Ôn thi đại học môn toán chuyên đề tích phân
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
TÍCH PHAÂN
Chuyeân ñeà 4:
Vaán ñeà 1:
BIEÁN ÑOÅI VEÀ TOÅNG – HIEÄU CAÙC TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Söû duïng ba tích chaát sau ñeå bieán ñoåi tích phaân caàn tính thaønh toång – hieäu caùc
tích phaân cô baûn
1/
b
b
a
a
k.f(x)dx k f(x)dx
b
c
b
a
a
c
2/
b
b
b
a
a
a
f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx
3/ f(x)dx f(x)dx f(x)dx
BAÛNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp
(u = u(x))
1. dx x c;
2. x dx
3.
kdx kx c
x1
c, ( 1)
1
dx
ln x c
x
4. ex dx ex c
5. ax dx
ax
c (0 a 1)
ln a
1. u u'dx
2.
u1
c ; ( 1)
1
u'
u dx ln u c
3. eu u'dx eu c
4. au u'dx
au
c (0 a 1)
ln a
5. u'cos udx sin u c
6. cosxdx sin x c
6. u'sin udx cos u c
7. sin xdx cosx c
7.
cos2 udx tan u c
8.
sin2 u dx cot u c
8.
9.
dx
cos2 x tan x c
dx
sin2 x cot x c
10. tan xdx ln cosx c
11. cot xdx ln sin x c
124
u'
u'
9. u'tan udx ln cos u c
10. u'cot udx ln sin u c
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Ñaëc bieät: u(x) = ax + b; f(x)dx F(x) c
1. (ax b) dx
2.
dx
1 (ax b)1
c
a
1
7.
1
ax b a ln ax b c
dx
1
cos2 (ax b) a tan(ax b) c
8.
1
3. eax b dx eax b
a
1
4. axdx ln x c
1
5. cos(ax b)dx sin(ax b) c
a
1
6. sin(ax b)dx cos(ax b) c
a
1
f(ax b)dx a F(ax b) c
dx
1
cot(ax b) c
a
sin (ax b)
2
1
ln cos(ax b) c
a
1
10. cot(ax b)dx ln sin(ax b) c
a
dx
1
xa
11. 2
ln
c
2
2a
x
a
x a
9. tan(ax b)dx
B – ÑEÀ THI
Baøi 1: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011
Tính tích phaân I
2
1
2x 1
dx
x(x 1)
Giaûi
I=
2
(x 1) x
x(x 1) dx =
1
2
1
1
2
6
x 1 x dx = ln x(x 1)1 ln 2 ln3 .
1
Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010
1
2x 1
dx
x 1
0
Tính tích phaân: I
Giaûi
1
1
1
2x 1
3
dx = 2
dx = 2x 3ln x 1 0 = 2 – 3ln2.
x 1
x 1
0
0
I
Baøi 3: CAO ÑAÚNG GTVT III KHOÁI A NAÊM 2007
2
Tính caùc tích phaân sau: I
1
x4 x3 3x2 2x 2
x2 x
dx
Giaûi
Chia töû cho maãu, ta ñöôïc:
125
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
x4 x3 3x2 2x 2
x2 3
2
x x
2
1
2
I x2 3
dx
x 1 x
1
x2
2
x x
= x2 3
1
2
x 1 x
2
x3
3x ln x 1 2 ln x
3
1
16
3
ln
3
8
I=
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ – COÂNG NGHIEÄP TPHCM NAÊM 2007
Tính tích phaân: I(x)
x
1
dt
, vôùi x > 1. Töø ñoù tìm lim I(x)
x
t(t 1)
Giaûi
I(x) =
x
x
x
dt
1
t
1
t t 1 t t 1 dt = ln t ln t 1 1 ln t 1 1
1
1
= ln
x
x
1
ln
x 1
2
x
1
lim I x lim ln
ln ln 2
x
x x 1
2
Baøi 5: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005
4
tan x e
Tính tích phaân:
sin x
cos x dx
0
Giaûi
4
4
4
0
0
4
0
ln 2 e
I tan x esin x .cos x dx tan xdx sin x 'esin x dx
0
= ln cosx 4 +
0
e sin x
2
2
1.
Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Tính tích phaân: I
3
1
dx
x x3
Giaûi
I
1
126
3
dx
x x3
1
3 1 x
2
x
2
x(1 x2 )
dx
1
3 1
3 1 1 2x
x
x 2
dx 1 x 2 2
dx
x 1
x 1
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
1
3
3
ln x ln(x2 1)
ln x ln x2 1
2
1
1
x
ln
3
1 x 1
2
3
1
6
ln
ln
2
2
2
ln
Baøi 7:
Tính tích phaân : I =
2
x
2
x dx .
0
Giaûi
2
1
0
0
2
Tính I x2 x dx x2 x dx x2 x dx
Do :
x
0
1
1
2
x x
2
0
+
21 3
22
3
I x x x x 1.
2 0 3
2 1
3
Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 3
a
Cho haøm soá: f(x) =
3
x 1
bxex .
Tìm a vaø b bieát raèng f’(0) = 22 vaø
1
f(x)dx 5
0
Giaûi
Ta coù: f(x)
f (x)
1
a
(x 1)3
3a
4
(x 1)
1
bx.ex
bex (x 1) f (0) 3a b 22 (1)
1
1
a
3a
x
x
f(x)dx a(x 1) dx b xe 2(x 1)2 b(xe e ) 8 b 5 (2)
0
0
0
0
3
x
3a b 22
a 8
(1) vaø (2) ta coù heä: 3a
.
b5
b 2
8
127
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Vaán ñeà 2:
TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
ÑOÅI BIEÁN SOÁ LOAÏI I
1. Söû duïng coâng thöùc:
b
a
f[u(x)].u(x)dx f(u)du
b
2. Phöông phaùp: Xeùt tích phaân I f(x)du
a
-
Ñaët t = u(x) dt = u'(x)dx
Ñoåi caän u(a) = t1 ; u(b) = t2
Suy ra: I
t2
t2
g(t)dt g(t) t
1
t1
(g(t) f[u(x)].u(x))
Thöôøng ñaët aån phuï t laø
caên thöùc, hoaëc muõ cuûa e, hoaëc maãu soá, hoaëc bieåu thöùc trong ngoaëc.
dx
coù sinxdx ñaët t = cosx, coù cosxdx ñaët t = sinx, coù
ñaët t = lnx.
x
ÑOÅI BIEÁN SOÁ LOAÏI II
b
a
/
f((t)) (t)dt f(x)dx ; x (t); () a, () b
Coâng thöùc:
b
Tính: I f(x)dx
a
Ñaët x (t) dx (t)dt
Ñoåi caän:
x (t); () a, () b
b
Khi ñoù: I f((t)).(t)dt f(x)dx
a
Caùc daïng thöôøng gaëp: 1.
b
a2 x2 dx ñaë t x asin t
a
2.
b
a
dx
a2 x2
ñaë t x asin t
3.
b
dx
a2 x2
a
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011
128
ñaë t x a tan t
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
4
Tính tích phaân : I
xsin x x 1 cos x
xsin x cos x
0
dx.
Giaûi
4
4
xsin x cos x x cos x
x cos x
dx 1
dx
xsin
x
cos
x
x
sin
x
cos
x
0
0
Ta coù: I
x 04
4
4
x cos x
x cos x
dx
dx
xsin
x
cos
x
4
xsin
x
cos
x
0
0
Ñaët t = xsinx + cosx dt = xcosxdx.
Khi x = 0 thì t = 1, x =
Suy ra: I
4
2
thì t =
1
2 4
4
2
1
2 4
1
dt
ln t
t
4
2
1
2 4
1
2
ln
1 .
4
2 4
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011
4
Tính tích phaân: I
0
4x 1
2x 1 2
dx.
Giaûi
Ñaët: t 2x 1 2 2x 1 t 2 2x 1 t 2 4t 4
t 2 4t 3
dx = (t – 2)dt.
2
x = 0 t = 3, x = 4 t = 5.
x
54
Suy ra: I
3
=
t 2 4t 3
1
2
t 2 dt =
t
5
5
3
2t2 8t 5 t 2 dt
t
5
2t 3 12t 2 21t 10
10
dt = 2t 2 12t 21 dt
t
t
3
3
2t 3
=
6t 2 21t 10 ln t
3
5
34
3
10 ln .
=
3
5
3
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010
129
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Tính tích phaân: I =
e
ln x
x(2 ln x)2 dx
1
Giaûi
1
Ñaët u ln x du dx , x = 1 u = 0, x = e u = 1
x
1
1
1
2
2
du
du
ln
2
u
2 u 2 u 2
2
2 u0
0 2 u
0
1
I
u
2
3 1
ln3 ln 2 1 ln .
3
2 3
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009
3
dx
1e
x
Tính tích phaân: I
1
.
Giaûi
dt
Ñaët t = ex dx =
; x = 1 t = e; x = 3 t = e3
t
I
e3
e
e3
dt
1
e3
1
dt ln t 1 ln t
e
t t 1 e t 1 t
e3
e
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008
6
tan 4 x
dx
cos2x
0
Tính tích phaân: I
Giaûi
Caùch 1: Ñaët t = tanx dt = (1 + tan2x)dx
cos2x
1 t2
1 t2
Ñoåi caän: x = 0 t = 0; x
Khi ñoù: I
3
3
3
3
1 t 2 dt t
0
130
t
4
3
t
6
3
0
2
1
1
dt
1 t2
ln e2 e 1 2
dt
1 t2
dx
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
t3
1 1 t
t ln
2 1 t
3
3 1
3 1 10
3 ln
2
3 1 9 3
0
Caùch 2:
6
6
4
6
tan x
tan x
tan 4 x
dx
dx
cos2 x(1 tan2 x) dx
2
2
cos2x
0
0 cos x sin x
0
Ta coù: I
Ñaët: t = tanx dt
4
dx
cos2 x
Ñoåi caän: x = 0 t = 0; x
Khi ñoù: I
3
3
t4
3
t
6
3
1
1 t 2 dt 2 ln
0
3 1
3 1
10
9 3
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008
sin x dx
4
Tính tích phaân: I
sin
2x
2(1
sin
x cos x)
0
4
Giaûi
sin x dx
4
Tính tích phaân: I
sin 2x 2(1 sin x cos x)
0
4
Ñaët t = sinx + cosx dt (cosx sin x)dx 2 sin x dx
4
Ñoåi caän: x = 0 t = 1; x t 2
4
2
2
2
Ta coù: t = sin x + cos x + 2sinxcosx = 1 + sin2x sin2x = t2 – 1
Khi ñoù: I
2
2
2
1
dt
2
t 1 2(1 t)
2
2
2
dt
(t 1)2
1
2 1
2 1
1 43 2
2
.
.
2 t 1 1
2 2 1 2
4
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI B NAÊM 2007
1
Tính tích phaân: I
0
1
2
x x 1
dx
131
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Giaûi
1
1
I =
dx
2
1
3
0
x
2
4
Ñaët x
1
3
3
tan t, t ; dx
1 tan2 t dt
2 2
2
2 2
3
I=
6
3
1 tan 2 t
2
dt
3
3 3
1 tan2 t
4
Baøi 6: CAO ÑAÚNG XAÂY DÖÏNG SOÁ 2 NAÊM 2007
Tính tích phaân: I =
e
dx
1 x 3 1 ln x
Giaûi
Ñaët: t 3 1 ln x lnx = t3 – 1,
dx
3t 2 dt
x
Ñoåi caän: x = 1 t = 1; x = e t 3 2
I
32
1
3tdt
3t 2 3 2 33 4 3
2 1
2
Baøi 7: CAO ÑAÚNG COÂNG NGHIEÄP THÖÏC PHAÅM NAÊM 2007
Tính tích phaân:
1
x 1
0 x2 1 dx
Giaûi
1 1
1 xdx
1 dx
1
I 2
I1 I2 ; I1 ln(x2 1) ln 2 .
0 x 1 0 x2 1
0 2
2
dt
Ñaët x = tant, t 0, , dx
4
cos2 t
I2 4 dt
0
1
. Vaäy I ln 2
2
4
4
Baøi 8: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN NAÊM 2007
2
sin x
dx
cos2x
cos x
Tính tích phaân: I
3
132
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giaûi
Ñaët t = cosx dt = sinxdx
x
3
2
1
0
t
2
I=
0
dt
2t 2 t 1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
dt
3 dt
2
2t
t
1
0
0 t 1 2t 1
1
1
1
1
I = ln t 1 ln 2t 1 02 ln 4
3
3
Baøi 9: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Tính tích phaân: I =
6
dx
2x 1
2
4x 1
Giaûi
Ñaët t 4x 1 x
2
t 1
1
dx tdt
4
2
t
5
5
dt
1
t
1
dt
I 2 2
dt
2
t 1 (t 1)2
3 2. t 1 1 t
3 (t 1)
3
4
1 5
3 1
ln t 1
3 ln 2 12
t
1
5
Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Tính tích phaân: I =
10
dx
x2
5
x 1
Giaûi
Ñaët t = x 1 t x 1 dx 2tdt vaø x = t2 + 1
x 5
10
Ñoåi caän
t 2
3
2
Khi ñoù: I =
3
1
1
2
t 2 2t 1 t 1 t 12 dt
2
2
3
2tdt
3
2
= 2 ln t 1
2 ln 2 1
t
1 2
133
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
2
sin2x
Tính tích phaân: I
2
cos x 4sin2 x
0
dx
Giaûi
2
Ta coù: I
0
2
sin2x
sin2x
dx =
cos2 x 4sin2 x
1 3sin2 x
0
dx
Ñaët t = 1 + 3sin2x dt = 3sin2xdx.
Vôùi x = 0 thì t = 1, vôùi x =
4
4
1 dt 2
2
thì t = 4 I
t
31 t 3 1 3
2
Baøi 12: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Tính tích phaân: I
ln 5
dx
ln 3 e
x
2e x 3
Giaûi
I
ln 5
ln 3 e
ln 5
dx
x
2e
x
3
x
e dx
2x
ln 3 e
3ex 2
Ñaët t = ex dt = ex dx . Vôùi x = ln3 t = 3 ; vôùi x = ln5 t = 5.
5
5
dt
1
t2
1
dt = ln
(t 1)(t 2) 3 t 2 t 1
t 1
3
I
Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005
Tính tích phaân: I =
2
sin 2x sin x
0
1 3cos x
dx
Giaûi
2
I
0
(2 cos x 1)sin x
1 3cos x
dx .
t2 1
cos x
3
Ñaët t = 1 3cos x
3sin x
dt
dx
2 1 3cos x
x = 0 t = 2, x =
t = 1.
2
134
5
3
ln
3
2
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
1
2
t2 1 2
2
I = 2
1 dt 2t 2 1 dt
3
3
91
2
2
2 2t 3
2 16
2 34
=
t 2 1 .
9 3
9
3
3 27
1
Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005
2
sin 2x cos x
dx .
1 cos x
0
Tính tích phaân: I
Giaûi
2
sin 2x cos x
dx . Ñaët t = 1 + cosx dt = sinxdx.
1
cos
x
0
Ta coù I 2
t = 1.
2
x = 0 t = 2, x =
1
2
(t 1)2
1
(dt) 2 t 2 dt
t
t
2
1
I 2
2
1
= 2 (2 4 ln 2) 2 2 ln 2 1 .
2
1
t2
= 2 2t ln t
2
Baøi 15: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
3
Tính tích phaân: I sin2 x.tan xdx
0
Giaûi
3 sin2 x tan xdx
0
I
sin x
3 sin2 x
dx
0
cosx
Ñaët t = cosx dt = sinxdx dt = sinxdx, sin2x = 1 – t2
Ñoåi caän
x 0
3
1
t 1
2
1
I 2
1
1
11
(1 t 2 )
t2
3
dt 1 t dt ln t ln 2
t
t
2 1
8
2
2
135
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 16: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
7
x2
Tính tích phaân: I 3
dx
0 x 1
Giaûi
7
x2
I3
dx
0 x 1
Ñaët t 3 x 1 t3 x 1 3t 2dt dx x 2 t 3 1
x 0
7
Ñoåi caän:
t 1
2
2 3
2
2
t5 t2
t 1 2
231
I
3t dt 3 t 4 t dt 3
t
5 2 1 10
1
1
Baøi 17: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Tính tích phaân: I
e3
x
1
ln2 x
lnx 1
dx .
Giaûi
I
2
e3
1
ln x
x ln x 1
dx
dx
2tdt
Ñaët t ln x 1 t = lnx + 1 x
.
ln x 1 t 2
2
Ñoåi caän
I
x 1
e3
t 1
2
2 (t 2
1
t5 2
2 76
2
1)2
2tdt 2 (t 4 2t 2 1)dt = 2 t 3 t
5 3
1 15
1
t
Baøi 18:
2
Tính tích phaân: I
1
x
1 x 1
dx.
Giaûi
Ñaët t =
136
x 1 t = 0
x 1 t2 = x 1 2tdt = dx. Ñoåi caän
x = 2 t = 1
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
1
Vaäy I
t2 1 2t dt 21 t3 t dt 21 t2 t 2
1 t
0
0
t 1
0
2
dt
t 1
1
t3 t 2
11
I 2 2t 2ln | t 1| 4ln2 .
3
2
0 3
Baøi 19:
e
Tính tích phaân: I
1
1 3lnx.ln x
dx .
x
Giaûi
Ñaët t 1 3lnx t 2 1 3lnx 2tdt =
3dx
x
x e t = 2
Ñoåi caän
x 1 t = 1
2 2
2
t 1 2tdt 2 4 2
2 t 5 t 3 2 116
I t
t t dt
3 3
91
9 5 3 1 135
1
Baøi 20: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
2
Tính tích phaân: I
0
x4 x 1
x2 4
dx.
Giaûi
I=
2
0
2
x4 x 1
x
17
dx x2 4 2
2
dx
2
x 4
x 4 x 4
0
x3
1
= 4x ln x2 4
2
3
Tính: I1 =
2
2
2
dx
.
17 2
0
0x 4
dx
2
x2 4 . Ñaët x = 2tant dx = 2(tan x + 1)dt
0
x 0
Ñoåi caän:
t 0
4
2
4
2
tan t 1
1
4
dt dt
I1 = 2
2
2
2
8
4
tan
t
1
0
0
0
4
x3
1
Vaäy I = 4x ln x2 4
2
3
2
17
16
ln 2
17. =
8
3
8
0
137
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 21:
2 3
Tính tích phaân: I
5
dx
x x2 4
.
Giaûi
Tính tích phaân I
2 3
dx
2
x x 4
5
. Ta coù I
2 3
5
dx
2
x x 4
2 3
5
xdx
x
2
x2 4
xdx
Ñaët t x2 4 t 2 4 x2 dt =
x2 4
x 2 3 t = 4
Ñoåi caän
x 5 t = 3
4
dt
Vaäy I
3t
2
4
1 t 2 4 1 1
1 1 5
ln
ln ln ln .
4 t 2 3 4 3
5 4 3
Baøi 22: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Tính tích phaân: I
ln3
e2x dx
ex 1
ln2
.
Giaûi
I
ln 5
ln 2
e
2x
dx . Ñaët t =
e 1
x
x ln 2
Ñoåi caän:
t
1
ex 1 t2 = ex – 1 2tdt = exdx vaø ex = t2 + 1
2
2 t 2 1 .2tdt
ln 5
t3
20
I
2 t
2
t
3
3
1
1
Baøi 23:
4
1 2sin2 x
dx .
1 sin 2x
0
Tính tích phaân: I
Giaûi
4
4
cos2x
1 d 1 sin 2x 1
1
dx
ln 1 sin 2x 4 ln2 .
1
sin
2x
2
1
sin
2x
2
2
0
0
0
Ta coù I
Baøi 24: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Tính tích phaân: I
138
ln3
ex dx
0
e 1
x
3
.
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giaûi
I
ln 3
ex
0
ex 1
3
4
Khi ñoù I
dt
3
2 2
t
dx . Ñaët t ex 1 dt ex dx ; Ñoåi caän:
x 0 ln3
t 2
4
4
2
t
2 1
2
Baøi 25: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
2
6
Tính tích phaân: I 1 cos3 x sin x cos5 xdx
0
Giaûi
2
2
6
6
I 1 cos3 x sin x cos5 xdx 1 cos3 x.cos3 x.sin x.cos2 xdx
0
0
6
Ñaët t 1 cos3 x t 6 1 cos3 x 6t 5dt 3sin x cos2 xdx
2t5dt = sinxcos2xdx vaø cos3x = 1 – t6
Ñoåi caän;
x 0
t 0
2
1
1
I t. 1 t
0
6
1
2t dt 2t
5
0
6
12
2t
1
2
2t13
12
dt t 7
13
91
7
0
Baøi 26: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM
2
Tính tích phaân: I x sin 2xdx
0
Giaûi
du dx
u x
cos2x
dv sin2xdx v
2
2
2
1 s in2x 2
x cos2x
cos2xdx
Vaäy: I =
20
4 2 2 0 4
2
0
139
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Vaán ñeà 3: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP
TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
b
u(x).v(x)dx u(x).v(x)
Coâng thöùc:
b
a
a
b
b
a
udv uv
Vieát goïn:
a
b
v(x).u(x)dx
a
b
vdu
a
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
3
Tính tích phaân: I
1 x sin x
cos2 x
0
dx.
Giaûi
3
Ta coù: I
0
1 xsin x
2
cos x
3
0
Tính J =
x sin x
1
dx
2
0 cos x
3
tan x
3
3
0
cos2 x dx
xsin x
2
cos x
3
dx
xsin x
2
0 cos x
3
dx 3
0
xsin x
cos2 x
dx
dx .
baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.
0
Ñaët: u = x du = dx
sin x
1
dv =
dx, choïn v =
2
cos x
cos x
3
3
3
1
2
1
x
Suy ra: J =
cos x dx = 3 cos x dx
cos
x
0 0
0
Tính K =
3
1
3
cos x
cos x dx 1 sin2 x dx
0
0
Ñaët t = sinx dt = cosxdx.
140
baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá.
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Suy ra: K
3
2
0
1 1 t
ln
2
2 1 t
1 t
Vaäy I =
3
2
dt
0
1 2 3
ln
2 2 3
2
1 2 3
ln
ln 2 3 .
2 4 3
2
3
ln 2 3 .
3
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009
3
Tính tích phaân: I
1
u 3 ln x dv
I
3
3 ln x
x 12
dx
x 12
dx
Giaûi
1
1
; du dx v
x
x 1
3
3 ln x
dx
x 1 1 1 x x 1
3
3
3 ln3
1
27
3 ln3 3
1
dx
3
3
ln x ln x 1 3 ln
dx
1
1
4
2 1x
x 1
4
4
16
1
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008
2
Tính tích phaân: I
1
ln x
x3
dx .
Giaûi
2
Tính tích phaân: I
1
I
u ln x
dx
1
dx . Ñaët:
, choïn v 2
dx du
3
x
2x
x
dv 3
x
ln x
2 2 1
1
1 2
1
3 3 2 ln 2
ln
x
3 dx = ln 2 2 ln 2
.
2
1 1 2x
8
8
16
16
2x
4x 1
1
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007
e
Tính tích phaân: I x3 ln2 xdx
1
Giaûi
141
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Tính tích phaân
x4
2 ln x
.
dx; dv = x3dx v
x
4
Ñaët u = ln2x du
Ta coù: I
e
x4
dx
, dv = x3dx, choïn v
. Ta coù
x
4
Ñaët u = lnx du
e
e
x4 2 e 1 3
e4 1 3
.ln x x ln xdx
x ln xdx
1
4
21
4 2 1
e
e
x4
1 3
e4 1 4
x
ln
xdx
ln
x
x
dx
x
4
4 1
4 16
1
3
1
Vaäy I
e
1
3e4 1
.
16
5e4 1
32
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
1
Tính tích phaân: I (x 2)e2x dx .
0
Giaûi
Tính tích phaân.
1
1
u x 2
I (x 2)e2x dx . Ñaët
du dx, choï n v = e2x
2x
2
dv e dx
0
1
I (x 2)e2x
2
1
1
0
1 2x
e2
1
e dx = 1 e2x
20
2
4
1
0
Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
2
Tính tích phaân: I = (x 1)sin 2x dx
0
Giaûi
u x 1
1
Ñaët
du dx, choï n v cos2x
2
dv sin 2xdx
I
x 1
cos2x 02
2
2
1
cos2xdx 1
2 0
4
Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
142
5 3e2
4
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
2
Tính tích phaân: I = (x 2)ln xdx
1
Giaûi
1
x2
u ln x
Ñaët
du dx, choï n v
2x
x
2
dv x 2 dx
2
2
x2
5
x
I=
2x ln x 2 dx 2 ln 2
2
4
2
1 1
Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005
2
Tính tích phaân: I 2x 1 cos2 xdx .
0
Giaûi
2
2
I (2x 1)cos2 x.dx (2x 1)
0
0
2
2
1
1
(2x 1)dx (2x 1)cos2x.dx
20
20
2
1 cos2x
dx
2
Tính I1 (2x 1)dx x2 x 02
0
2
4 2
2
Tính I2 (2x 1)cos2x.dx .
0
u 2x 1
1
Ñaët
du 2dx choï n v sin2x
2
dv cos2xdx
2
2
1
1
2
I2 (2x 1)sin 2x sin 2xdx cos2x 1
2
2
0
0
0
1
1
2 1
I I1 I2
.
2
2
8 4 2
143