Ôn thi đại học môn toán chuyên đề tổ hợp và xác suất

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

 Chuyeân ñeà 11:

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP VAØ XAÙC SUAÁT
SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC Pn ,Ank ,Cnk

 Vaán ñeà 1:

A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
1. HOAÙN VÒ
Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû: Pn =n!
2. CHÆNH HÔÏP:
Soá chænh hôïp: Am
n  n(n  1)(n  2)...(n  m  1)
Am
n 

n!
(n  m)!

 Ñieàu kieän: n  m vaø n, m nguyeân döông
3. TOÅ HÔÏP:
n(n  1)(n  2)...(n  m  1)
Soá toå hôïp:
Cm
n 
1.2.3...m
n!
Cm
n 
m!(n  m)!
n  m
 Ñieàu kieän: 
n, m nguyeâ n döông
Ta coù coâng thöùc:
n m
1/ Cm
n  Cn

1
m
m
2/ Cm
n 1  Cn 1  Cn

3/ C0n  C1n  C2n  .....  Cnn  2n

Soá taäp hôïp con cuûa taäp hôïp n phaân töû laø 2n.
B.ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008
Chöùng minh raèng

n 1  1
1  1
 k  k 1   k
n  2  Cn 1 Cn 1  Cn

(n, k laø caùc soá nguyeân döông, k  n, Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Ta coù:

n 1  1
1  n  1 k!(n  1  k)! (k  1)!(n  k)!
.
 k  k 1  
n  2  Cn 1 Cn 1  n  2
(n  1)!



300

1 k!(n  k)!
.
(n  1  k)  (k  1)
n2
n!



k!(n  k)! 1
 k
n!
Cn

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n  4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû cuûa
A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A.
Tìm k  {1, 2…, n} sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát.
Giaûi
Soá taäp con k phaàn töû cuûa taäp hôïp A baèng Cnk .
Töø giaû thieát suy ra: C4n  20C2n  n2  5n  234  0  n  18 (vì n  4).
Do

k 1
C18
k
C18



18  k
2
9
9
10
18
 1  k < 9 neân C118  C18
 ...  C18
 C18
 C18
 ...  C18
k 1

Vaäy soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát khi vaø chæ khi k = 9.
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005
Tính giaù trò bieåu thöùc M 

A 4n 1  3A3n
, bieát raèng :
(n  1)!

C2n1  2C2n2  2C2n3  C2n4  149

(n laø soá nguyeân döông, A nk laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû vaø Cnk laø soá toå
hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Ñieàu kieän: n  3.
Ta coù C2n1  2C2n2  2C2n3  C2n4  149
(n  1)!
(n  2)!
(n  3)!
(n  4)!
2
2

 149

2!(n  1)!
2!n!
2!(n  1)! 2!(n  2)!
 n2 + 4n  45 = 0  n = 5 hay n = 9 (loaïi).
6!
5!
 3.
A64  3A35 2!
2!  3 .
suy ra M =

6!
6!
4
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005
Tìm soá nguyeân n lôùn hôn 1 thoûa maõn ñaúng thöùc: 2Pn  6A2n  Pn A2n  12 .
( Pn laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû vaø A nk laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Ta coù:
 12 (n  , n  2)
n!
n!
 2.n! 6.
 n!
 12
(n  2)!
(n  2)!
n!
 n!


(6  n!)  2(6  n!)  0  (6  n!) 
 2  0
(n  2)!
 (n  2)!

6

n!

0

 n!  6
n  3
  n!



20
 n(n  1)  2  0
n  2
 (n  2)!
2Pn  6A2n

 Pn A2n

301

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

 Vaán ñeà 2:

PHEÙP ÑEÁM VAØ XAÙC SUAÁT
A.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

1. NGUYEÂN TAÉC ÑEÁM
2 bieán coá A vaø B
A coù m caùch xaûy ra
B coù n caùch xaûy ra
2 bieán coá A vaø B cuøng xaûy ra coù m  n caùch
Bieán coá A hoaëc B xaûy ra coù m + n caùch
 Chuù yù: Nguyeân taéc treân coù theå aùp duïng cho nhieàu bieán coá.
2. CHUÙ YÙ
 Neáu thay ñoåi vò trí maø bieán coá thay ñoåi ta coù moät hoaùn vò hoaëc moät chænh hôïp.
 Neáu thay ñoåi vò trí maø bieán coá khoâng ñoåi ta coù moät toå hôïp.
XAÙC SUAÁT
1. KHOÂNG GIAN MAÃU
Khoâng gian maãu laø taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra.
Bieán coá A laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu.
2. XAÙC SUAÁT
Neáu caùc phaàn töû cuûa khoâng gian maãu coù cuøng khaû naêng xaûy ra, h laø soá phaân töû
cuûa bieán coá A, n laø soá phaân töû cuûa khoâng gian maãu. Xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra:
h
p(A) 
n
3. CAÙC COÂNG THÖÙC
 Khoâng gian maãu E laø bieán coá chaéc chaén xaûy ra: p(E) = 1
 Bieán coá  laø bieán coá khoâng theå xaûy ra: p () = 0
 Bieán coá keùo theo A  B laø bieán coá A xaûy ra thì bieán coá B xaûy ra: A  B.
P(A)  p(B)
 A  B laø bieán coá (A xaûy ra hay B xaûy ra). p(A  B) = p(A) + p(B)  p(A  B)
 A  B laø bieán coá A vaø B cuøng xaûy ra
 Bieán coá A vaø B ñoái laäp neáu khoâng cuøng xaûy ra. Khi ñoù, ta coù
A  B = ; p(A  B) = 0; p(A  B) = p(A) + p(B)
 Bieán coá A laø ñoái laäp cuûa A: p( A ) = 1  p(A)
 Xaùc xuaát coù ñieàu kieän:
Bieán coá A xaûy ra vôùi ñieàu kieän bieán coá B ñaõ xaûy ra: p(A B) 

p(A  B)
p(B)

hay p(A B) = p(B).p(AB)
 Bieán coá A vaø B ñoäc laäp neáu bieán coá B coù xaûy ra hay khoâng thì xaùc suaát cuûa A
vaãn khoâng ñoåi: p(AB)=p(A)
p(A B) = p(A)p(B)
302

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Ñoäi thanh nieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh, goàm 5 hoïc
sinh lôùp A, 4 hoïc sinh lôùp B vaø 3 hoïc sinh lôùp C.
Caàn choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc khoâng quaù
2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy?
Giaûi
4
Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø C12
 495 .

Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö sau:
 Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp coù 1 hoïc sinh. Soá caùch choïn laø:
C25 .C14 .C13  120

 Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp C, A moãi lôùp coù 1 hoïc sinh. Soá caùch choïn laø:
C15 .C24 .C13  90

 Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp coù 1 hoïc sinh. Soá caùch choïn laø:
C15 .C14 .C32  60

Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø:
120 + 90 + 60 = 270.
Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø 495  270 = 225.
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005
Moät ñoäi thanh nieân tình nguyeän coù 15 ngöôøi, goàm 12 nam vaø 3 nöõ. Hoûi coù bao
nhieâu caùch phaân coâng ñoäi thanh nieân tình nguyeän ñoù veà giuùp ñôõ 3 tænh mieàn nuùi,
sao cho moãi tænh coù 4 nam vaø 1 nöõ?
Giaûi
Coù

4
C13C12

caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát.

Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát thì coù C12 C84
caùch phaân coâng thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù hai.
Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát vaø tænh thöù
hai thì coù C11C44 caùch phaân coâng thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù ba.
Soá caùch phaân coâng thanh nieân tình nguyeän veà 3 tænh thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn
4
laø: C13 .C12
.C12 .C84 .C11.C44  207900 caùch

Baøi 3:
Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu hoûi khoù, 10
caâu hoûi trung bình vaø 15 caâu hoûi deã. Töø 30 caâu hoûi ñoù coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu
ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu hoûi khaùc nhau, sao cho trong moãi ñeà nhaát thieát
phaûi coù ñuû ba loaïi caâu hoûi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu hoûi deã khoâng ít hôn 2?
303

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

Giaûi
Coù 3 tröôøng hôïp xaûy ra.
2 1 2
 Tröôøng hôïp 1: 2 deã + 1trung bình + 2 khoù: C15
C10C5  10.500
2 2 1
 Tröôøng hôïp 2: 2 deã + 2 trung bình + 1 khoù: C15
C10C5  23.625
3 1 1
 Tröôøng hôïp 3: 3 deã + 1 trung bình + 1 khoù: C15
C10C5  22750

2 1 2
2 2 1
3 1 1
Theo qui taéc coäng ta coù: C15
C10 C5 + C15
C10 C5 + C15
C10 C5 = 56875 ñeà

Baøi 4:
Cho ña giaùc ñeàu A1A2 . . . A2n (n  2, n nguyeân) noäi tieáp ñöôøng troøn (O), bieát
raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1, A2, . . . A2n nhieàu gaáp 20 laàn
soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A1, A2, . . . , A2n. Tìm n.
Giaûi
 Soá tam giaùc thoûa maõn ñeà baøi laø C32n .
 Soá ñöôøng cheùo qua taâm ñöôøng troøn laø n, cöù 2 ñöôøng cheùo qua taâm thì coù moät
hình chöõ nhaät suy ra ta coù C2n hình chöõ nhaät.
Theo giaû thieát ta coù C22n  20C2n  n2  9n  8  0
 n = 8 V n = 1 (loaïi). Keát luaän n = 8.
Baøi 5:
Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa moät tröôøng goàm 18 em, trong ñoù coù 7 hoïc sinh
khoái 12, 6 hoïc sinh khoái 11 vaø 5 hoïc sinh khoái 10. Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû 8 hoïc
sinh trong ñoäi ñi döï traïi heø sao cho moãi khoái coù ít nhaát moät em ñöôïc choïn.
Giaûi
 Soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø 18 hoïc sinh cuûa ñoäi tuyeån laø:
18!
8
C18

 43758 caùch
8!10!
 Soá caùch choïn 8 hoïc sinh chæ goàm coù hai khoái laø:
8
Soá caùch choïn 8 hoïc sinh khoái 12 vaø 11 laø C13
8
Soá caùch choïn 8 hoïc sinh khoái 11 vaø 10 laø C11
8
Soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø khoái 10 vaø 12 laø C12





8
8
8
 C11
 C12
 Soá caùch choïn theo ycbt: 43758  C13
= 41811 caùch

304

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

NHÒ THÖÙC NIUTÔN

 Vaán ñeà 3:

A.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
NHÒ THÖÙC NIUTÔN:
n

(a + b) =

C0n an

 C1n an1b  ...  Cnn bn

Chuù yù: Soá muõ cuûa a taêng daàn, soá muõ b giaûm daàn coù toång baèng n.
n m
Caùc heä soá ñoái xöùng: Cm
n  Cn

Tam giaùc Pascal:

1

n=0

1

1

n=1

1

2

1

1

3

3

n=2
1

n=3

 Chuù yù: Döïa vaøo baûng Pascal ta coù theå vieát ngay ñöôïc khai trieån Niutôn.
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008
Cho khai trieån (1 + 2x)n = a0 + a1x + … + anxn, trong ñoù n  N* vaø caùc heä soá a0,
a
a
a1, …, an thoûa maõn heä thöùc a0  1  ...  nn  4096 . Tìm soá lôùn nhaát trong caùc soá
2
2
a0, a1, … , an.
Giaûi
n

Töø khai trieån: (1 + 2x) = a0 + a1x + … + anxn
a
a
1
 Choïn x  ta ñöôïc: 2n  a0  1  ...  nn  4096  212  n  12
2
2
2
 Vaäy bieåu thöùc khai trieån laø: (1 + 2x)12
k k k
 Soá haïng toång quaùt laø C12
2 .x (k 

, 0  k  12)

k
k 1
 heä soá toång quaùt laø ak  2k.C12
; ak 1  2k 1.C12
k
k 1
ak < ak + 1  2k.C12
 2k 1.C12

 2k .

12!
12!
 2k 1.
k!(12  k)!
(k  1)!(12  k  1)!

 k + 1 < 24 – 2k  k 
Maø k 

23
3

. Do ñoù: a0 < a1 < a2 < … < a8

Töông töï: ak > ak + 1  k > 7
Do ñoù: a8 > a9 > … > a12
8
 126720
Soá lôùn nhaát trong caùc soá a0, a1, …, a12 laø: a8  28.C12

305

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008
2n 1
Tìm soá nguyeân döông n thoûa maõn heä thöùc C12n  C32n  ...  C2n
 2048

( Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaân töû).
Giaûi
C12n

 C32n

2n 1
 ...  C2n

2n

Ta coù: 1  x 

 2048

(*)

0
1 2n 1
2n
 C2n
 C12n x  C22n x2  C32n x3  ...  C2n
 C2n
2n x
2n x

Vôùi x = 1 thay vaøo (*) ta ñöôïc:
0
1
2n
22n  C2n
 C12n  C32n  ...  C2n
2n  C2n

(1)

Vôùi x = 1 thay vaøo (*) ta ñöôïc:
0
2
2n 1
0  C2n
 C12n  C2n
 C32n  ...  C2n
 C2n
2n

(2)





2n 1
Laáy (1) tröø (2) ta ñöôïc: 22n  2 C12n  C32n  ...  C2n
 4096  212  n  6

Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007
Chöùng minh raèng:

1 1
1
1
1 2n 1 22n  1
C2n  C32n  C52n  .... 
C2n 
2
4
6
2n
2n  1

(n laø soá nguyeân döông, Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Ta coù:
0
2n 2n
0
2n 2n
(1  x)2n  C2n
 C12n x  ....  C2n
x ,(1  x)2n  C2n
 C12n x  ....  C2n
x
2n1 2n 1
 (1  x)2n  (1  x)2n  2(C12n x  C32n x3  ....  C2n
x
)

1




0

1




0

1



1

(1  x)2n  (1  x)2n
1 2n 1
dx  (C12n x  C32n x3  C52n x5  ...  C2n
)dx
2n x
2


0

(1  x)2n  (1  x)2n
(1  x)2n 1  (1  x)2n 1
dx 
2
2(2n  1)

  C2n x  C2n x
1

3

3


0

22n  1
2n  1

(1)



5 5
2n 1 2n 1
 C2n
x  ...  C2n
x
dx

0

6
2n

x2
x4
5 x
2n 1 x
  C12n .  C32n .  C2n
.  ...  C2n
.

2
4
6
2n


1
1
1 5
1 2n 1
 C12n  C32n  C2n
..... 
C2n
2
4
6
2n
Töø (1) vaø (2) ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.

306

1

1



0

(2)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x10trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa (2 + x)n, bieát:
3n C0n  3n1 C1n  3n2 C2n  3n3 C3n  ...  (1)n Cnn  2048

(n laø soá nguyeân döông, Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
n

Ta coù: 3

C0n

 3n1 C1n

n 2

C2n

3

 ....  (1)n Cnn  (3  1)n  2n

Töø giaû thieát suy ra n = 11
1
Heä soá cuûa soá haïng chöùa x10 trong khai trieån Niutôn cuûa (2 + x)11 laø: C10
11 .2  22

Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007
Tìm heä soá cuûa x5 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa: x(1 –2x)5 + x2(1 + 3x)10
Giaûi
Heä soá cuûa x trong khai trieån cuûa x(1  2x)5 laø (2)4. C54
3
Heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa x2(1 + 3x)10 laø 33 C10
5

Heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa x(1  2x)5 + x2(1 + 3x)10 laø:
3
(2)4 C54  33 C10
 3320

Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x26 trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa
n

 1
1
2
n
20
7
 4  x  bieát raèng C2n1  C2n1  ...  C2n1  2  1
x


(n nguyeân döông, Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaân töû).
Giaûi
 Töø giaû thieát suy ra:

0
C2n
1

 C12n1

n
20
 ...  C2n
1  2

(1)

k
2n 1 k
Vì C2n
k, 0  k  2n +1 neân:
1  C2n1
0
1
n
C2n
1  C2n 1  ...  C2n 1 

1 0
2n 1
C2n 1  C12n 1  ...  C2n
1
2





(2).

Töø khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa (1  1)2n1 suy ra:
0
1
2n 1
2n 1
C2n
 22n1
1  C2n 1  ...  C2n 1  (1  1)

2n

Töø (1), (2) vaø (3) suy ra : 2
10

 1

 Ta coù:  4  x7 
x




10

20

2

(3)

hay n = 10.
10

    x7    C10k x11k40
k 0
k 0
k
C10
x4

10 k

k

k
Heä soá cuûa x26 laø C10
vôùi k thoûa maõn: 11k  40 = 26  k = 6.

6
Vaäy heä soá cuûa soá haïng chöùa x26 laø : C10
 210 .

307

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005
Tìm soá nguyeân döông n sao cho:
4
2n 2n 1
C12n1  2.2C22n1  3.22 C32n1  4.23 C2n
1  ....  (2n  1).2 C2n1 = 2005
( Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû )
2n1

Ta coù: 1  x 

Giaûi
0
1
2
2
 C2n
1  C2n 1x  C2n 1x

1 2n 1
 C32n1x3  ...  C2n
x 
2n 1x

Ñaïo haøm hai veá ta coù:
2n

(2n  1) 1  x 

1 2n
 C12n1  2C22n1x  3C32n1x2  ...  (2n  1)C2n
x 
2n1x

Thay x = 2 ta coù:
2
2 3
4
n 2n 1
C12n1  2.2C2n
1  3.2 C2n1  4.2C2n1  ...  (2n  1).2 C2n1  2n  1
Theo giaû thieát ta coù 2n + 1 = 2005  n = 1002.
Baøi 8:
8

Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa 1  x2 1  x   .


Giaûi
2
8
0
1
2
1  x 1  x   C8  C8x 1  x   C82 x4 1  x 2  C38x6 1  x 3  . . .


8

 . . . + C88x16 1  x 
3

4

Soá haïng chöùa x8 trong khai trieån chæ coù trong C38x6 1  x  vaø C84 x8 1  x  .
Suy ra heä soá cuûa x8 laø 3C38  C84  238 .
Baøi 9:
Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa
7

1 
3
 x  4  vôùi x > 0.
x

Giaûi
7

7

1 
3
C7k
 x4  
x

k 0

k

7

7 k k


1 
x
C7k x 3 4
4  
 x
k 0
7k k
Soá haïng khoâng chöùa x öùng vôùi
  0  28  4k  3k = 0  k = 4
3
4
7!
Soá haïng khoâng chöùa x laø C7k 
 35 .
3!4!
Baøi 10:
Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa

 1
5
 3 x 
x


  

n

3

7 k 



bieá t raè ng Cnn14  Cnn 3  7(n  3)

(n laø soá nguyeân döông, x > 0, Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaân töû).
308

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

Cnn14  Cnn 3

Giaûi
 n + 4 !  n  3!
 7  n  3 

 7  n  3
 n  1!3! n!3!

 (n + 3) (3n  36) = 0  n = 12
12

 1
5
 3 x 
x


Vaäy

 

Cho x 3





k 0

12 k
k 5
x2




12




k
C12

5 12 k
3 k  2 
x
x

 







5 12  k 

 x8 x  0  3k 

2
12

 1

Vaäy heä soá cuûa x8 trong khai trieån  3  x5 
x


=8k=4

4
laø C12
 495 .

Baøi 11:
Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång:
C0n 

22  1 1 23  1 2
2n1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1

( Cnk laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Xeùt

1  x n  C0n  C1n x  C2n x2  ...  Cnn x4
2



2

n

 1  x  dx   Cn  Cn x  Cn x
1




0

1

2 2

1

1  x n1
n 1

 ...  Cnn xn dx


2  0
x2
x3
xn 1  2
 Cn x  C1n
 C2n
 ...  Cnn

1 
2
3
n  1  1

3n1  2n1
22  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
 C0n 
Cn 
Cn  ... 
Cn .
n 1
2
3
n 1

Baøi 12:
Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a3n3 laø heä soá cuûa x3n3 trong khai trieån thaønh ña
thöùc cuûa: (x2 + 1)n (x + 2)n. Tìm n ñeå a3n 3 = 26n.
Giaûi





x2  1

n

x2  2

n

 
k 0
n



Cnk x2n 2k

n



h 0

Cnh x n  h 2h



n

n

  Cnk Cnh x3n(2kh)

k 0 h 0

Ycbt  2k + h = 3  k = h = 1 hay (k = 0 vaø h = 3)
 a3n3  2C1n C1n  23 Cn0 C3n  26n  n = 5 .
309

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

Baøi 13:
Cho khai trieån nhò thöùc:

2

x 1
2

2





x n
3

 C0n

2 

x 1 n
2

 C1n

2  2   . . . +
C 
2  2 
x 1 n 1
2



x
3

n 1
n

x 1
2



x n 1
3

 Cnn

2 


x n
3

(n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoù C3n  5C1n vaø soá haïng
thöù tö baèng 20n. Tìm n vaø x.
Giaûi
+


n  Z , n  3
Ta coù C3n  5C1n  
 n = 7 V n =  4 (loaï i)

 n  2  (n  1)  30

Soá haïng thöù tö baèng 20n neân ta coù C37

  2 
x 1 4
2 2



x 3
3

 140

 2x2  4  22  x  2 = 2  x = 4.
Baøi 14:
Tìm soá nguyeân döông n sao cho C0n  2C1n  4C2n  ...  2n Cnn  243 .
Giaûi
C0n  2C1n  4C2n  ...  2n Cnn  243

(*)

n

Ta coù 1  x   C0n  xC1n  x2C2n  ...  xn Cnn (* *)
Theá x = 2 vaøo (* *) ta coù:

1  2n  C0n  2C1n  4C2n  ...  2n Cnn  243  3n = 243

 n = 5.

Baøi 15:
n

Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø 1  x   a0  a1x  a2 x2  ...  ak x k  ...  an xn
Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1  k  n  1) sao cho

ak  1 ak ak 1
.


2
9
24

Haõy tính n.
Giaûi
Ta coù: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn
a
a
a
Ck 1 Ck Ck 1
Vì k 1  k  k 1  n  n  n
2
9
24
2
9
24
k
k

1
 Cn Cn
2n  2


k

2  n  k  1  9k
 9

2
11
 


k
k 1
3  n  k   8  k  1
 Cn Cn
 k  3n  8
 9  24

11
 3n – 8 = 2n + 2  n = 10
310