Một vài kinh nghiệm trong giảng dạy bài hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp cho học sinh thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Một vài kinh nghiệm trong giảng dạy bài hoán vị, chỉnh hợp
và tổ hợp cho học sinh THPT

Người thực hiện:
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc môn:

Toán

THANH HÓA NĂM 2013
1

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Một trong những mục tiêu của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông
là: “tăng cường tính thực tiễn, kĩ năng thực hành, năng lực tự học; coi trọng kiến
thức khoa học xã hội và nhân văn; bổ sung những thành tựu khoa học và công
nghệ hiện đại phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh. Bảo đảm sự thống
nhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục”
Với xu thế đó, chương trình Toán học trung học phổ thông được xây dựng
và phát triển theo quan điểm: Kế thừa và phát huy truyền thống dạy học môn
Toán ở Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục toán học phổ thông của các
nước phát triển trong khu vực và trên thế giới; Lựa chọn các kiến thức toán học
cơ bản, cập nhật, thiết thực và có hệ thống, phù hợp với trình độ nhận thức của
học sinh, thể hiện tính liên môn, vai trò công cụ của toán học; Tăng cường thực
hành và vận dụng, thực hiện dạy toán gắn với thực tiễn; Rèn luyện tính tích cực,
chủ động, sáng tạo, khả năng tự học của học sinh.
Vì vậy, so với chương trình cũ (năm 2000) chương trình mới (năm 2006)
đã có một số thay đổi quan trọng. Một trong những thay đổi đó là vị trí và nội
dung của các kiến thức về Tổ hợp và Xác suất. Về vị trí Tổ hợp và Xác suất
được chuyển xuống nghiên cứu ngay từ giữa năm lớp 11 (so với chương trình cũ
cuối lớp 12). Về nội dung lần đầu tiên vấn đề xác suất được đưa vào chương
trình phổ thông (không kể chương trình thí điểm phân ban năm 1995). Mặc dù
mục đích của chương mới là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản
thường gặp trong đời sống và khoa học, tuy nhiên nó đã chứng tỏ được tầm quan
trọng của Tổ hợp và Xác suất trong xã hội hiện đại.
Tuy nhiên, Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó trong chương trình
Toán phổ thông. Các bài toán Tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác
những mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng
khó diễn đạt một cách đầy đủ. Đặc điểm đó đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị bài
giảng thật kỹ lưỡng và dành nhiều thời gian để đúc kết các phương pháp giảng
dạy Tổ hợp. Bên cạnh đó các bài toán về Xác suất ở đây có liên quan chặt chẽ
đến vấn đề Tổ hợp. Vì vậy nếu học sinh có kỹ năng giải các bài toán Tổ hợp tốt
thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán Xác suất. Đó là lý do vì sao tôi chọn
2

đề tài là “Một vài kinh nghiệm trong giảng dạy bài hoán vị, chỉnh hợp và tổ
hợp cho học sinh THPT
”. Đây là bài học trọng tâm của phần Tổ hợp.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
- Căn cứ vào thực tiễn trong đời sống cũng như trong khoa học chúng ta
thường gặp bài toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó. Ta
gọi đó là bài toán đếm. Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu nhiều vấn đề
mang cấu trúc rời rạc trong đó có bài toán đếm. Kỹ năng và kiến thức của toán
Tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều môn khoa học từ kinh tế tới sinh học, tin học,
hoá học, quản trị kinh doanh ...
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT: “Giúp
học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục THCS, hoàn thiện
học vấn phổ thông, có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng
nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân,
tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào
cuộc sống lao động.”
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của môn học: Cung cấp cho học sinh
những kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực;
Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, khả năng suy luận cần thiết cho cuộc sống,
hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học.
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của chương: Cung cấp cho học sinh
những hiểu biết ban đầu, cơ bản về Tổ hợp và Xác suất.
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của bài: trang bị cho học sinh các khái
niệm cơ bản nhất của tổ hợp là hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cùng các công thức
tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Nhờ đó chúng ta có thể xác định được số
lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng và chính xác mà
không cần liệt kê (nhiều khi cũng không thể liệt kê được vì số lượng các phần tử
rất lớn).
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh.
3

2. Thực trạng
Như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài, tổ hợp luôn được đánh giá
là một nội dung khó trong chương trình Toán phổ thông. Các bài toán tổ hợp khá
trừu tượng và mới nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp thu kiến
thức. Đặc biệt “Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp” lại là những kiến thức cơ sở nên
nếu học sinh không nắm vững, hiểu rõ được nội dung của bài thì toàn bộ kiến
thức của chương Tổ hợp và Xác suất sẽ bị bỏ qua.
Thực tế qua quá trình giảng dạy của bản thân, tôi nhận thấy rất nhiều học
sinh do không nắm tốt các kiến thức cơ bản của bài nên không tiếp thu được các
kiến thức khác trong chương, cảm thấy các kiến thức của chương là rất khó hiểu.
Hậu quả là kết quả thu được trong bài kiểm tra chương tương đối thấp. Đặc biệt,
sau đó một thời gian thì các em có xu hướng “quên”. Vì vậy trong bài thi học kỳ,
hay xa hơn là bài thi đại học, cao đẳng có những bài Tổ hợp – Xác suất tương đối
đơn giản, không phải là khó nhưng nhiều học sinh không làm được.
3. Giải pháp thực hiện
Để giải quyết thực trạng trên, giúp học sinh có được những kiến thức cơ
sở vững chắc cho chương mà cụ thể là giúp học sinh học tốt bài “Hoán vị,
chỉnh hợp và tổ hợp”, tôi xin đề ra ba giải pháp như sau:
3.1. Giải pháp thứ nhất
Giải pháp đầu tiên là chuẩn bị thật tốt các kiến thức cơ sở cho học sinh
trước khi vào bài. Kiến thức cơ sở của bài “Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp” ở
đây là hai quy tắc đếm: quy tắc cộng và quy tắc nhân. Học sinh cần được trang
bị vững vàng, hiểu và hiểu rõ, phân biệt được quy tắc cộng và quy tắc nhân.
a) Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc
phương án B . Có n cách thực hiện theo phương án A và m cách thực hiện
theo phương án B . Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n  m cách.
Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án:

4

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án
A1 , A2 ,..., Ak

. Có

n1

cách thực hiện theo phương án

theo phương án A2 , ... , và

nk

việc có thể được thực hiện theo

A1 , n 2

cách thực hiện theo phương án
n1  n 2  ...  n k

cách thực hiện
Ak

. Khi đó công

cách.

b) Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B . Công
đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công
đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm
cách.
Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn
đoạn A1 có thể làm theo
Công đoạn
n1 n 2 ...n k

Ak

n1

cách, Công đoạn

có thể làm theo

nk

A2

A1 , A2 ,..., Ak

có thể làm theo

n1

. Công

cách, ...,

cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo

cách.

Để học sinh phải phân biệt được thế nào là quy tắc cộng, thế nào là quy
tắc nhân, trước tiên cần giúp học sinh phân biệt được thế nào là công việc được
thực hiện bởi nhiều phương án, thế nào là công việc được thực hiện bởi nhiều
giai đoạn.
Một công việc có nhiều phương án tức là nếu ta thực hiện theo phương án
này thì không cần thực hiện theo phương án kia, khi đó để đếm số cách có thể
thực hiện công việc này ta dùng quy tắc cộng
Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn tức là để hoàn thành
công việc đó phải lần lượt thực hiện từng bước không được bỏ qua bước nào,
khi đó để đếm số cách có thể thực hiện công việc này ta dùng quy tắc nhân.
Sau đó củng cố bằng các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Một cửa hàng có 15 đôi dép khác nhau, 8 cái mũ khác nhau và 7 quyển
sách khác nhau. Bạn Nam muốn chọn một đồ vật (dép hoặc mũ hoặc sách) để làm
quà sinh nhật tặng bạn. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua quà sinh nhật.
Giải
5

Ta nhận thấy công việc mua quà sinh nhật của Nam có thể thực hiện một
trong ba phương án:
- Nếu chọn mua dép có 15 cách mua.
- Nếu chọn mua mũ có 8 cách mua.
- Nếu chọn mua sách có 7 cách mua.
Do đó theo quy tắc cộng bạn Nam có 15  7  8  30 cách mua quà sinh nhật.
Ví dụ 2: Một bé trai có thể mang họ cha là Nguyễn hoặc họ mẹ là Lê. Chữ lót
có thể là: Văn, Hữu, Hồng, Hoàng. Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, Trí, Đức
hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách có thể đặt họ tên cho bé? (gồm họ chữ lót và
tên).
Giải
Việc đặt tên cho bé có thể chia ra làm ba giai đoạn: chọn họ, chọn chữ lót
và chọn tên.
- Chọn họ có 2 cách chọn
- Chọn chữ lót có 4 cách chọn
- Chọn tên có 5 cách chọn.
Vì vậy theo quy tắc nhân có: 2.4.5  40 cách có thể đặt họ tên cho bé.
3.2. Giải pháp thứ hai
Giải pháp thứ hai là giúp học sinh hiểu đúng bản chất các khái niệm trong
bài, phân biệt được các khái niệm. Đây là những khái niệm khó và trừu tượng.
Vì vậy để giúp học sinh nắm bắt được các khái niệm tôi đưa ra phương pháp tiếp
cận từ cụ thể tới trừu tượng. Có nghĩa là để nhận dạng khái niệm này tôi bắt đầu
từ những ví dụ cụ thể, đơn giản, dễ hiểu từ đó mới khái quát thành khái niệm
tổng quát. Bên cạnh đó cách trình bày phải thật sinh động, gần với thực tiễn,
tránh hàn lâm kinh viện. Trong bài cần có nhiều ví dụ với nhiều tình huống khác
nhau giúp học sinh có cơ hội thực hành bắt chước. Cụ thể:
Để nhận dạng khái niệm hoán vị, chúng ta có thể bắt đầu bằng ví dụ về
bài toán xếp chỗ ngồi cho học sinh:

6

Ví dụ 3: Xếp 4 học sinh A, B, C, D vào một bàn bốn chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách
sắp xếp?
Cho học sinh liệt kê một số cách xếp: ABCD, ACBD, ACDB ... Từ đó đưa
ra khái niệm về hoán vị của bốn phần tử.
Tiếp đó củng cố khái niệm bằng ví dụ trong sách giáo khoa về cuộc thi
chạy của ba vận động viên An, Bình, Châu. Mỗi khả năng xảy ra về kết quả cuộc
thi là một hoán vị của ba phần tử.
Tiếp tục củng cố bằng cách cho học sinh tự lấy ví dụ về hoán vị. Nhận
thấy khi học sinh đã hiểu các ví dụ cụ thể thì cho học sinh khái quát khái niệm
trong trường hợp tổng quát n phần tử.
Định nghĩa 1: Cho tập hợp A có n  n  1 phần tử. Khi sắp xếp n này theo
một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A .
Để tính số hoán vị từ ví dụ 3, cho học sinh áp dụng các quy tắc đếm tính
số hoán vị của bốn phần tử.
Giải ví dụ 3:
Ta có: Nếu A có 4 cách chọn chỗ, thì B chỉ còn lại 3 cách, đến C thì chỉ còn
2 cách và còn 1 chỗ là của D. Vì vậy có 1.2.3.4 = 24 cách xếp hay 24 hoán vị của
bốn phần tử.
Từ đó xây dựng công thức tính số hoán vị trong trường hợp n phần tử.
Định lý 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
Pn  n!  n( n  1)( n  2)...1

Để nhận dạng khái niệm chỉnh hợp, chúng ta có thể bắt đầu bằng ví dụ mở
rộng bài toán thi chạy:
Ví dụ 4: Có năm vận động viên A, B, C, D, E thi chạy. Nếu không kể trường
hợp có hai vân động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra
đối với các vị trí nhất, nhì, ba.
Cũng bắt đầu bằng cách cho học sinh liệt kê một số kết quả có thể xảy ra.
Từ đó đưa ra khái niệm chỉnh hợp chập ba của năm phần tử.
Tiếp tục củng cố khái niệm cho học sinh bằng ví dụ về lập số:
7

Ví dụ 5: Cho tập

A  1,2,3,4,5,6 ,

lập số có bốn chữ số khác nhau từ các chữ số

trong tập A .
Cho học sinh liệt kê một số số: 1234; 1243; 1256 ... Từ đó đưa ra khái
niệm chỉnh hợp chập bốn của sáu phần tử.
Cho học sinh tự lấy ví dụ về chỉnh hợp. Nhận thấy khi học sinh đã hiểu
các ví dụ cụ thể thì cho học sinh khái quát khái niệm trong trường hợp tổng quát.
Định nghĩa 2: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Khi
lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh
hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A ).
Để tính số chỉnh hợp, tương tự cho học sinh áp dụng các quy tắc đếm làm
ví dụ 4, ví dụ 5.
Giải ví dụ 4:
Ta có: Nếu giải nhất có 5 khả năng có thể xảy ra thì giải nhì chỉ còn 4 khả
năng và giải ba khi đó còn lại 3 khả năng nên có 5.4.3  60 kết quả có thể xảy ra
(hay 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử).
Giải ví dụ 5:
Ta có: Nếu chữ số hàng nghìn có 6 cách chọn thì chữ số hàng trăm có 5
cách, chữ số hàng chục có 4 cách và chữ số hàng đơn vị còn 3 cách. Vì vậy có
6.5.4.3  360

số (hay 360 chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử).

Từ đó xây dựng công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Định lý 2: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1  k

 n)

là:
Ank  n( n  1)(n  2)...(n  k  1)

Xây dựng khái niệm tổ hợp cũng như hai phần trước chúng ta bắt đầu
bằng các ví dụ đơn giản để học sinh nhận dạng khái niệm.
Ví dụ 6: Cho tập

A  1,2,3,4,5,6 ,

liệt kê tập con có 4 phần tử của A :

1,2,3,4; 1,2,4,5; 1,2,5,61,2,3,6 ; 1,2,3,5;  2,3,5,6...

Từ đó đưa ra khái niệm về tổ hợp chập 4 của 6 phần tử.
Ví dụ 7: Một lớp học có 45 học sinh, chọn ra 3 học sinh bất kỳ. Mỗi cách chọn
là một chỉnh hợp chập ba của bốn lăm phần tử.
8

Qua các ví dụ cụ thể, cho học sinh khái quát khái niệm trong trường hợp
tổng quát:
Định nghĩa 3: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Mỗi
tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của
A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A ).

Lưu ý học sinh sự khác nhau bản chất giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Nếu
chỉnh hợp là sự xếp có thứ tự của k phần tử được lấy ra thì tổ hợp không có sự
sắp xếp thứ tự của k phần tử này.
Chúng ta giúp học sinh xây dựng công thức tính số tổ hợp từ công thức
tính số chỉnh hợp tương ứng. Cụ thể trong ví dụ 5 và ví dụ 6: so sánh giữa tổ
hợp chập 4 của A và chỉnh hợp chập 4 của A . Từ đó đặt ra cho học sinh câu
hỏi tương ứng mỗi tổ hợp chập 4 của 6 phần tử có bao nhiêu chỉnh hợp chập 4
của 6 phần tử? Qua đó so sánh được số chỉnh hợp và số tổ hợp chập 4 của A .
Từ đó tính được số tổ hợp chập 4 của A : C64 

A64 360

 15
4! 24

Tương tự xây dựng công thức tính số tổ hợp trong trường hợp tổng quát:
Định lý 3: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử
C nk 

(1  k  n)

là:

Ank
n( n  1)(n  2)...(n  k  1)

k!
k!

3.3. Giải pháp thứ ba
Giải pháp thứ ba giúp học sinh nắm vững, hiểu rõ được các các kiến thức
đã học chính là sự rèn luyện củng cố qua các bài tập. Để giúp học sinh chủ động,
tích cực học tập, chúng ta cần xây dựng một hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp
với mục đích nhân thức và các đối tượng học sinh. Với mục tiêu như vậy tôi xây
dựng một hệ thống bài tập với các mức độ nhận thức là: nhận dạng, thông hiểu
và vận dụng (vận dụng thấp, vận dụng cao) với ý nghĩa:
- Các bài toán nhận dạng giúp học sinh tiếp cận các khái niệm.
- Các bài toán thông hiểu giúp củng cố lại kiến thức .
- Các bài toán vận dụng giúp học đào sâu kiến thức.
9

Bên cạnh đó tôi đưa ra các bài toán với nhiều cách khác nhau giúp học
sinh trở nên linh hoạt trong việc chọn lựa phương pháp giải. Hay các bài toán
được đưa ra cùng những lời giải sai mà nhiều học sinh dễ mắc phải, để các em hiểu
một cách thấu đáo hơn, cặn kẽ hơn, giúp các em tiếp nhận kiến thức một cách dễ
dàng hơn.
3.3.1 Bài tập nhận dạng
Đây là những bài tập đơn giản, rõ ràng giúp học sinh nhận dạng và phân
biệt các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Bài tập 1 (BT5 – SGK trang 62) Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với
thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội? (Giả sử không có hai đội
nào cùng điểm)
Đây là một bài tập nhận dạng khái niệm hoán vị, học sinh dễ dàng nhận
thấy mỗi khả năng xảy ra đối với thứ tự 5 đội là một hoán vị của 5 phần tử nên
số khả năng có thể xảy ra là:

P5  5! 120 (Khả

năng)

Bài tập 2 (BT6 – SGK trang 62) Giả sử có 8 vận động viên tham gia thi chạy.
Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao
nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba?
Đây là một bài tập nhận dạng khái niệm chỉnh hợp, học sinh dễ dàng nhận
thấy mỗi kết quả có thể xảy ra là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử nên số kết
quả có thể xảy ra là:

A83  8.7.6  252 (Kết

quả)

Bài tập 3 (BT8 – SGK trang 62) Trong một ban chấp hành hành gồm 7 người ,
cần chọn 3 người vào ban thường vụ.
a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ
thì có bao nhiêu cách chọn?
b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó
bí thư, ủy viên thì có bao nhiêu cách chọn?
Đây là một bài tập nhận dạng và phân biệt giữa khái niệm chỉnh hợp và tổ
hợp. Nếu như câu a không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người (tức là không
có sự sắp xếp về thứ tự) thì câu b đã có sự phân biệt về chức vụ với 3 chức vụ Bí
10

thư, Phó bí thư, ủy viên (tức là có sự sắp xếp về thứ tự), học sinh dễ dàng nhận
thấy mỗi cách chọn trong câu a là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử còn mỗi cách
chọn trong câu b là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tư nên:
7.6.5
 35 (Cách
3!

a) Số cách chọn là:

C 73 

b) Số cách chọn là:

A73  7.6.5  210

chọn)

(Cách chọn)

3.3.2 Bài tập thông hiểu
Đây là những bài tập đã có sự phức tạp hơn, cần sự hiểu biết rõ ràng hơn
của học sinh về các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp khi áp dụng.
Bài tập 4 (BT7 – SGK trang 62) Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n
điểm. Hỏi:
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P?
b) Có bao nhiêu véc-tơ mà hai đầu mút thuộc P?
Đây là một bài tập thông hiểu và phân biệt giữa khái niệm chỉnh hợp và tổ
hợp. Nếu như câu a đoạn thẳng không có sự phân biệt về hai điểm mút (tức là
không có sự sắp xếp về thứ tự) thì câu b véc-tơ có sự phân biệt về hai điểm mút
(tức là có sự sắp xếp về thứ tự), học sinh sẽ nhận thấy mỗi đoạn thẳng là một tổ hợp
chập 2 của n phần tử còn mỗi véc-tơ là một chỉnh hợp chập 2 của n phần tử nên
a) Số đoạn thẳng là:

C n2 

n( n  1)
n( n  1)

(Đoạn
2!
2

thẳng)

b) Số véc-tơ là: A22  n( n  1) (véc-tơ)
Bài tập 5 (BT58 – SGK trang 93) Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm
trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng, hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện
với các đỉnh thuộc tập đã cho.
Đây là một bài tập thông hiểu về tổ hợp. Học sinh sẽ nhận thấy cứ 4 điểm
không đồng phẳng thuộc tập hợp đã cho thì tạo được một tứ diện và ngược lại.
Vì vậy mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con
gồm 4 phần tử của tập đã cho hay một tổ hợp chập 4 của 9 phần tử. Do đó số tứ
diện lập được với các đỉnh thuộc tập 9 đỉnh đã cho là: C 94  126 (tứ diện).
11

3.3.3 Bài tập vận dụng
Đối với loại bài tập này học sinh cần nắm vững, hiểu rõ và vận dụng linh
hoạt kết hợp các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong các bài tập.
a) Bài tập vận dụng thấp
Bài tập 6 (BT58 – SGK trang 93) Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được
bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác
0)
Đây là một bài toán có cách giải rất đa dạng, học sinh có thể vận dụng hai
quy tắc đếm, cũng có thể vận dụng chỉnh hợp để làm. Tuy nhiên đây cũng là một
bài toán học sinh rất dễ gặp sai lầm. Sai lầm thường gặp của học sinh là giải bài
toán như sau:
Gọi số cần tìm là abcde

( a  0; a  b  c  d  e)

Chọn số ở vị trí e có 4 cách chọn từ tập  0, 2, 4, 6
Chọn số ở vị trí a có 5 cách chọn trừ e và 0
Chọn số ở vị trí b có 5 cách chọn trừ e và a
Chọn số ở vị trí c có 4 cách chọn
Chọn số ở vị trí d có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 4.5.5.4.3  1200 số
* Nguyên nhân sai lầm
- Trong trường hợp e  0 thì chọn số ở vị trí a có 5 cách là đúng
- Trong trường hợp e  0 thì chọn số ở vị trí a có 5 cách là sai vì lúc này
chọn số ở vị trí a có 6 cách chọn chỉ trừ e
Lời giải đúng:
Cách 1: Dùng quy tắc nhân
Gọi số cần tìm là abcde

( a  0; a  b  c  d  e) .

Vì số cần tìm là số chẵn

nên các số cần tìm có dạng abcd 0, abcd 2 , abcd 4 , abcd 6 .
Tìm số các số dạng abcd 0,
12

Chọn số ở vị trí a có 6 cách chọn trừ 0
Chọn số ở vị trí b có 5 cách chọn trừ 0 và a
Chọn số ở vị trí c có 4 cách chọn
Chọn số ở vị trí d có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 6.5.4.3  360 số
- Tìm số các số dạng abcd 2
Chọn số ở vị trí a có 5 cách chọn trừ e và 0
Chọn số ở vị trí b có 5 cách chọn trừ e và a
Chọn số ở vị trí c có 4 cách chọn
Chọn số ở vị trí d có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 5.5.4.3  300 số
- Tương tự mỗi dạng abcd 4 , abcd 6 cho ta 300 số
Theo quy tắc cộng có 360  300.3  1260 số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số
đôi một khác nhau.
Cách 2 : Sử dụng kiến thức chỉnh hợp
Cũng gọi số cần tìm là abcde

( a  0; a  b  c  d  e) .

Vì số cần tìm là số

chẵn nên các số cần tìm có dạng abcd 0, abcd 2 , abcd 4 , abcd 6 .
- Tìm các số các số dạng abcd 0,

abcd

được chọn trong 6 số là

{1,2,3,4,5,6} nên mỗi số là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử nên có :

A64  360 số.
- Tìm các số chẵn dạng abcde với e   2, 4, 6
Chọn số ở vị trí e có 3 cách chọn vì e   2, 4, 6
Chọn số ở vị trí a có 5 cách chọn.
Chọn b, c, d chọn trong 5 số còn lại nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp
chập 3 của 5 phần tử nên có: A53  900 cách.
Theo quy tắc cộng có 360  900  1260 số
b) Bài tập vận dụng cao
13

Bài tập 7: Một lớp học có 40 học sinh, cần bầu một ban cán sự lớp gồm một lớp
trưởng, một lớp phó và 2 uỷ viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự.
Đây là một bài toán kết hợp giữa chỉnh hợp, tổ hợp và quy tắc nhân. Sai
lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán này thường là giải như sau:
- Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó có C 402  780 cách
- Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại có C 382  703 cách
Vậy theo quy tắc nhân có 780  703  548340 cách chọn.
Như vậy sai lầm ở đây là học sinh chưa hiểu đúng và phân biệt đúng về
chỉnh hợp và tổ hợp. Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó thì đã
có sự phân biệt về chức vụ (tức là phân biệt về thứ tự) vì vậy mỗi cách chọn là
một chỉnh hợp cập 2 của 40 phần tử chứ không phải là tổ hợp chập 2 của 40
phần tử.Vì vậy cách giải đúng là:
Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó trong 40 học sinh, mỗi
cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 40 phần tử nên có

2
A40
 1560

cách chọn

Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập
2 của 38 phần tử nên có C 382  703 cách chọn
Như vậy theo quy tắc nhân có 1560  703  1096680 cách chọn.
Bài tập 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số sao
cho chữ số 1 và chữ số 6 có mặt đúng 2 lần, còn các chữ số khác có mặt một lần.
Đây là một bài toán kết hợp giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, cũng là
một bài toán đa dạng về cách giải.
Cách 1
Xem mỗi số là một cách sắp xếp các chữ số vào các vị trí theo yêu cầu bài
ra. Trước tiên ta chọn ví trí cho hai chữ số 1, sau đó là vị trí cho hai chữ số 2,
cuối cùng là các chữ số còn lại 3, 4, 5, 6. Khi đó:
Chọn 2 vị trí trong 8 vị trí, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của 8 phần
tử nên có C82  28 cách chọn vị trí để viết chữ số 1

14

Chọn 2 vị trí trong 6 vị trí còn lại, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của
6 phần tử nên có C 62  15 cách chọn vị trí để viết chữ số 6
Còn lại bốn vị trí tương ứng với 4 số còn lại nên mỗi cách là một hoán vị
của 4 phần tử nên có P4  4! cách viết các số còn lại.
Theo quy tắc nhân có 28.15.4  180080 số
Cách 2
Nếu coi 2 chữ số 6 là khác nhau và 2 chữ số 1 là khác nhau thì số cần tìm
là số có 8 chữ số được thành lập từ tập có 8 chữ số đã cho, do đó mỗi số là một
hoán vị của 8 chữ số nên số các số là

P8  8! .

Nhưng các chữ số giống nhau khi

bị đổi chỗ cho kết quả là một tức là do chữ số 1 có mặt 2 lần và chữ số 6 có mặt
2 lần nên số kết quả cần tìm phải giảm đi 4 lần. Vậy có 8!  10080 số
4

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ tập hợp sáu chữ số trên có thể:
a) Lập được bao nhiêu số mỗi số có năm chữ số đôi một khác nhau?
b) Lập được bao nhiêu số mỗi số có năm chữ số đôi một khác nhau và
trong đó nhất thiết có mặt chữ số 5?
Bài 2: Từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có bốn
chữ số đôi một khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
Bài 3: Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có ba chữ
số đôi một khác nhau sao cho
a) Số tạo thành là số chẵn.
b) Số tạo thành không có mặt chữ số 7.
c) Số tạo thành nhỏ hơn số 278.
Bài 4: Viết các số có sáu chữ số từ các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi
số có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có
bao nhiêu số như vậy?
Bài 5: Xét một số gồm chín chữ số trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn
lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
15

a) 5 chữ số 1 kề nhau.
b) Các chữ số được xếp tuỳ ý.
Bài 6: Cho hai đường thẳng song song a và b . Trên a có 10 điểm phân biệt ;
trên b có 20 điểm phân biệt. Hỏi từ các điểm trên :
a) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
b) Có bao nhiêu hình thang được tạo thành?
4. Kiểm nghiệm
Qua quá trình triển khai, áp dụng đề tài trên, kết quả cho thấy :
+) Học sinh đã biết nhìn nhận đúng, hiểu rõ được bản chất của các khái
niệm trong bài; biết phân biệt được các khái niệm; biết áp dụng các khái niệm và
tính chất vào các bài toán.
+) Học sinh đã biết chọn lựa phương pháp phù hợp cho mỗi bài toán cụ thể.
Biết vận dụng linh hoạt các phương pháp vào các bài toán phù hợp.
So sánh giữa hai năm học : năm 2011- 2012 (khi chưa áp dụng đề tài) và
năm 2012 - 2013 (khi đã áp dụng đề tài), tôi nhận thấy đã có sự thay đổi rõ rệt
về chất lượng của học sinh. Cụ thể thể hiện qua bài kiểm 45 phút của phần Tổ
hợp trong chương: Tổ hợp và Xác suất (tiết 32 theo phân phối chương trình), kết
quả thu được là:
Năm học
2011-2012
2012-2013

Số học sinh
87
45

Điểm

Điểm

Điểm

khá, giỏi
21,8%
40%

trung bình
46%
48,9%

yếu, kém
32,2%
11,1%

Rõ ràng đây là một kết quả khả quan và đã có sự thay đổi đáng kể về chất
lượng (tỷ lệ điểm khá, gỏi, trung bình tăng, tỷ lệ điểm yếu kém giảm) sau khi áp
dụng đề tài.

16

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận
Trên đây là những ý kiến, kinh nghiệm của tôi trong quá trình dạy học. Với
tuổi đời và tuổi nghề còn non trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi không tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong được các đồng chí chỉ bảo và chia sẽ kinh
nghiệm giúp tôi ngày tiến bộ hơn trong công tác, phát triển hơn chuyên môn
nghiệp vụ.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
2. Đề xuất
Tôi mong muốn được Sở GDĐT, nhà trường cung cấp cho chúng tôi một số
SKKN đã được Sở, nhà trường đánh giá là có chất lượng của những năm học
trước để chúng tôi được học hỏi, nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy
nhằm nâng cao chất lượng dạy học.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Thị Bích Huệ

17

PHỤ LỤC
BÀI KIỂM TRA (tiết 32)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: HS nắm vững, hiểu rõ các kiến thức về:
- Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Nhị thức Nưu-tơn.
2. Về kỹ năng:
- Có khả năng áp dụng các kiến thức lý thuyết ở trong chương để giải các bài
toán thuộc dạng cơ bản trình bày trong bài tập.
3. Về tư duy - thái độ:
- Rèn luyện tư duy logic, tư duy tổng hợp.
- Rèn luyện thái độ nghiêm túc, cẩn thận, tính chính xác.
II. MA TRẬN MỤC TIÊU GIÁO DỤC
Chủ đề
Tầm quan trọng
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
70
Nhị thức Nưu-tơn
30
100%

Trọng số
3
2

Tổng
210
60
270

III. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA
Tên chủ đề

Nhận biết

Hoán vị, chỉnh 1
hợp, tổ hợp
Nhị thức
Nưu-tơn
1
Tổng

1
2
1
2
2

Vận dụng
Tổng
Cấp độ thấp Cấp độ cao
1
1
4
2
2
2
8
1
2
2
1
1
5
4
2
2
10

Thông hiểu

18

SỞ GD &ĐT THANH HÓA

ĐỀ KIỂM TRA MÔN LỚP 11(BAN KHTN)

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

Bài số 3 - Học Kỳ I - Năm học 2012- 2013

(Thời gian làm bài: 45 phút )
ĐỀ BÀI
Bài 1: (4 điểm) Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a) Có 5 chữ số khác nhau.
b) Chia hết cho 5 có 5 chữ số khác nhau.
Bài 3: (2 điểm) Xếp 12 cuốn sách khác nhau gồm: 5 sách văn, 4 sách toán, 3 sách anh
thành một hàng trên giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp mà các sách cùng loại kề nhau.
Bài 2: (2 điểm) Một tập thể gồm 8 nam 6 nữ. Cần chọn ra một tổ 5 người. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn trong đó có cả nam lẫn nữ.
1
x

Bài 4: (2 điểm) Tìm số hạng tự do trong khai triển ( x 2  )12
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu

Nội dung

Điểm
0,5 điểm

Gọi số cần tìm là: abcde
Ta có: a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn.
bcde được chọn trong 6 số còn lại, mỗi cách chọn là một 1 điểm
1a

1b

chỉnh hợp chập 4 của 6 nên số cách chọn bcde là A64

Vậy có: 6. A64 số các số có 5 chữ số khác nhau lập từ các 0,5 điểm
chữ số trên.
Gọi số cần tìm là: abcde
0,5 điểm
Ta có: Vì abcde 5 nên e có 2 cách chọn: {0; 5}
Trường hợp 1: e = 0
abcd được chọn trong 6 số còn lại, mỗi cách chọn là một
0,5 điểm
chỉnh hợp chập 4 của 6 nên số cách chọn abcd là A64
Trường hợp 1: e = 5
Do a ≠ 0 nên a có 5 cách chọn
0,5 điểm
bcd được chọn trong 5 số còn lại, mỗi cách chọn là một
chỉnh hợp chập 3 của 5 nên số cách chọn bcd là A53
19

=> có 5. A53

2

3

Vậy có: A64 + 5. A53 số các số có 5 chữ số khác nhau lập từ
các chữ số trên.
Do các sách cùng loại xếp kề nhau nên xem mỗi loại là một
phần tử lớn, khi đó có 3 phần tử và mỗi cách xếp của 3
phần tử này là một hoán vị nên có P3 = 3! = 6 cách xếp.
Đối với phần tử lớn văn gồm 5 phần tử nhỏ, mỗi cách
xếp phần tử này là một hoán vị của 5 phần tử nên số cách
xếp trong phần tử này là: P5 = 5! = 120 cách xếp
Đối với phần tử lớn toán gồm 4 phần tử nhỏ, mỗi cách
xếp phần tử này là một hoán vị của 4 phần tử nên số cách
xếp trong phần tử này là: P4 = 4! = 24 cách xếp
Đối với phần tử lớn anh gồm 3 phần tử nhỏ, mỗi cách
xếp phần tử này là một hoán vị của 3 phần tử nên số cách
xếp trong phần tử này là: P3 = 3! = 6 cách xếp
Vậy có: 6.6.120.24 =
Ta có: Chọn 5 h/s trong tổng số 14 h/s, mỗi cách chọn là
một tổ hợp chập 5 của 14 nên có: C145 cách chọn.
Chọn 5 h/s nữ trong 6 h/s nữ, mỗi cách chọn là một tổ hợp
chập 5 của 6 nên có: C 65 cách chọn.
Chọn 5 h/s nam trong 8 h/s nam, mỗi cách chọn là một tổ hợp
chập 5 của 8 nên có: C85 cách chọn h/s nam.
Vậy có C145  C85  C 65 cách chọn 5 h/s trong đó có cả nam lẫn nữ.

4

1
x

12

2
12
k
24 2 k
.
Ta có: ( x  )   C12 .x
k 0

12

1
  C12k .x 243k
k
x
k 0

Số hạng tự do là số hạng mà: 24 – 3k = 0 <=> k = 8
Nên số hạng tự do là: C128

0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
1 điểm

20