Mạch lọc tương tự (analog filter)
MẠCH LỌC TƯƠNG TỰ (ANALOG FILTER)
1. Giới thiệu:
1.1. Định nghĩa:
Mạch lọc tần số - một loại mạch chọn lọc tần số đặc biệt, là một bộ phận rất quan trọng trong kỹ
thuật mạch điện tử. Một cách định tính, có thể định nghĩa mạch lọc tần số là những mạch cho
những dao động có tần số nằm trong một hay một số khoảng nhất định đi qua và chặn các dao
động có tần số nằm trong những khoảng còn lại.
Về mặt kết cấu có thể định nghĩa, mạch lọc tần số là một bốn cực có suy giảm đặc tính a(ω) = 0
trên một, hay một số khoảng nhất định của thang tần số gọi là dải thông của mạch (cho đi qua) và
a(ω) = ∞ trong những khoảng còn lại gọi là dải chắn (bị chặn lại).
Các định nghĩa trên rõ ràng, là để xác định một mạch lọc tần số lý tưởng. Đối với các mạch chọn
lọc tần số thực tế, sẽ tùy từng trường hợp cụ thể, ta sẽ quy định các giới hạn thích hợp cho dải
thông và dải chắn.
1.2. Phân loại:
1.2.1. Theo cấu tạo: gồm 2 loại mạch chính sau đây
a. Mạch lọc thụ động (passive filter): mạch lọc chỉ gồm các linh kiện thụ động như điện trở R,
cuộn cảm L, tụ điện C. Thông thường có 3 loại mạch lọc chính:
- Mạch lọc RC.
- Mạch lọc LC.
- Mạch lọc RLC.
Mạch RC thường được dùng nhiều vì linh kiện rẻ và chiếm ít diện tích. Còn mạch lọc RLC ít
thông dụng vì có điện cảm L khó tiêu chuẩn hóa, dễ gây ra hiện tượng hỗ cảm và có giá trị rất lớn
khi làm việc lọc tần số thấp, làm cho chi phí đắt, lại cồng kềnh.
Nhìn chung, mạch lọc thụ động thường được ứng dụng cho việc chọn lọc tần số cao (cỡ > 100
KHz) do hạn chế các giá trị của linh kiện. Mặc dù mạch đơn giản và dễ lắp, song nhược điểm của
những mạch lọc này là phẩm chất mạch thấp, làm suy giảm năng lượng qua nó mà không có khả
năng khuếch đại, khó phối hợp tổng trở khi lắp vào các mạch chức năng khác. Để bổ túc các
nhược điểm trên, người ta thêm vào đó các phần tử khuếch đại như transistor, vi mạch… để có
thể khuếch đại tín hiệu, phối hợp tổng trở, điều chỉnh độ suy giảm.
b. Mạch lọc tích cực (active filter): được xây dựng từ các phần tử R,C với các bộ khuếch đại thuật
toán, các mạch lọc tích cực làm việc tốt ở tần số thấp (< 100 KHz) và có rất nhiều ưu điểm so với
mạch lọc thụ động mà ta đã xét ở trên như độ phẩm chất cao, hoạt động ổn định, và rất dễ thực
hiện, do đó giá thành cũng hạ. Tuy nhiên, khi tần số tăng lên, thì bộ khuếch đại gây ra nhiều
phiền toái làm giảm hệ số khuếch đại và gây lệch pha giữa tín hiệu vào và ra, làm thay đổi đặc
trưng của mạch lọc. Ngoài ra, nếu biên độ của tín hiệu vào lớn thì khuếch đại thuật toán gây ra
hiện tượng bão hòa; trong khi biên độ quá nhỏ thì lại gây ồn.
Tóm lại mỗi loại mạch lọc chỉ ưu việt trong một dải tần, trong một phạm vi nào đấy mà thôi. Do
đó, tùy thuộc vào mục tiêu sử dụng mà lựa chọn cho phù hợp.
1.2.2. Theo chức năng: dựa vào việc mạch lọc chọn lựa những dải tần số nào hoạt động, ta chia ra
làm 4 mạch lọc chính sau
- Mạch lọc thông thấp (low-pass filter)
- Mạch lọc thông cao (high-pass filter)
- Mạch lọc thông dải (band-pass filter)
- Mạch lọc chắn dải (band-reject filter)
Chi tiết của các mạch lọc trên sẽ được đề cập trong phần sau.
1.3. Ứng dụng của mạch lọc.
Mạch lọc có rất nhiều ứng dụng trong thực tế:
-Mạch lọc có thể ứng dụng trong nguồn ATX để loại bỏ các nhiễu cao tần bám theo đường điện
AC 220V.
- Trong các mạch chọn lọc tần số như: đài FM, AM, ….
2. Lý thuyết về mạch lọc:
2.1. Khái niệm các mạch: ta sẽ xét cụ thể từng mạch một.
2.1.1 Mạch lọc thông thấp:
a. Định nghĩa: Mạch lọc này cho phép các dao động có tần số nhỏ hơn tần số cắt f c đi qua (f < fc),
những tín hiệu có tần số lớn hơn đều bị mạch hấp thụ năng lượng và đầu ra tín hiệu sẽ nhỏ hơn,
khi tần số f càng lớn, tín hiệu sẽ càng bé và tiến dần tới 0. Có thể hiểu ngắn gọn dưới đồ thị quan
U ra đỉnh
hệ giữa hệ số điện áp K f
với tần số làm việc f của mạch như sau:
U v đỉnh
b. Các thông số của mạch:
- Hàm truyền đạt (đáp ứng tần số của mạch): biểu thị mối quan hệ giữa điện áp đầu ra với điện áp
đặt vào đầu mạch. Thông thường tín hiệu đầu vào có chu kỳ dạng sin, cho nên để biểu diễn được
rõ ràng, hàm truyền đạt được viết sau khi mạch đã được biến đổi sang miền tần số phức s (thông
qua biến đổi Laplace).
U
K s ra
Uv
Hàm truyền đạt mạch lọc thông thấp bậc 1:
K .ω
Ko
s
K s o c đặt p K p
s ωc
ωc
1 p (hàm truyền đạt chuẩn hóa)
→
Hàm truyền đạt mạch lọc thông thấp bậc 2:
K o . ω2c
Ko
s
K s 2
đặt p K p
2
ωc
s a . ωc . s ωc
1 a . p p2
(hàm truyền đạt chuẩn hóa)
→
Trong đó: Ko – hệ số của mạch (với mạch lọc tích cực, đây là hệ số khuếch đại)
ωc – tần số cắt
a – hệ số đặc trưng của mạch (phụ thuộc vào phẩm chất của mạch)
- Biểu diễn hàm truyền đạt trên đồ thị Bode:
Hàm truyền đạt mạch lọc thông thấp bậc 1:
Biến đổi từ miền tần số phức s sang miền tần số ω
K .ω
K .ω
Ko
K s o c đặt s jω K jω o c
K jω . e j . arg K jω
s ωc
jω ω c
ω
→
1 j.
ωc
Ko
K jω
đặc tuyến tần số biên độ
2
–
[không có thứ nguyên]
độ lợi biên độ
ω
độ dốc của biên độ
1
ωc
√
A jω 20. log K jω
20. log
√
Ko
1
Tại tần số cắt ωc
√
√
2
Khi ω < ωc, thì
Khi ω > ωc, thì
1
1
ω
ωc
ω
ωc
ω
ωc
–
đặc tuyến tần số biên độ
độ lợi biên độ
độ dốc của biên độ
,
→1
K jω
→ max
, tín hiệu đi qua
2
→∞
,
K jω
→ 0 , tín hiệu ở đầu ra sẽ rất bé, biên độ dần
tới 0.
Hàm truyền đạt mạch lọc thông thấp bậc 2:
2
2
K o . ωc
K o .ω c
K s 2
đặt
s
jω
K
jω
2
2
2
→
s a . ωc . s ωc
−ω ωc j . a .ω c . ω
Ko
1−
K jω
√
Ko
1 a 2−2
[dB]
Ko
biên độ bị giảm đi √ 2 lần, hay năng lượng tín
√2
A j ω c 20. log K o −3 biên độ giảm đi 3 dB – độ dốc 3 dB).
→ K j ωc
hiệu bị giảm đi một nửa (hay
2
ω
ωc
ω
ωc
2
j .a.
ω
ωc
2
4
ω
ωc
Đặt a 2. ξ 0 ≤ ξ ≤ 1 (sau này sẽ biết nó là gì)
Nhần xét: Hệ số đặc trưng của mạch a ảnh hưởng rất lớn tới đồ thị đặc tuyến biên độ, nhưng vẫn
đảm bảo tính chất lọc chỉ cho tín hiệu ω < ω c đi qua, còn lại các tín hiệu ω > ω c đều cho ra tín
hiệu rất bé và tiến về 0 khi tần số càng tăng.
2.1.2. Mạch lọc thông cao:
a. Định nghĩa: Ngược lại với mạch lọc thông thấp, mạch lọc này chỉ cho phép các dao động có
tần số lớn hơn tần số cắt f c đi qua (f > fc), những tín hiệu có tần số nhỏ hơn đều bị mạch hấp thụ
năng lượng và đầu ra tín hiệu sẽ nhỏ hơn, khi tần số f càng nhỏ, tín hiệu sẽ càng bé và tiến dần tới
0.
b. Các thông số của mạch:
- Hàm truyền đạt (đáp ứng tần số của mạch):
Hàm truyền đạt mạch lọc thông cao bậc 1:
K∞.s
K∞
s
đặt p K p
s ωc
ωc
1 (hàm truyền đạt chuẩn hóa)
1
→
p
Hàm truyền đạt mạch lọc thông cao bậc 2:
2
K∞.s
K∞
s
K s 2
đặt p K p
2
2
(hàm truyền đạt chuẩn hóa)
ωc
s a . ωc . s ωc
1
1
1
a
.
→
p
p
Trong đó: K∞ – hệ số của mạch (với mạch lọc tích cực, đây là hệ số khuếch đại)
ωc – tần số cắt
a – hệ số đặc trưng của mạch (phụ thuộc vào phẩm chất của mạch)
K s
- Biểu diễn hàm truyền đạt trên đồ thị Bode:
Hàm truyền đạt mạch lọc thông cao bậc 1:
Biến đổi từ miền tần số phức s sang miền tần số ω
K .s
K . jω
K∞
K s ∞ đặt s jω K jω ∞
K jω
s ωc
jω ωc
ωc
→
1 j .
ω
Đặc tuyến tần số biên độ:
K∞
K jω
√
1
[không có thứ nguyên]
ωc
ω
20. log
K∞
√
1
√
√
Khi ω < ωc, thì
1
ω
ωc
ω
ωc
ωc
ω
2
1
2
[dB]
K∞
, biên độ bị giảm đi √ 2 lần, hay năng lượng tín
√2
A j ω c 20. log K o −3 biên độ giảm đi 3 dB – độ dốc 3 dB).
→ K j ωc
hiệu bị giảm đi một nửa (hay
Khi ω > ωc, thì
→1
,
K jω
→ max
, tín hiệu đi qua
2
→∞
,
K jω
→ 0 , tín hiệu ở đầu ra sẽ rất bé, biên độ dần
tới 0.
Hàm truyền đạt mạch lọc thông thấp bậc 2:
2
2
K∞.s
K ∞ . −ω
K s 2
đặt
s
jω
K
jω
→
s a . ω c . s ω 2c
−ω2 ω2c j . a .ω c . ω
j .arg K jω
2
A jω 20. log K jω
Tại tần số cắt ωc
.e
K∞
2
1−
ωc
ω
− j.a.
ωc
ω
K jω
√
Ko
1 a 2−2
ωc
ω
2
4
ωc
ω
Đặt a 2. ξ 0 ≤ ξ ≤ 1
Nhần xét: Hệ số đặc trưng của mạch a cũng ảnh hưởng rất lớn tới đồ thị đặc tuyến biên độ tương
tự đối với mạch lọc thông cao và vẫn đảm bảo tính chất lọc chỉ cho tín hiệu ω > ω c đi qua, còn lại
các tín hiệu ω < ωc đều cho ra tín hiệu rất bé và tiến về 0 khi tần số càng tăng.
Chú ý:
- Đồ thị Bode của hai mạch lọc thông thấp và thông cao đối xứng nhau qua trục ω = ω c khi cùng
các hệ số K, a.
Ko
1
- Hàm truyền đạt chuẩn hóa của mạch lọc thông thấp K p
, thay p →
ta có
p
1 p
Ko
Kp
1 là hàm truyền đạt chuẩn hóa của mạch lọc thông cao. Ta có thể suy ra:
1
p
1
K
K p lọc thông thấp →
lọc thông cao
p
→ Trong thiết kế mạch lọc, từ các thông số mạch đã cho người ta có thể thiết lập ra hàm truyền
đạt của lọc thông thấp, để từ đó suy ra hàm truyền đạt của các loại mạch lọc chức năng khác. Ở
1
đây ví dụ là thông cao, người ta từ K(p) lọc thông thấp, dùng phép biến đổi p →
người ta
p
suy ra đáp ứng tần số lọc thông cao.
2.1.3. Mạch lọc thông dải:
a. Định nghĩa: mạch chọn lọc tần số trong một khoảng (dải thông) để tín hiệu trong dải tần số đó
đi qua, với những tín hiệu ngoài khoảng dải thông đó, tín hiệu đi ra sẽ bị giảm biên độ và tiến dần
về không khi tần số tín hiệu càng đi xa dải thông.
Có
hai
loại
mạch
lọc
thông
dải
chủ
yếu:
Mạch lọc băng thông rộng wide bandwidth filter
Mạch lọc băng thông hẹp narrow bandwidth filter
Mạch lọc băng thông rộng: vùng dải thông của mạch tương đối rộng, tại các giá trị tần số trong
đó, hệ số điện áp đỉnh – đỉnh của tín hiệu vào – ra gần như không đổi, tạo thành 1 đoạn thẳng từ
tần số cắt dưới fc1 đến tần số cắt trên fc2. Với các tần số còn lại hệ số điện áp giảm nhanh.
Mạch lọc băng thông hẹp: vùng dải thông của mạch rất bé, cỡ chỉ từ 3 – 10 Hz, do vậy hai tần số
cắt rất gần nhau. Trong khoảng dải thông có một tần số trung tâm f c (fc1 < fc < fc2) mà hệ số điện
áp tại đó là lớn nhất, cho nên mạch có tính chọn lọc tần số rất cao, được ứng dụng trong việc
chống nhiễu khi thu các tín hiệu có nhiều tạp nhiễu hay trong dò tinh chỉnh tín hiệu.
b. Các thông số của mạch:
- Hàm truyền đạt (đáp ứng tần số của mạch):
b . ωc . s
s
b. p
K s 2
đặt p K p
2
ωc
s a . ωc . s ωc
1 a . p p2
→
Trong đó:
B – dải thông của mạch
B f c1− f c 2 2 π . ω c 1−ω c 2
(hàm truyền đạt chuẩn hóa)
ωc – tần số trung tâm ω c √ ω c1 . ωc 2
ωc1, ωc2 – tần số cắt dưới và tần số cắt trên
a, b – hệ số đặc trưng của mạch (phụ thuộc vào phẩm chất của mạch)
- Biểu diễn hàm truyền đạt trên đồ thị Bode:
b . ωc . s
b . ω c . jω
K s 2
đặt s jω K jω
2
2
→
s a . ωc . s ωc
−ω ω2c j . a .ω c . ω
Đặc tuyến tần số biên độ:
b
K jω
√
a2
ωc ω
−
ω ωc
A jω 20. log K jω
2
20. log
2
a− j .
b
ωc ω
−
ω ωc
và
√
b
2
a
ωc ω
−
ω ωc
2
[dB]
b
K jω
↔ ωω c .
ωc ω
, dấu bằng xảy ra khi ω ωc , suy ra
a
−
≥0
max
ω ωc
Như vậy tại tần số trung tâm ωc thì tín hiệu đi ra có biên độ suy giảm ít nhất.
Với các giá trị ω ≠ ωc , tín hiệu đầu ra bắt đầu giảm so với ở tần số trung tâm cho tới tần số cắt
dưới ωc1 và tần số cắt trên ω c2 thì biên độ tín hiệu giảm √ 2 lần so với tại ω c (giảm đi 3 dB).
Khi đó người ta lấy khoảng tần số giữa ω c1 và ωc2 là dải thông – năng lượng tín hiệu làm việc ở
tần số đó có đầu ra không bị suy giảm quá nhiều.
Chú ý: Xét hàm truyền đạt
b
.ω
2
2
b . ωc . s
a c
s ωc
K s 2
, đặt
s ' ta có:
2
2
2
s a . ω c . s ω c s ωc
a. s
ωc
a.s
b
.ω
K .ω
a c
K s'
↔ K s o c của mạch lọc thông thấp bậc 1.
s ' ωc
s ωc
Tương tự với hàm truyền đạt chuẩn hóa
b
2
b
b. p
p 1
a
'
'
Ko
→
Kp
đặt p
K p
2
a
a
.
p
1
p
'
1a. p p
Do
→
Như vậy ta có mối quan hệ biến đổi từ mạch lọc thông thấp sang mạch lọc thông dải trong thiết
kế.
2.1.4. Mạch lọc chặn dải:
a. Định nghĩa: mạch không cho tín hiệu ra tại khoảng tần số của nó (dải chắn), còn lại các tần số
khác đều cho đi qua. Tương tự mạch lọc thông dải, cũng có 2 loại mạch lọc chặn dải phổ biến.
b. Các thông số cơ bản:
- Hàm truyền đạt
b . s 2 ω2c
b p 2 1
s
K s 2
đặt p K p
ωc
s a . ω c . s ω 2c
1 a . p p2
(hàm truyền đạt chuẩn hóa)
→
Trong đó:
B – dải chắn của mạch B f c1− f c 2 2 π . ω c 1−ω c 2
ωc – tần số trung tâm ω c √ ω c1 . ωc 2
ωc1, ωc2 – tần số cắt dưới và tần số cắt trên
a, b – hệ số đặc trưng của mạch (phụ thuộc vào phẩm chất của mạch)
- Biểu diễn hàm truyền đạt trên đồ thị Bode:
b . s 2 ω2c
b −ω 2 ω2c
K s 2
đặt s jω K jω
→
s a . ω c . s ω 2c
−ω2 ω2c j . a .ω c . ω
1 j .a .
→ K jω
b
1
ωc ω
−
ω ωc
K jω
b
√
√
Đặc tuyến tần số biên độ:
1
a2
2
và
ωc ω
−
ω ωc
A jω 20. log K jω
20. log
b
1
a2
2
[dB]
ωc ω
−
ω ωc
Khi ω → 0
Khi ω = ωc
ωc ω
−
ω ωc
ωc ω
−
ω ωc
2
→∞
K jω
K jω
→ b K jω
2
0
→0
max
1 j .
b
a . ωc . ω
ω 2c −ω2
2
K jω → b K jω
ωc ω
max
−
→∞
ω ωc
Qua đồ thị ta thấy với hàm truyền đạt này mạch có tính chọn lọc tần số cần chặn rất tinh, điều đó
có vai trò quan trọng trong mạch lọc băng chặn hẹp. Tuy nhiên, nó lại không cần thiết trong thực
tế.
b . s 2 ω2c
b
K s 2
s 2 ω2c
2
Chú ý: Xét đáp ứng tần số
đặt
s ' ta
s a . ω c . s ω c 1 ω a . s
a. s
c 2
2
s ωc
có:
K .s
b
b . s'
K s'
'
↔Ks ∞
1
s ωc của mạch lọc thông cao bậc 1.
1 ωc . ' s ω c
s
Tương tự với hàm truyền đạt chuẩn hóa
2
b. p 1
p2 1
b . p'
b
'
'
Kp
đặt
p
K
p
2
'
→ b K ∞
a.p
1a. p p
1 p 1 1
→
'
p
Như vậy ta có mối quan hệ biến đổi từ mạch lọc thông cao sang mạch lọc chặn dải trong thiết kế.
Khi ω → ∞
2.2. Điều kiện của hàm truyền đạt cho phép xây dựng mạch: ở đây chúng ta xét cho các hàm
truyền đạt chuẩn hóa H(p)
2.2.1. Điều kiện tổng quát của mạch hai cực
● Hàm truyền đạt dưới dạng tỉ số hai biểu thức:
m
2
m
A p A0 A1 . p A2 . p … Am . p
Hp
B p B0 B1 . p B2 . p 2 … Bn . p n
∑ A i . pi
i 0
n
j
Bj. p
∑
j 0
Hàm truyền đạt dưới dạng tích các thừa số:
Hp
hoặc
H p K 2.
p
1−
z2
p
… 1−
zm
p
1−
p2
p
… 1−
pn
p−z 1
A p
K 1.
B p
p− p1
p
1−
z1
p
1−
p1
● Hàm truyền đạt phải là hàm thực dương:
α) Các hệ số phải thực Ai, Bj, K1, K2 với
nghiệm phức liên hợp.
m
p− z 2 … p−z m
K1 .
p− p 2 … p− p n
i1, m
m
∏
K 2.
i 1
n
∏
j 1
j 1, n
∏ p− z i
i 1
n
∏
p− p j
j 1
1−
p
zi
1−
p
pj
→ các nghiệm đơn hoặc cặp
β) Đối với các điểm cực và điểm không
β1) Hiệu giữa bậc lớn nhất của tử và mẫu và hiệu giữa bậc nhỏ nhất của tử và mẫu chỉ có thể lớn
nhất là 1.
β2) Hàm truyền đạt không có điểm cực và điểm không nằm bên phải của mặt phẳng phức.
β3) Các nghiệm trên trục ảo phải đơn và giá trị thặng dư của hàm tại đó phải thực dương.
A pi
Res H p
hoặc Res H p lim H p . p− pi
B pi
p p
p p
p→ p
γ) Phần thực của H(jω) sau khi biến đổi H p p jω H jω , ký hiệu là Re{H(jω)}, phải
i
i
i
→
không âm với
H jω H jω
∀ω . Điều đó tương đương với nếu
π
arg H jω ≤
.
2
2.2.2. Điều kiện cụ thể cho mạch bốn cực:
ST
Mạch bốn cực
H(p)
T
e
j .argH jω
thì
Điều kiện cho phép
U 2α) Các hệ số thực, Ai có thể < 0.
H p β2) Các điểm cực ko nằm ở mp
I.A
I1
phải, các điểm không tùy ý.
α) Các hệ số thực, Ai có thể < 0.
U 2β1) m ≤ n
H p β2) Các điểm cực ko nằm ở mp
I.B
U1
phải, gốc O và ∞, các điểm
không tùy ý.
α) Các hệ số thực, Ai có thể < 0.
U 2β1) m ≤ n
Hp
II.A
I 1β2) Các điểm cực ko nằm ở mp
phải, các điểm không tùy ý.
α) Các hệ số thực, Ai có thể < 0.
U 2β1) m ≤ n
Hp
II.B
U 1β2) Các điểm cực ko nằm ở mp
phải, các điểm không tùy ý.
α) Các hệ số thực, Ai có thể < 0.
β1) m ≤ n
U β2) Các điểm cực ko nằm ở mp
III
H p 2phải, các điểm không tùy ý.
E
2
1 R2
H jω ≤
γ)
4 R1
2.3. Ảnh hưởng của điểm cực, điểm không lên hàm truyền đạt:
2.3.1. Khái quát:
H s s
Điểm không
Điểm không ở gốc tọa độ (z = 0)
Làm tăng đặc tuyến biên độ cho các tần số
lớn hơn 1 ( ω c 1 ) và giảm đặc tuyến
biên độ cho các tần số nhỏ hơn 1 (
ω c 1 ).
H s
1
s
Điểm cực
Điểm cực ở gốc tọa độ (p = 0)
Làm tăng đặc tuyến biên độ cho các tần số
lớn hơn 1 và giảm đặc tuyến biên độ cho
các tần số nhỏ hơn 1.
H s 1
Điểm không nằm trên trục thực (z =
s −ω c )
ωc
H s
1
1
Chỉ làm tăng đặc tuyến biên độ cho các tần
số lớn hơn ωc, giữ nguyên đặc tuyến cho
các tần số còn lại.
Khi ωc càng tăng (điểm không càng rời xa
gốc O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên
phải, miền tăng đặc tuyến biên độ bị giảm
đi.
Khi ωc càng giảm (điểm không lại gần gốc
O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên trái.
H s
ξ cos θ
0≤ θ≤ 1
1−
s
ω c . e jθ
1−
s
ω c . e− jθ
Chỉ làm giảm đặc tuyến biên độ cho các tần
số lớn hơn ωc, giữ nguyên đặc tuyến cho các
tần số còn lại.
Khi ωc càng tăng (điểm không càng rời xa
gốc O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên
phải.
Khi ωc càng giảm (điểm không lại gần gốc
O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên trái.
ξ cos θ
0≤ θ≤ 1
H s 1
1
2
2
Làm tăng đặc tuyến biên độ cho các tần số
lớn hơn ωc, giữ nguyên đặc tuyến cho các
tần số nhỏ hơn ωc. Tại tần số cắt ωc và lân
cận, đặc tuyến bị tụt xuống giảm và giảm
rất sâu.
Khi ωc càng tăng (điểm không càng rời xa
gốc O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên
phải.
Khi ωc càng giảm (điểm không lại gần gốc
O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên trái.
2.3.2. Áp dụng khái quát vào các mạch cụ thể:
a. Mạch lọc thông thấp:
1−
s
ω c . e− jθ
1
12ξ
chỉ làm giảm đặc tuyến
biên độ cho các tần số lớn hơn ω c, giữ
nguyên đặc tuyến cho các tần số nhỏ hơn
ωc.
0≤ ξ ≤
tại tần số cắt ω c đặc tuyến
ωc
1
≤ ξ ≤1
2
chỉ làm tăng đặc tuyến
bị tụt xuống giảm và giảm sâu khi
ξ → 0 . Điểm không quay càng về
gần trục ảo, độ sâu giảm biên độ tại ω c càng
lớn.
Khi ωc càng tăng (điểm không càng rời xa
gốc O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên
phải.
Khi ωc càng giảm (điểm không lại gần gốc
O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên trái.
Cặp điểm không nằm trên trục ảo đối xứng
2
snhau qua gốc tọa độ O ( ξ 0 .
1
Cặp điểm cực đối xứng qua trục thực thuộc
bên trái mặt phẳng phức
biên độ cho các tần số lớn hơn ω c, giữ
nguyên đặc tuyến cho các tần số nhỏ hơn
ωc.
0≤ ξ ≤
ωc
H s 2
s
s
s 1−
1 2 ξ
ωc . e jθ
ωc
ωc
Cặp điểm không đối xứng qua trục thực
thuộc bên trái mặt phẳng phức
1
≤ ξ ≤1
2
Điểm cực nằm trên trục thực (p =
s −ω c )
1
2
tại tần số cắt ωc đặc tuyến
nhô lên rõ rệt và tăng cao khi ξ → 0 .
Điểm không quay càng về gần trục ảo, độ
nhô lên tăng biên độ tại ωc càng lớn.
Khi ωc càng tăng (điểm không càng rời xa
gốc O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên
phải.
Khi ωc càng giảm (điểm không lại gần gốc
O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên trái.
H s
1
1
Cặp điểm cực nằm trên trục ảo đối xứng
nhau
qua gốc tọa độ O ( ξ 0 .
2
s
ω 2c
Làm giảm đặc tuyến biên độ cho các tần số
lớn hơn ωc, giữ nguyên đặc tuyến cho các
tần số nhỏ hơn ωc. Tại tần số cắt ω c và lân
cận, đặc tuyến được nhô lên rõ rệt và tăng
nhanh.
Khi ωc càng tăng (điểm không càng rời xa
gốc O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên
phải.
Khi ωc càng giảm (điểm không lại gần gốc
O) đồ thị đặc tuyến bị dịch sang bên trái.
s
ωc
s
ωc
Mạch lọc thông thấp bậc 1 có hàm truyền đạt chuẩn hóa:
Ko
chỉ có một điểm cực duy nhất tại p = -1.
Kp
1 p
Các thành phần trong mạch chỉ làm thay đổi đến giá trị tần số cắt ω c, đồ thị đặc tuyến biên độ chỉ
bị xê dịch chứ về hình dáng không thay đổi.
Mạch lọc thông thấp bậc 2 có hàm truyền đạt chuẩn hóa:
Ko
Kp
có điểm cực là nghiệm từ pt 1 a . p p 2
2
1a. p p
a > 2: phương trình mẫu luôn phân tích được thành nhân tử bậc đơn có các nghiệm thực âm (nằm
bên trái mặt phẳng phức), tương tự như mạch lọc thông thấp bậc 1, chúng ta không xét đến nữa.
a < -2: phương trình mẫu luôn phân tích được thành nhân tử bậc đơn có các nghiệm thực dương
(nằm bên phải mặt phẳng phức), không thỏa mãn điều kiện hàm truyền đạt cho phép loại.
-2 ≤ a ≤ 0: nghiệm là cặp phức liên hợp ở bên phải mặt phẳng phức không thỏa mãn điều
kiện.
0 ≤ a ≤ 2: nghiệm là cặp phức liên hợp ở bên trái mặt phẳng phức, thỏa mãn điều kiện
p
p
1− jθ
1− − jθ 1 a . p p2
e
e
Nếu đặt a = 2ξ → 0 ≤ ξ ≤ 1 và được gọi là hệ số suy giảm (hoặc đô lệch cộng hưởng của
mạch) và ξ = - cos θ với 90o ≤ θ ≤ 180o . Khi ξ chạy từ 1 → 0, các điểm cực từ trên trục tung
quay về gần trục ảo như hình vẽ, độ nhô lên của đặc tuyến tại ω c càng tăng, dẫn đến việc mất ổn
định của mạch lọc thông thấp tại tần số cắt.
b. Mạch lọc thông cao:
Mạch lọc thông cao bậc 1, bạn tự xét.
Mạch lọc thông cao bậc 2 có hàm truyền đạt chuẩn hóa.
K ∞ . p2
gồm cặp điểm không z = 0, điểm cực là nghiệm của pt
Kp
1 a . p p2
2
1 a . p p
Tương tự như lọc thông thấp, ta sẽ chỉ xét trong 0 ≤ a ≤ 2.
Hai điểm không làm thay đổi từ mạch lọc thông thấp ban đầu thành mạch lọc thông cao.
Các điểm cực càng gần trục ảo thì đặc tuyến tại ω c càng nhô lên → mạch mất tính lọc thông cao
mà gần như bị chuyển thành lọc thông dải tinh tại tần số cắt ω c. Cho nên họ thường chọn mạch có
độ lệch cộng hưởng ξ từ 0,5 đến 1 để bảo đảm tính chất lọc đúng của mạch.
c. Mạch lọc thông dải:
b. p
Kp
một điểm không z = 0, điểm cực là nghiệm của pt 1 a . p p 2
1 a . p p2
Xét trong 0 ≤ a ≤ 2: Do chỉ có 1 điểm không ở gốc tọa độ nên tác động không mạnh so
với mạch lọc thông cao, kết quả là các tần số xung quanh tần số cắt đều có sự giảm đặc tuyến
biên độ nhẹ. Việc lọc ở tần số cắt càng tinh phụ thuộc vào giá trị ξ → 0, khi đó các điểm cực càng
gần tới trục ảo, và mạch lọc này thực hiện chức năng lọc dải thông hẹp.
Xét trong a > 2: hàm truyền đạt chuẩn hóa có thể được viết thành
b. p
Kp
, hàm mạch có thể hiểu là một mạch lọc thông thấp nối tiếp với
p− p 1 p− p2
một mạch lọc thông cao. Nếu a càng lớn thì đồ thị 2 mạch tách xa nhau, khi đó phần dải thông
của mạch lọc rộng lên, và mạch thực hiện lọc dải thông rộng.
d. Mạch lọc chắn dải:
2
b p 1
Kp
1 a . p p2
2
1 a . p p
hai điểm không tại trục ảo
z ± j , điểm cực là nghiệm của pt
Do có hàm (1 + p2) nên tại tần số cắt ω c đặc tuyến
1
tụt xuống giảm sâu. Còn hàm
lại có xu
1 a . p p2
hướng tăng đặc tuyến lên nhanh tại tần số cắt khi a → 0 Điểm cực càng di chuyển về lại gần trục
ảo (càng lại gần điểm không) thì khả năng chắn lọc càng giảm. Đến khi điểm cực trùng với điểm
không (a = 0) thì hai đặc tuyến triệt tiêu nhau, kết quả là thu được một đường thẳng, mạch không
còn chức năng lọc.
3. Các mạch lọc cơ bản:
3.1. Mạch lọc thụ động: chỉ gồm các linh kiện thụ động R, L, C. Như ở mục giới thiệu, chúng ta
đã biết có 3 mạch phổ biến xây dựng từ 3 linh kiện trên là mạch lọc RC, LC và RLC. Sau đây ta
sẽ đi vào phân tích tổng quát.
3.1.1. Mạch RC:
a. Mạch lọc thông thấp:
1
CR
K(s) =
1
s
CR
1
Tần số cắt: ω c
RC
1
R1 R2 C 1 C 2
K s
1
1
1
1
s2 s
R 1 C 1 R2 C 1 R 2 C 2
R1 R 2 C 1 C 2
1
Tần số cắt: ω c
√ R 1 R2 C 1 C 2
b. Mạch lọc thông cao:
s
1
K(s)=
s
CR
Tần số cắt: ω c
K s
1
RC
s2
1
1
1
1
R 1 C 1 R2 C 1 R 2 C 2
R1 R 2 C 1 C 2
1
Tần số cắt: ω c
√ R 1 R2 C 1 C 2
c. Mạch lọc thông dải:
K s
s2 s
s.
1
R2 C 2
1
1
1
1
R1 C 1 R2 C 1 R 21C 2
R1 R 2 C 1 C 2
Tần số trung tâm: ω c
√ R1 R2 C 1 C 2
3.1.2. Mạch LC:
s2 s
Mạch lọc thông thấp:
1
LC
K(s)=
1
s2
LC
1
Tần số cắt: ω c
√ LC
Mạch lọc thông cao:
LC
K(s)= LC 1
S2
1
Tần số cắt : ω c
√ LC
3.1.3. Mạch RLC:
a. Mạch lọc thông thấp:
1
LC
● K s
R
1
s2 . s
L
LC
1
Tần số cắt: ω c
√ LC
Độ lệch cộng hưởng của mạch: ξ
Phẩm chất của mạch: Q
●
K s
1
LC
1 1
2ξ R
√
R
2
L
C
√
1
1
.s
RC
LC
1
Tần số cắt: ω c
√ LC
C
L
s2
Độ lệch cộng hưởng của mạch: ξ
√
1
2R
C
L
√
L
C
1
R
2ξ
1
LC
● K s
R
R
1
1
s2
1 . s
1 1
R2 C
L
LC
R2
R2
1
Tần số cắt: ω c
với α
R1 R2
√ αLC
1
1
√ αLC
Phẩm chất của mạch: Q
với
2ξ
1−α RT
1
α RT C
L
b. Mạch lọc thông cao:
Phẩm chất của mạch: Q
R T R1 R 2
K s
s2
R
1
. s
L
LC
1
Tần số cắt: ω c
√ LC
s2
Độ lệch cộng hưởng của mạch: ξ
Phẩm chất của mạch: Q
1 1
2ξ R
c. Mạch lọc thông dải:
R
.s
L
● K s
R
1
s2 . s
L
LC
1
Tần số trung tâm: ω c
√ LC
√
R
2
L
C
√
C
L
Tần số cắt dưới:
ω c1
√
√
−R
2L
2
R
2L
1
LC
1
LC
2
Tần số cắt trên:
ω c2
R
2L
R
2L
Độ lệch cộng hưởng: ξ
√
1 2 π . ωc 1 L
2ξ
B
R C
2 π .ω c
R
B f c1− f c 2
2 π . Hz
Q
L
1
.s
RC
● K s
1
1
s2
.s
RC
LC
1
Tần số trung tâm: ω c
√ LC
Phẩm chất mạch: Q
√
C
L
1
2R
√
R
2
Dải thông:
Tần số cắt dưới:
ω c1
−1
2 RC
√
√
2
1
2 RC
1
LC
1
LC
2
Tần số cắt trên:
ω c2
1
2 RC
√
1 2 π . ωc
C
R
2ξ
B
L
2 π .ω c
1
2π .
Hz
Q
RC
Phẩm chất mạch: Q
B f c1− f c 2
1
2 RC
Độ lệch cộng hưởng: ξ
Dải thông:
L
C
d. Mạch lọc chặn dải:
1
2
s
LC
K s
R
1
s2 . s
L
LC
Tần số trung tâm: ω c
Tần số cắt dưới:
ω c1
1
√ LC
√
√
−R
2L
2
R
2L
1
LC
1
LC
2
Tần số cắt trên:
ω c2
R
2L
Độ lệch cộng hưởng: ξ
√
1 2 π . ωc 1 L
2ξ
B
R C
2 π .ω c
R
2 π . Hz
Q
L
Phẩm chất mạch: Q
B f c1− f c 2
R
2L
R
2
√
C
L
Dải chắn:
3.2. Mạch lọc tích cực:
3.2.1. Một số mạch lọc xây dựng từ mạch lọc thụ động:
a. Mạch lọc thông thấp:
Đối với mạch lọc thông thấp thụ động RC, người ta
cho tín hiệu đầu ra đi qua khuếch đại thuật toán nhằm
tăng tín hiệu lên sau khi bị hấp thụ năng lượng ở mạch
trước đó. Như ở hình bên, hệ số khuếch đại của KĐTT
bằng 1, tín hiệu đi ra giống như tín hiệu đầu vào.
Nhưng ví dụ tín hiệu trước khi đi vào mạch lọc, nó
phải đi qua nhiều mạch khác làm giảm biên độ, tổn
hao năng lượng, cho nên việc khuếch đại tín hiệu là
cần thiết.
Hình bên cạnh là mạch lọc thông thấp bổ sung thêm
KĐTT, tín hiệu ra khuếch đại không đảo với hệ số
R
K o 1 2 , hàm truyền đạt của mạch là:
R1
R
1
1 2
R1 √ R 3 C 1
K .ω
K s o c
s ωc
1
s
√ R3 C 1
1
Tần số cắt vẫn được bảo đảm là ω c
, bộ khuếch đại không làm ảnh hưởng tới các
√ R3 C 1
thông số chính, chỉ có chức năng khuếch đại tín hiệu.
Còn đối với mạch này, thực chất nó vẫn là mạch lọc thông thấp bổ sung KĐTT, song tín hiệu ra
−R 2
khuếch đại đảo với hệ số K o
, và hàm truyền đạt của mạch này là:
R1
1
K .ω
−R2
√ R2 C
K s o c
s ωc
R1
1
s
√ R2 C
Khác với mạch không đảo ở trên, mạch này có
hệ số khuếch đại phụ thuộc vào tần số cắt của
mạch do hai đại lượng đều phụ thuộc vào R 2.
Chính vì vậy, mạch này ít khi được sử dụng.
b. Mạch lọc thông cao:
Tượng tự ta cũng có mạch lọc thông cao dựa
trên mạch thụ động RC có lắp thêm bộ khuếch
đại thuật toán ở đầu ra tín hiệu. Ở đây bộ KĐTT
thực hiện khuếch đại không đảo với hệ số
R
K ∞ 1 2 , hàm truyền đạt dễ dàng viết
R1
được là:
R
1 2 s
R1
K .s
K s ∞
s ωc
1
s
√ R3 C 1
Mạch này lọc cùng với bộ KĐTT khuếch đại
đảo, hệ số khuếch đại và tần số cắt quan hệ với
nhau thông qua R2 cho nên việc thay đổi thông
số mạch cũng gặp bất lợi, mạch này cũng không
được sử dụng nhiều.
c. Mạch lọc thông dải:
Cách lắp mạch thông dụng xây dựng từ các
mạch lọc thụ động và nối tiếp 1 lọc thông thấp
và 1 lọc thông cao, kèm theo đó là bộ KĐTT sẽ
cho ta 1 mạch lọc thông dải với dải thông từ tần
1
số cắt lọc thông cao ( ω c
) đến tần
√ R1 C 1
1
số cắt lọc thông thấp ( ω c
). Đối với
√ R2 C 2
R4
hình bên bộ KĐTT không đảo ( K o 1
R3
), mạch lọc tương đối ổn định, hệ số khuếch đại độc lập với các tần số cắt. Do mạch lọc thụ động
có độ phẩm chất thấp cho nên mạch này thường đáp ứng cho khoảng dải thông rộng, tức lọc băng
thông rộng.
Xét mạch đây, bộ KĐTT đảo phụ thuộc vào cả
hai tần số cắt trên dưới của dải thông. Mặc dù
mạch có vẻ ít linh kiện, gọn hơn song tính
không ổn định khi thay thông số linh kiện làm
cho mạch ít ứng dụng trong thực tế.
Cả hai mạch lọc trên đều là lọc thông dải nhưng
chỉ sử dụng trong lọc băng thông rộng, không
thể chế tạo mạch lọc với băng thông hẹp. Cũng
như các mạch thụ động nói chung, độ phẩm chất của các mạch này thường thấp kém, mà người ta
đề cao phẩm chất mạch để thiết kế một mạch lọc mong muốn. Thông số đó càng cao, mạch lọc
càng tinh và đáp ứng tốt. Để thực hiện được tiêu chí đó ta không thể dùng mạch này mà phải sử
dụng các dạng mạch khác cao cấp hơn sẽ được xét trong phần tiếp theo.
3.2.2. Các dạng mạch lọc tích cực ưu việt hơn:
a. Dạng mạch Sallen-Key: (Sallen-Key topology)
● Tổng quát:
Viết phương trình Kirchhoff về dòng điện tại các nút:
−−V
V
R
0
V − 1 4 K
R4
−
R3
−
Nút V :
→
V
V out
R3
K – hệ số khuếch đại tĩnh
V 1
V
Nút V :
0
Y3
Y 3 Y 4 −Y 3 V 1 0
→
V
Y 4 V out
−V
Vì
(KĐTT lý tưởng) → V 1 1
Y3
K
V
V 1−V
Nút V 1 :
Y 1 V 1−V Y 3
−Y 2 V ou t 0
→
Y 1 Y 2 Y 3 V 1−Y 1 V −Y 3 V
Y
V out
V
−V
1 4
−Y 1 V −Y 3 out −Y 2 V out 0
Vì
→ Y 1 Y 2 Y 3
Y3
K
K
V
out
→
V
H s out
V
Y 1 Y 2
K Y 1Y 3
Y 3 Y 4 Y 3 Y 4− K Y 2
Sau đây ta đi vào cụ thể từng mạch một.
● Mạch lọc thông thấp:
1
R
t ụ đ i ệ n : Y sC
đ i ệ n tr ở : Y
1
1
Y Y s C2 Y 4 s C1
R1 3 R2 2
Thay các giá trị vào hàm truyền đạt tổng quát ta có:
Y 1
H s
K
1
s C2
R1
1 1
R1 R2
1
1
s C1
s C 1−Ks C 2
R2
R2
1
K
R1 R2 C 1 C 2
→ H s
1
1
1
1
s2 s
1− K
R1 C 2
R2 C 1 R 2 C 2
R1 R 2 C 1 C 2
1
Tần số cắt: ω c
√ R1 R2 C 1 C 2
√
1
2
1
Phẩm chất mạch: Q
2ξ
ξ
R2 C 1
1− K
R1 C 2
√
R1 C 2
R2 C 1
√
R1 C 1
R2 C 2
R4
R3
R1 R2 R , hàm truyền đạt trở thành:
Hệ số khuếch đại tĩnh:
H s
Hệ số suy giảm:
Nếu như lấy
K o 1
K
1
R C1C 2
2
2
1
1− K
R C2
R C1
1
R C1C 2
1
Tần số cắt trong trường hợp này bằng: ω c
R√ C1C 2
1
3− K
Nếu lấy tiếp C 1 C 2 C thì ω c
và ξ
, để đảm bảo mạch còn tính ổn định
RC
2
(điều kiện hàm truyền đạt cho phép) thì K phải nhỏ hơn 3. Ngoài ra người ta còn dùng mạch
khuếch đại đệm như hình bên để K = 1, khi đó tín hiệu ra giống với tín hiệu vào, không khuếch
đại nhằm tránh hiện tượng bão hòa.
s2 s
2
● Mạch lọc thông cao:
1
1
Y 4
R2
R1
Thay các giá trị vào hàm truyền đạt tổng quát ta có:
Y 1 s C1Y 3 s C2 Y 2
H s
s C1
1
R2
K . s C1. s C2
1
s C2
sC2
R1
1
1
−K
R1
R2
K . s2
H s
1
1
1
→
2
s s
1− K
R1 C 2
R2 C 1 R 1 C 1
1
Tần số cắt: ω c
√ R1 R2 C 1 C 2
√
1
2
1
Phẩm chất mạch: Q
2ξ
Hệ số suy giảm:
ξ
R2 C 1
1− K
R1 C 2
K ∞ 1
Hệ số khuếch đại tĩnh:
√
R1 C 2
R2 C 1
1
R1 R2 C 1 C 2
√
R2 C 2
R1 C 1
R4
R3
● Mạch lọc thông dải:
Dạng 1:
1
1
1
Y 1 Y 2 Y 3 sC Y 4 sC
R1
R
R
Thay các giá trị vào hàm truyền đạt tổng quát ta có:
H s
→
K
1
1
R1 R
H s
s2 s
1
. sC
R1
√
1
C
sC
2
1
1
1
sC sC
sC −K
R
R
R
1
K
.s
R1 C
1
1
R1 R
1−K
1
R rad
1
RC
R1
s
2 R 3− K R1
Hệ số suy giảm: ξ
2 √ R 1 R R1
√ R 1 R R 1
1
Phẩm chất mạch: Q
2 ξ 2 R 3− K R1
Tần số trung tâm: ω c
1
R
1
2
RC
1
1
R R1
2 π . ωc 2 π 2 R
3−K
Q
RC R 1
Độ rộng dải thông phụ thuộc vào hệ số khuếch đại tĩnh
K, vì vậy có thể thay đổi R 3, R4 nhằm điều chỉnh dải
thông, tuy nhiên phải thỏa mãn điều kiện
2R
K 3
để mạch còn giữ tính ổn định.
R1
Dạng 2:
1
K
.s
√ RC
H s
3− K
1
s2 s
√ RC RC
1
Tần số trung tâm: ω c
√ RC
3− K
Hệ số suy giảm: ξ
2
1
1
Phẩm chất mạch: Q
2 ξ 3−K
2 π . ωc 2 π
3− K
Dải thông: B
Q
√ RC
Mạch lọc có phẩm chất Q không phụ thuộc vào tần số trung tâm, dải thông B chỉ phụ thuộc vào
hệ số khuếch đại tĩnh K → có thể điều chỉnh R 3, R4 nhằm co ngắn dải thông, khi đó phẩm chất Q
sẽ tăng, mạch lọc băng thông hẹp tinh hơn, song phải đáp ứng điều kiện K < 3 để tránh sự bất ôn
định.
Băng thông:
B
b. Dạng mạch Rauch – MFT: (Multiple Feedback Topology)
● Tổng quát:
Do đầu vào của không đảo bộ khuếch đại lý tưởng bị nối
0
−0
−V
đất →
, đồng thời
→
.
V
V
V
Viết các phương trình Kirchhoff về dòng điện tại các nút
sau:
Nút V 1 : Y 1 V −V 1 −Y 2 V 1−Y 3 V 1 Y 4 V out −V 1 0
−Y 5
−
V
Nút V : Y 3 V 1 Y 5 V out 0 → V 1
Y 3 out
Thay vào phương trình nút V 1 , ta có:
Y5
→ Y 1 V Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 V out Y 4 V out 0
Y3
1
→
R
t ụ đ i ệ n :Y sC
Hàm truyền đạt luôn có dấu trừ, cho nên tín hiệu ra luôn ngược pha so với tín hiệu vào.
V out
−Y 1 Y 3
H s
V Y 3 Y 4 Y 5 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4
đ i ệ n tr ở :Y