d1 : x y 3 0 , trọng tâm G của
ABC thuộc d2 : x y 1 0 . Tìm tọa độ
các điểm A,B,C.
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
13
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
(Thầy Đặng Thành Nam, Vted.vn, Lần 6, 2016) ,Đs: A 1; 2 , B 5; 0 ,C 4 ; 1
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD, có góc BAI 90 o . Đường thẳng qua B , vuông góc với BD cắt
AI tại M. Đường thẳng qua D, vuông góc BD cắt AB tại N. Giả sử phương trình đường
1
thẳng DM là x y 4 0 , NI qua J 5 ; 0 và P ; 3 là trung điểm BI. Tìm tọa độ các
2
đỉnh của hình bình hành ABCD .
Bài toán của tác giả: Thầy Huỳnh Đức Khánh, 2016. Đs:
A 1; 1 , B 3 ; 3 ,C 3; 5 , D 7 ; 3
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A 1; 1 và B.
Điểm M thuộc đoạn AB thỏa mãn BM 2AM và CM vuông góc với DM . Điểm N 1; 4
là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng CD. Tìm tọa độ B,C, D biết B thuộc
đường thẳng d : x y 2 0.
(THPT Chuyên Thái Bình, Lần 1, 2016), Đs: B 2 ; 4 ,C 1; 5 ,D 3; 3
Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , gọi F thuộc cạnh AB sao
13 3
cho 7 BF 5FA với F ; , phương trình đường thẳng EG : 11x 7 y 6 0 . E là
6 2
trung điểm cạnh AD,G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD
biết B có tung độ âm.
Trích đề thi HSG12 THPT Quảng Xương II , Thanh Hóa, 2016 , Đs:
A 1; 5 , B 3; 1 , C 3; 3 , D 5; 3
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C 3;3 , đỉnh A
thuộc đường thẳng x 2 y 2 0 , E là điểm thuộc cạnh BC và F là giao điểm giữa AE và
87
4
7
; là giao điểm giữa ED và BF. Tìm tọa độ B và D biết điểm M ; 0
CD. Gọi I
19 19
3
thuộc AF.
(Sưu tầm Facebook, 2016), Đs: A 2 ; 2 , B 3 ; 2 , D 2 ; 3
Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có
CD 2AB. Gọi H 3 ; 0 là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng AC , M là trung
điểm của đoạn HC. Đường thẳng DM có phương trình 3x 4 y 19 0 và điểm B 2 ; 3 .
Tìm tọa độ các đỉnh A,C, D.
Sở GD&ĐT tỉnh Bạc Liêu, năm 2016, Đs: C 7 ; 2 , D 1; 4 , A 1; 2
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
14
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật OABC với AB 2OA . M là
điểm trên cạnh AB sao cho MB 3MA. Giao điểm của OM và đường chéo AC là
2 14
H ; . Biết tâm I của hình chữ nhật nằm trên đường thẳng x y 0 . Tìm tọa độ các
5 5
đỉnh A, B,C của hình chữ nhật.
(Thi thử Lần 2, Phổ Thông Năng Khiếu, ĐH KHTN Tp.HCM, 2016),Đs:
A 1; 3 , B 5 ; 5 ,C 6 ; 2
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có M là trung điểm CD .
Gọi F là điểm thỏa mãn AD 2 DF . Gọi K là giao điểm giữa AM và CF . Giả sử phương
trình đường thẳng BK : x y 2 0 và điểm D 1; 5 . Tìm tọa độ điểm A .
Sáng tác: Hứa Lâm Phong , Đs: A 5 ; 2 hay A 4 ; 11
Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân đỉnh A, D là trung điểm
cạnh AC. Gọi I 1; 0 , E
1
; 4 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng
3
tâm tam giác ABD. Gọi P( 1; 6), Q( 9; 2) lần lượt thuộc các đường AC, BD. Tìm A, B, C biết
D có hoành độ dương.
(Sưu tầm 2016), Đs: A 1; 5 , B 3 ; 3 , C 5 ; 3 .
Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C 4 ; 3 và
điểm M là một điểm nằm trên cạnh AB . Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của A và C lên
đường thẳng DM . Gọi I 2 ; 3 là giao điểm của CE, BF . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x 2 y 10 0 .
(Sưu tầm Facebook, 2016) Đs: A 8 ; 9 , B 0 ; 5 , D 12 ; 1
AB BC . Điểm
E 2 ; 2 thuộc cạnh AD thỏa DE 2 AE. Trên cạnh DC , lấy hai điểm F 3; 5 và K sao cho
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD
DF CK ( F nằm giữa D và K ). Đường thẳng vuông góc với EK tại K cắt BC tại M.
Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C, D của hình chữ nhật biết i M thuộc đường thẳng
3x y 2 0 và đường thẳng BC đi qua J 4 ; 4 .
(Thi thử lần 3, Moon.vn, 2016), Đs: A 1; 1 , B 3 ; 5 ,C 0 ; 8 , D 4 ; 4
Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất trong kì thi sắp tới !
Gmail:
[email protected]
Facebook: http://facebook.com/lamphong.windy
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
15
KÍNH LÚP TABLE SỐ 26
THẦY LÂM PHONG
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)
16