Lời giải đề toán lần 2 câu lạc bộ yêu toán lý
Fanpage : www.facebook.com/clubyeuvatli
Group : www.facebook.com/groups/club.yeu.vl
Thời gian: 180 Phút
2x 1
.
x 1
b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y e x (x 2 x 1) trên [0; 2] .
Câu 1: a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y
Câu 2: Giải phương trình: log 3 (x 1) 2 log 3 (2x 1) 2
Câu 3: Tìm các số thực x, y thoả mãn: x(3 5i) y(1 2i)3 9 14i .
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 4x , trục hoành, đường thẳng x 2
và x 4 .
x 3 y2 z 6
và mặt phẳng
2
4
1
đi qua A, cắt (d), (P) lần
Câu 5: Trong không gian cho điểm A(-1;2;0) và đường thẳng: (d) :
(P) : 2x y z 3 0 .
Viết
phương
trình
đường
thẳng
lượt tại B, C sao cho: AC 2AB 0 .
3
, xy
. Tính giá trị biểu thức: A (1 tan x)(1 tan y) .
4
4
b, Cho một đa giác đều gồm 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ra một tam giác bất kì lập thành từ 20 đỉnh
trên. Tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác vuông.
Câu 6: a, Cho: 0 x
Câu 7: Cho hình chóp S.ABHC có ABC là tam giác vuông tại A, SH (ABC) , AB = AC = a,
SBA SCA 900 , góc giữa cạnh bên SA với mặt phẳng đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC, SA.
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm E . Một đường thẳng qua A cắt cạnh
BC tại điểm M và cắt đường thẳng CD tại điểm N . Gọi K là giao điểm giữa EM và BN . Xác định tọa
độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng tọa độ đỉnh C 14; 2 , phương trình đường thẳng EK : x – y –
4 = 0 và điểm B thuộc đường thẳng d: 2x – y – 10 = 0 có hoành độ bé hơn hoành độ của điểm K .
Câu 9: Giải bất phương trình:
x3 1
2x 4 x 3 1
x2 x 4
4x 3 2
2x 1
Câu 10: Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1
1 1 1
20
2 2 2
P= 2
2
2
a b c a
b c a b c
————HẾT————
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Câu 1:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị
+) Tập xác định: D \ 1 .
lim y , lim y
x 1
+) Giới hạn và tiệm cận: x 1
.
lim y lim y 2
x
x
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và một tiệm cận ngang là đường
thẳng y = −2.
+) Sự biến thiên:
1
0; x D .
Chiều biến thiên: y '
(1 x) 2
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (1; ) .
Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị.
Bảng biến thiên
x
1
y’
+
+
y
2
2
+) Đồ thị (C)
-
1
Giao điểm với trục hoành là ; 0 , giao điểm với trục tung là 0; 1 .
2
-
Nhận điểm 1; 2 làm tâm đối xứng.
-
Nêu thêm đi qua các điểm nào đó trên đồ thị cho dễ vẽ.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
Ta có: y ' e x (x 2 x 2) , nên:
x 1 [0; 2]
y ' 0 e x (x 2 x 2) 0
.
x 2 [0; 2]
Đến đây có thể vẽ bảng biến thiên hoặc làm như sau:
Ta tính: y(0) 1, y(1) e, y(2) e 2 .
Từ đó suy ra:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là: e 2 , đạt được khi x = 2.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là: e , đạt được khi x = 1.
Câu 2:
log 3 (x 1) 2 log 3 (2x 1) 2
x 1
ĐK:
1 (*)
x 2
Với (*), ta có:
log 3 (x 1) 2 log 3 (2x 1) 2
log 3 x 1 log 3 (2x 1) 1
log 3 x 1 (2x 1) 1
x 1
x 1
x 1
2
(x 1)(2x 1) 3
x2
2x 3x 2 0
x 1 (2x 1) 3
x2
x 1
x 1
x 1
2x 2 3x 2 0
2
(1 x)(2x 1) 3
Câu 3:
Đối chiếu với điều kiện (*), ta có: Tập nghiệm của phương trình đã cho là: S {2} .
Nhận xét: Bài toán này là một bài toán liên quan đến số phức, nhưng yêu cầu đi tìm các giá trị thực
x, y. Ta xem x, y đóng vai trò như một hệ số thực (giống như số 3, số 5 trong biểu thức: 3 5i ). Và
từ đó sẽ thực hiện việc biến đổi để đưa về một đẳng thức có dạng:
A + Bi = 0 (tức là ta tách riêng ra phần thực thì cho vào A, phần ảo cho vào B).
Cụ thể ta có:
x(3 5i) y(1 2i)3 9 14i (3x 5xi) (y 6iy 12i 2 y 8yi 3 ) 9 14i
(3x 11y 9) (5 x 2 y 14) i 0 0 0i (do : i 2 1)
phaàn thöïc
phaàn aûo
172
x
3x 11y 9 0
61
(do : x, y )
5x 2y 14 0
3
y
61
172 3
; là cặp số thực cần tìm.
Kết luận: (x; y)
61 61
Câu 4:
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 3 4x , trục hoành y 0 , đường thẳng
4
x 2 và x 4 . Khi đó S
x
3
4x dx .
2
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y đã cho với trục hoành:
x 0
x 3 4x 0
.
x 2
Ta có bảng xét dấu:
x
0
2
2
3
0
+
0
0
+
x 4x
0
Suy ra S
2
2
0
S
x
2
3
4
4
x 3 4x dx x 3 4x dx x 3 4x dx .
0
2
2
4
4x dx x 3 4x dx x 3 4x dx .
0
0
2
2
4
x4
x 4
x4
S 2x 2
2x 2 2x 2 44 .
4
2 4
0 4
2
Vậy diện tích hình phẳng thỏa yêu cầu bài toán là S = 44 (dvdt).
Câu 5:
x 2t 3
Phương trình tham số của (d) là: y 4t 2 (t )
z t 6
Vì B (d) nên có thể giả sử: B(2t 3; 4t 2; t 6) .
Suy ra: AB (2t 4; 4t; t 6) .
Ta có: AC 2AB 0 AC 2AB (4t 8; 8t; 2t 12)
Từ đây cho ta: C(4 t 9; 8 t 2; 2 t 12) .
Lại có: C (P) nên: 2(4 t 9) 1(8t 2) 1(2t 12) 3 0 t
5
.
2
17
5
cho ta: AB 9;10; .
2
2
Đường thẳng (d) cần tìm đi qua A, nhận AB làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:
x 1 y 2 z
(d) :
17
9
10
2
Với t
Câu 6:
1)
3
3
x y . Do đó:
4
4
3
tany tan
3
4 tan y 1 .
tan x tan y
4 1 tany.tan 3 1 tan y
4
tan y 1
2
(1 tan y) 2 .
Suy ra: A (1 tan x)(1 tan y) 1
1 tany
1 tan y
1 tan y
2)
■ Nhận xét và phân tích:
* Ta có thể thử xét các trường hợp của các đa giác đều (có số cạnh từ 4, 5, 6 để dấu hiệu và quy luật
chung). Cụ thể ta có hình vẽ sau:
Ta có: x y
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ta nhận thấy chỉ những đa giác đều có n chẵn số đỉnh thì đường chéo nối 2 đỉnh đối diện
mới đi qua tâm và các điểm còn lại nhìn đường chéo ấy dưới 1 góc vuông (hình 1 và hình 3).
+ Ở hình 1, ta thấy nếu xét AC là đường chéo thì có 2 điểm B và D nhìn AC dưới 1 góc
vuông, tương tự với BD nên ta có 4 tam giác vuông.
+ Ở hình 3, ta thấy có tổng cộng 3 đường chéo. Mỗi 1 đường chéo thì có 4 đỉnh còn lại nhìn
đường chéo đó dưới 1 góc vuông nên có tổng cộng 12 tam giác vuông hình thành.
* Trở lại bài toán, như vậy để tính xác suất thỏa yêu cầu đề bài, ta cần xác định 2 yếu tố sau:
+ Yếu tố thứ nhất: xác định không gian mẫu của biến cố Ở đây chính là việc chọn ngẫu
nhiên 3 đỉnh bất kỳ từ 20 đỉnh của đa giác đều trên. (do không sắp thứ tự nên ta có tổ hợp chập 3
của 20 phần tử).
+ Yếu tố thứ hai: để 3 đỉnh ấy lập thành 1 tam giác vuông ta chia bài toán thành 2 giai
GĐ1
GĐ2
đoạn “xác định số đường chéo “ chọn các đỉnh còn lại (sau khi đã chọn 2 đỉnh làm
đường chéo) nhìn đường kính tạo góc vuông.
Mời bạn đọc xem lời giải.
Hướng dẫn giải:
Gọi M là số tam giác 3 đỉnh là 3 trong 20 đỉnh của đa giác đều đã cho.
Ta có M C3 1140 (tam giác)
20
Gọi N là số tam giác vuông có trong 1140 tam giác nói trên. Ta tìm N = ?
Ta chọn 2 đỉnh đối diện lập thành 1 đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do có
20 đỉnh nên sẽ có 10 đường chéo: Do vậy ta có 10 cách chọn đường chéo.
Ta chọn thêm đỉnh thứ ba trong 18 đỉnh còn lại. Do đó có 18 cách chọn đỉnh.
Theo quy tắc nhân, ta có N 10.18 180 tam giác vuông.
Vậy xác suất cần tính là P
N 180
3
P 0,157 .
M 1140
19
Câu 7:
Ta có: góc giữa SA và (ABC) là SAH 600
AB SB
AB HB
Lại có:
AB SH
Tương tự: AC HC .
Kết hợp với giả thiết tam giác ABC vuông và AB = AC
(= a).
SH HA.tan 600 a 6
1
1
1
a3 6
VS.ABC SH.SABC SH. AB.AC
3
3
2
6
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
cho ta: ABHC là hình vuông cạnh a.
Gọi O HA BC . Dựng OI SA tại I (1)
BC SA
BC SAH BC OI tại O (2)
BC AH
Từ (1) và (2) d SA, BC OI OA.sin 60 0
a 6
.
4
Câu 8:
■ Nhận xét và phân tích: Khi dựng hình xong, ta phát
hiện khi M di động trên cạnh BC thì CK luôn vuông góc
BN và đặc biệt EK luôn là đường phân giác trong của
tam giác BCK. Do đó ta đưa đến việc chứng minh
BK CK hay BKC 900 .
Một trong những cách để chứng minh BK CK chính
là chứng minh điểm K nhìn BC dưới một góc vuông (phát
hiện E cũng nhìn BC dưới một góc vuông) Ta sẽ
chứng minh EBKC là tứ giác nội tiếp.
Để chứng minh một tứ giác là nội tiếp ta có 3 hướng
chứng minh quen thuộc là:
+ Chứng minh tổng hai góc đối bằng 180 0 .
+ Chứng minh hai góc liên tiếp cùng chẳng một
cung bằng nhau.
+ Chứng minh góc ngoài bằng góc đối trong.
Ở đây ta chọn theo cách thứ 2 và ta sẽ chứng minh EKB ECB 450 . Lại có
BDN ECB 450 (do tính chất hình vuông) nên ta chuyển sang việc chứng minh
EKB BDN 450 hay DEKN là tứ giác nội tiếp c / m: BEK BND .
Đến đây, trên tia đối của tia CB, ta dựng điểm F sao cho CF = CN. Mục đích là để
BEK BND DFB BEK BEM BFD
BE BM
BM.BF BE.BD
BF BD
Ta lại có: BE.BD BC2 c / m : BM.BF BC 2 mà do AB // CN nên ta luôn có:
MB AB
MB BC
MB MC MB MC BC
BM.BF BC2 .
MC CN
MC CF
BC CF
BC CF
BF
Đến đây thì việc chứng minh xem như hoàn tất, câu hỏi đặt ra là ta sẽ làm gì tiếp với các kết quả
vừa chứng minh được ?
B1
Gọi H là hình chiếu của C lên EK và C’ là điểm đối xứng của C qua EK (C’ thuộc BN).
(việc xác định tọa độ H và C’ xin dành cho bạn đọc).
B2
Tìm tọa độ K là giao điểm giữa đường tròn (H; HC) và đường thẳng EK.
B3
Tìm tọa độ B là giao điểm giữa đường thẳng KC’ và d.
B4
Để tìm tọa độ điểm A và D ta chỉ cần xác định tọa độ tâm E. (có rất nhiều hướng giải cho
bước làm này, nên tác giả xin dành cho bạn đọc).
Hướng dẫn giải:
* Trước tiên ta chứng minh CK BK hay EK là đường phân giác của BKC (việc chứng minh
này xin dành cho bạn đọc, do tác giả đã phân tích khá kỹ ở phần nhận xét trên).
* Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên EK và C’ là điểm đối xứng của C qua EK, theo tính chất
của đường phân giác ta có C’ thuộc BN.
Ta có: HC EK HC : x y m 0 . HC qua C 14; 2 m 16
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x y 16 0
x 10
H 10;6 C ' 6;10
Khi đó tọa độ H thỏa hệ:
y 6
xy4 0
Khi đó K là giao điểm giữa đường tròn (H; HC) và đường EK nên K thỏa hệ:
x 10 2 y 6 2 32
x 14
x 6 K 14;10
hay
xy40
y 10
y 2 K 6; 2
2x y 10 0 x 10 x K
B 10;10 tm
Với K 14;10 , khi đó ta có B d BC' nên
y 10 0
y 10
2x y 10 0
B 6; 2 K (loại).
Với K 6; 2 ,tương tự ta có:
x 6 0
BC
Ta có E; K I;
EK (với I là trung điểm BC) nên ta có tọa độ E và K thỏa hệ:
2
x 12 2 y 6 2 20
x 14; y 10
E 8; 4 do K 14;10
xy4 0
x 8; y 4
Do E là tâm hình vuông nên ta có E là trung điểm BD và AC suy ra A 2;6 &D 6; 2 .
■ Bình luận: rõ ràng việc chứng minh bằng cách “thuần túy hình học” không hề đơn giản một
chút nào, việc gọi được điểm phụ F cũng đã là một vấn đề không đơn giản với người làm. Ở đây,
tác giả tiếp nối các câu trước đó về ứng dụng phương pháp tọa độ để chứng minh các kết quả của
hình học phẳng như sau:
Dựng hệ trục Cxy như hình vẽ và đặt
BM 1, CM a 0 .
Theo định lý Thales thuận ta có AB / /CN , do đó:
AB BM 1
CN a a 1 .
CN CN a
Ta có tọa độ các điểm như sau:
C 0;0 , B 0;a 1 ,
2
.
N a a;0 , M 0;a ,
D a 1;0 , E a 1 ; a 1
2
2
Ta có phương trình đường thẳng BN chắn hai trục tọa độ nên có dạng:
x
y
BN :
1 x ay a a 1
a a 1 a 1
1
Đường thẳng EM qua M 0;a và nhận ME a 1;a 1 có dạng:
2
x 0 ya
EM :
a 1 x a 1 y a a 1 0
a 1 a 1
x ay a a 1
Ta lại có K EM BN
a 1 x a 1 y a a 1
a 2 a
x 2
a 2 a
a 3 a 2
a 2a 1
K 2
; 2
3
2
a 2a 1 a 2a 1
y a a
a 2 2a 1
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
a 2 a
a 3 a 2
; 2
Ta có: CK 2
& u BN a; 1
a 2a 1 a 2a 1
a 3 a 2
a 3 a 2
Xét: CK.u BN 2
2
0 CK BN .
a 2a 1 a 2a 1
Câu 9:
ĐK: x
3
4
x3 1
2x x 1
4
Ta có:
3
1
x(x 1)
(x 1) x 4 4x 3 0
2x 1
x 3 (x 1) 2
2x 4 x 3 1(x 3 1 2x 4 x 3 1)
(x 1) 2 (
(x 1)(x 1) 2
(x 1) 2 (x 2 2x 3)
0
2x 1(x 2x 1)
x 4 4x 3
x3
2x 4 x 3 1(x 3 1 2x 4 x 3 1)
(x 1)
(x 2 2x 3)
)0
2x 1(x 2x 1) x 4 4x 3
(x 1) 2 0 x 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S={1}.
Câu 10:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta chứng minh được :
1 1 1
1
1 1
2 2
2
a
b c
ab bc ca
Từ đó ,ta có :
1
1
1 1
20
P 2
2
2
a b c ab bc ca a b c
1
1
1
1
2
2
2
20
2
2
2
a b c 3ab 3bc ca 3ab 3bc ca a b c
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức BCS, ta có :
1
1
1
1
16
16
2
2
2
2
2
2
2
a b c 3ab 3bc 3ca a b c 3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca
a b c
Lưu ý rằng : ab bc ca
2
16
a b c
2
ab bc ca
Ta tiếp tục sử dụng bất đẳng thức BCS và bất đẳng thức phụ trên :
2
2
2
18
18
3ab 3bc 3ca 3 ab bc ca a b c 2
Từ 2 bất đẳng thức trên, ta có :
30
20
P
2
a b c a b c
3
12
a b c
2
30 20
t2
t
60 20 20t 60
f ' t 3 2
t
t
t3
f' 0 t 3
Xét hàm số : f t
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015
Fanpage: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bảng biến thiên :
t
f (t)
'
3
0
f t
10
3
10
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
10
Kết luận: P đạt GTNN bằng
tại a = b = c =1 .
3
Vậy P
---------- Hết --------Thi thử lần 2 – Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý !!!
Lịch Thi Thử:
20h – Ngày 15/11/2015 – Thi Thử Toán
20h – Ngày 16/11/2015 – Thi Thử Lý
20h – Ngày 17/11/2015 – Thi Thử Hóa
Group CLUB Yêu Toán: https://www.facebook.com/groups/yeutoanphothong
Nhà tài trợ giải thưởng
– Giải nhất là một gói câu hỏi luyện thi đại học trên www.lize.vn
Lời giải chi tiết sẽ chỉ được gửi cho người tham gia thi thử trực tiếp và gửi bài làm về club!
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Tổ Toán: Trần Tuấn Minh, Nguyễn Minh Thành, Tuấn Thành
15/11/2015