Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
**************

Phan thị chiến

Phương trình đạo hàm riêng cấp một
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:
Ts. Nguyễn văn hùng

Hà nội - 2008

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ
của Thầy giáo- Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng cũng như các thầy, cô trong tổ giải
tích khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.
Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy
Nguyễn Văn Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt
quá trình làm khóa luận. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô
giáo trong khoa đã dạy dỗ em trong suốt bốn năm qua để em hoàn thành bài
khóa luận này.
Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân, bài khóa luận này đã được hoàn
thành. Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực bản thân còn nhiều
hạn chế nên bài khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong được sự
đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn sinh viên để bản thân có thể tiếp
tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập và giảng dạy.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm 2008.
Sinh viên:
Phan Thị Chiến

Phan Thị Chiến

2

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Lời cam đoan
Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài: “Phương trình đạo hàm riêng
cấp một’’ ®· giúp em hiểu sâu sắc hơn về bộ môn giải tích hiện đại, đặc biệt
là về phương trình vi phân đạo hàm riêng. Qua đó cũng bước đầu giúp em làm
quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy
cô giáo trong khoa, đặc biệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình của thầy
Nguyễn Văn Hùng.
Vì vậy, em xin cam đoan kết quả của đề tài: “Phương trình đạo hàm
riêng cấp một’’ không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn sinh
viên đÓ khóa luận hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 04 năm 2008.
Sinh viên:
Phan Thị Chiến

Phan Thị Chiến

3

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một
Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Lời mở đầu
Chương 1: Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở
1. Khái niệm mở đầu ......................................................................................... 5
1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng và phương trình đạo hàm riêng
cấp một. ............................................................................................................. 5
1.2. Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng cấp một ..................................... 5
1.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng ....................................................... 6
1.4. Bài toán Cauchy ......................................................................................... 7
2. Các kiến thức cơ sở ....................................................................................... 7
2.1. Phương trình vi phân .................................................................................. 7
2.2. Phương trình vi phân cấp một .................................................................... 8
2.3. Hệ phương trình vi phân .......................................................................... 12
Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp một
1. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một ......................................... 16
1.1. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một .................... 17
1.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp một ......... 26
2. Phương trình phi tuyến cấp một .................................................................. 37
2.1. Hệ hai phương trình phi tuyến cấp một ................................................... 37
2.2. Phương trình Pfap .................................................................................... 40
2.3. Phương pháp Lagrang – Sacpi ................................................................. 42
Chương 3: Bài tập vận dụng

Phan Thị Chiến

4

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một
Lời nói đầu

Cũng như các môn khoa học khác, phương trình đạo hàm riêng xuất hiện
trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực
tế. Phần lớn các bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng được rút ra từ
các vấn đề trong thực tiễn nên phương trình vi phân đạo hàm riêng được coi
là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng.
Thực tế cho thấy có rất nhiều dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng
khác nhau và không tồn tại một phương pháp chung nào để giải tất cả các
phương trình đó. Đối với các phương trình đạo hàm riêng nãi chung, phương
trình đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng chúng ta chỉ chứng minh được sự tồn
tại nghiệm còn việc tìm ra công thức nghiệm thì hơi khó. Tuy nhiên đối với
phương trình đạo hàm riêng cấp một thì việc tìm ra công thức nghiệm thường
tuân theo một số phương pháp nhất định. Chính vì thế em chọn đề tài: Phương
trỡnh đạo hàm riờng cấp một với mong muốn được hiểu rõ hơn về các
phương pháp này. Nội dung khóa luận gồm ba chương:
Chương 1: Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở
Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng cấp một
Chương 3: Bài tập vận dụng
Nội dung chính và tài liệu dùng theo tài liệu [1] và [2] phần tài liệu tham
khảo.

Phan Thị Chiến

5

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một
Chương 1

Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở
1. Khái niệm mở đầu

1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng và phương trình đạo
hàm riêng cấp một.
1.1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng.
Định nghĩa 1.1. Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x1, x2,…,xn) các
biến độc lập x1, x2, …,xn và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương
trình vi phân đạo hàm riêng. Nó có dạng




F  x1, x2 ,..., xn , u,


u
k u
,..., k
,...
= 0
x1
x ...xnk 

(1)

trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó.
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng u, có mặt trong phương trình được gọi là
cấp của phương trình. Chẳng hạn phương trình


F  x, y, u,


u u 
, = 0
x y 

là phương trình đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến.
1.1.2. Phương trình đạo hàm riêng cấp một.
Định nghĩa 1.2. Từ định nghĩa 1.1 ta có thể suy ra được rằng: Phương
trình đạo hàm riêng cấp một là phương trình có dạng


F  x1,...xn , u,


u u
u 
,
,...,
= 0
x1 x2
xn 

(1.1)

1.2. Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng cấp một.
Giả sử có phương trình đạo hàm riêng cấp một (1.1) và giả sử miền F xác
định trong miền G của không gian 2n + 1 chiều. Hàm u = u(x1, x2, …, xn) liên

Phan Thị Chiến

6

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của nó trong miền D của không gian
n chiều được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) trong D nếu:
i) Với mọi (x1,x2,…,xn)  D thì

u
u 
,...,
 x1,..., xn ; u x1,..., xn ;
  G

x

x
n
1







ii) Khi thay u = u( x1, x2, …,xn) vào (1.1) thì ta được đồng nhất thức trên
D.
Thông thường khi ta tích phân phương trình đạo hàm riêng ta tìm được
họ nghiệm phụ thuộc vào những hàm số bất kì. Giả sử phương trình (1), u là
hàm 2 biến (n = 2): u = u(x1, x2). Khi đó nghiệm u = u(x1, x2) sẽ tương ứng
với một mặt cong trong không gian ba chiều ( x1, x2, u). Mặt cong này gọi là
mặt cong tích phân. Chẳng hạn đối với phương trình

x

z
z
=0
y
x
y

hàm z = x2 + y2 sẽ là nghiệm xác định với mọi x, y. Nghiệm trên được biểu
diễn bởi mặt paraboloit (là mặt cong do parabol z = y2, trong mặt phẳng (y, z)
tạo lên khi quay quanh trục oz).
Hàm Z = F(x2 + y2) với F là khả vi liên tục bất kì cũng là nghiệm của
phương trình trên.
1.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng.
Định nghĩa 1.3.
i) Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nếu như nó
tuyến tính với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó.
ii) Phương trình đạo hàm riêng được gọi là phi tuyến tính nếu nó không
tuyến tính.
iii) Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tựa tuyến tính (hay á tuyến
tính) nếu như nó tuyến tính đối với tất cả các hàm cao nhất của hàm phải tìm.

Phan Thị Chiến

7

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Ví dụ 1.1.
a. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một.
u
u
  2  x1, x2 ,..., xn , u   ... 
x
x
u
 n  x1 , x2 ,..., xn , u 
 R  x1, x2 ,..., xn , u 
xn
X1  x1 , x2 ,..., xn , u 

(1.2)

b. Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một.
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 0
1.4. Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm u =  (x1, x2, …, xn) của phương
trình (1.2) sao cho khi x1  x10 thì u =  (x1, x2, …,xn) trong đó  là một hàm
cho trước. Ta có thể thay vai trò x1 bằng một trong các biến còn lại.
2. Các kiến thức cơ sở

2.1. Phương trình vi phân
2.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân.
Định nghĩa 2.1.1. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa
biến độc lập, hàm phải tìm và đạo hàm của hàm phải tìm.
Phương trình vi phân có dạng
F(x, y, y’,…, y(n)) = 0

(2.1)

Trong đó x là biến độc lập, y = y(x) là đạo hàm của hàm phải tìm.
Ví dụ 2.1.
dt
 3tx  4  0
dx

Ví dụ 2.2.
y’’’ + 2x5y’’ + 4xy – 7 = 0

Phan Thị Chiến

8

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

2.1.2. Cấp của phương trình vi phân.
Định nghĩa 2.1.2 Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo
hàm của hàm phải tìm có mặt trong phương trình đó.
Ví dụ 2.3 Phương trình vi phân ở ví dụ 2.2 là phương trình vi phân cấp
ba.
2.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân.
Định nghĩa2.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm thỏa mãn
phương trình đó tức là mọi hàm khả vi sao cho thay vào phương trình đó nó
trở thành đồng nhất thức.
Ví dụ 2.4. Phương trình

dy
 2 y có nghiệm là hàm y = ce2x xác định trên
dx

khoảng  ,   ( c là hằng số tùy ý).
2.2.Phương trình vi phân cấp một
2.2.1. Định nghĩa phương trình vi phân cấp một
Định nghĩa 2.2.1. Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng
tổng quát là F(x, y, y’) = 0

(2.2)

Trong đó hàm F xác định trong miền D  R3
Nếu trong miền D, từ phương trình (2.2) ta có thể giải được y’
y’ = f(x, y)

(2.3)

thì ta được phương trình vi phân cấp một giải ra đạo hàm.
Trong phương trình (2.3) f là một hàm 2 biến, hàm này xác định trong
miền D nào đó của không gian hai chiều.
Định nghĩa 2.2.2. Hàm y =  (x) xác định và khả vi trên khoảng
I = (a,b) được gọi là nghiệm của phương trình (2.2) nếu
a) (x,  (x),  ’(x))  D với mọi x  I.
b) F(x,  (x),  ’(x))  0 trên I.

Phan Thị Chiến

9

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Ví dụ 2.5. Giải phương trình:
dy
 2sin x, y(0)  2
dx

Giải:
Phương trình trên tương đương với
dy = 2sinxdx
Lấy nguyên hàm hai vế ta được

 dy   2sin xdx
 y =  2sin xdx  c
 y = - 2cos x  c
Mặt khác, ta lại có y(0) = 2 nên suy ra y  2cos x  4
Vậy nghiệm của phương trình đầu là y  2cos x  4
2.2.2. Bài toán Cauchy.
Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (2.3) sao cho x = x0 thì y = y0.
Trong đó x0, y0 là các giá trị tùy ý cho trước mà ta gọi là các giá trị ban đầu.
Điệu kiện nghiệm phải tìm y = y(x) nhận giá trị y = y0 khi x = x0 gọi là
điều kiện ban đầu và kí hiệu là: y(x0) = y0 hoặc y x = y0.
0

Ví dụ 2.6 :Xét ví dụ 2.5 ta thấy điều kiện ban đầu của bài toán là: x0 = 0
và y0 = 2.
2.2.3 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.
Định lý 2.2.3. Xét phương trình (2.3) và các giá trị ban đầu (x0, y0) .
Giả sử hàm f(x, y) và f’y(x, y) xác định và liên tục trên miền D. Khi đó
tại lân cận của điểm x0 phương trình (2.3) tồn tại và duy nhất một nghiệm y =
y(x) của bài toán Cauchy có nghĩa là nghiệm đó thỏa mãn phương trình
dy
 f ( x, y ) và y(x0) = y0.
dx

Phan Thị Chiến

10

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

2.2.4. ý nghĩa hình học.
a) ý nghĩa hình học của định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Tại mỗi điểm (x0, y0)  D tồn tại và duy nhất một đường cong y = y(x)
thỏa mãn phương trình (2.3) đi qua.
b) ý nghĩa hình học của phương trình vi phân.
Xét phương trình (2.3) trên miền D, giải phương trình (2.3) trên miền D
tức là tìm một họ đường cong mà tại mỗi điểm của nó ta đã biết hệ số góc của
tiếp tuyến đường cong đó.
Vậy cho phương trình (2.3) có nghĩa là cho một trường hướng trên miền
D.
2.2.5. Nghiệm tổng quát.
Giả sử D là miền trong R2 mà tại mỗi điểm M(x, y) của nó điều kiện của
định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏa mãn.
Khi đó hàm y = y(x, c) (2.4) có đạo hàm riêng theo x được gọi là nghiệm tổng
quát của phương trình (2.3) nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
i) Với mọi điểm (x, y)  D từ phương trình (2.4) ta giải được duy nhất
đối với c.
ii) Hàm y = y(x) thỏa mãn phương trình (2.3) với mọi giá trị của hằng số
c khi điểm (x, y) chạy khắp miền D.
Nhận xét:
a)Khi giải phương trình vi phân (2.3) nhiều khi ta không tìm được
nghiệm của (2.3) dưới dạng y = y(x, c) mà ta chỉ tim được một biểu thức
( x, y, c)  0 .

Biểu thức dưới dạng ẩn này được gọi là phương trình tổng quát của
phương trình vi phân (2.3).

Phan Thị Chiến

11

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

b) Trong thực tế người ta thường đồng nhất nghiệm tổng quát và tích
phân tổng quát với nhau.
c) Về phương diện hình học thì tích phân tổng quát và nghiệm tổng quát
đều là họ đường cong thỏa mãn phương trình (2.3).
2.2.6. Khái niệm nghiệm riêng.
Nghiệm y = y(x) được gọi là nghiệm riêng của phương trình (2.3) nếu tại
mỗi điểm của nó đều có điều kiện duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được
thỏa mãn.
Ví dụ 2.7 Giải phương trình

dy
dx
, y(2)  3

y
x

(2.4)

Giải phương trình (2.4) ta được

y

c
(c = const)
x

Mà

y(2)  3  3 

c
2

c6
Vậy ta tìm được một đường cong dạng y 
Trong ví dụ này ta thấy y 
cho còn y 

6
x

c
là nghiệm tổng quát của phương trình đã
x

6
là nghiệm riêng của phương trình đã cho.
x

Nhận xét: Nghiệm riêng thường tìm được từ nghiệm tổng quát.
Giả sử nghiệm tổng quát của phương trình (2.3) là y = y(x, c). để tìm
nghiệm riêng của phương trình (2.3) với giá trị ban đầu (x0, y0) ta tìm c0 =

 (x0, y0). Sau đó thay y0 = y(x, c0) = y(x,  (x0, y0)).
2.2.7. Nghiệm kì dị.

Phan Thị Chiến

12

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Nghiệm y = y(x) được gọi là nghiệm kì dị nếu miền D tồn tại điểm tại đó
tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được vi phạm.
2.3. Hệ phương trình vi phân.
2.3.1 Định nghĩa hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một.
Định nghĩa 2.3.1.1 Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một là hệ
phương trình có dạng
 dy1
 f1 x, y1,..., yn

 dx
 dy2
 f 2 x, y1,..., yn

 dx
....................................

 dyn
 dx  f n x, y1,..., yn














(2.5)

Hệ (2.5) còn được viết dưới dạng véc tơ như sau
dY
 f  x, Y 
dx

(2.6)

Trong đó
 dy1 
 y1 

 f1 
 
dx 

y
 
dY
Y   2  ;
 ...  ; f  ... 
... dx 
f 
 
dyn 

 n
y
 n 
 dx 

Nhận xét: Trong vế phải của hệ phương trình (2.5) với mọi phương trình
đều giải được đối với đạo hàm

dy1
(i = 1,2,…).
dx

Còn vế phải không chứa đạo hàm của hàm cần tìm.
2.3.2. Nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một.
Nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một (2.5) là tập hợp n
hàm khả vi y1 = y1(x), y2 = y2(x) ,…, yn(x) trên một hàm nào đó sao cho chúng

Phan Thị Chiến

13

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (2.5) hay nói cách khác khi thay
chúng vào hệ (2.5) ta được các đồng nhất thức.
2.3.3. Bài toán Cauchy về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ vi
phân chuẩn tắc cấp một.
a) Bài toán Cauchy của hệ vi phân (2.5) được hiểu như sau

Tìm nghiệm

 y1  y1  x 

 y2  y2  x 

.................

 yn  yn ( x)

(2.7)

thỏa mãn các điều kiện ban đầu cho trước : y10 , y20 ,..., yn0 có nghĩa là
y1  x0   y10 , y2  x0   y20 ,..., yn  x0   yn0 trong đó x0 , y10 ,..., yn0 là các giá trị cho

trước tùy ý mà ta gọi đó là các giá trị ban đầu.
b) Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Định lý 2.3.3. Giả sử hệ phương trình vi phân (2.5) có các hàm fi
(i = 1, 2, …) liên tục và có các đạo hàm riêng

f i f i
f
,
,..., i (i = 1, 2, …)
y1 y2
yn

trong miền D nào đó D  Rn+1
Khi đó tại một lân cận của điểm x0 sao cho hệ phương trình (2.5) tồn tại
một hệ nghiệm:
 y1  y1 ( x)

 y2  y2 ( x)

.................
 y  y ( x)
n
 3

thỏa mãn điều kiện Cauchy (2.7).
2.3.4. Các loai nghiệm của hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp
một.

Phan Thị Chiến

14

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

2.3.4.1: Nghiệm tổng quát.
Định nghĩa 2.3.4.1. Giả sử miền D  Rn+1 là miền trong đó các điều
kiện của định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đươc
thỏa mãn (2.5), (2.7).
Vậy n hàm
 y1  y1 ( x, c1, c2 ,..., cn )

 y2  y2 x, c1, c2 ,..., cn

....................................
 y  y x, c , c ,..., c
n
n
1 2
 n









(2.8)

phụ thuộc n hằng số c1, c2,…, cn có đạo hàm riêng liên tục theo x được gọi là
nghiệm tổng quát của hệ vi phân (2.5) nếu:
i) Với mọi (x, y1, y2, …,yn)  D. Từ hệ phương trình (2.8) với mọi
(x, y1, y2, …,yn)  D ta giải được duy nhất đối với c1, c2,…, cn với











c   x, y ,..., yn
1
1
 1
c   x, y ,..., y
n
2
2
1

.................................

cn  n x, y1,..., yn

(2.9)

ii) Tập n của hàm (2.8) thỏa mãn hệ (2.5) với mọi hằng số c1, c2,…, cn.
2.3.4.2. Nghiệm riêng.
Nghiệm riêng của hệ phương trình vi phân (2.5) là nghiệm của hệ (2.5)
và tại mỗi điểm của nó điều kiện duy nhất nghiệm của định lý Cauchy được
thỏa mãn.
Nhận xét: Nghiệm riêng của hệ (2.5) cũng có thể tìm từ nghiệm tổng quát
bằng cách cho các hằng số c1, c2,…, cn các giá trị nào đó.
2.3.4.3. Tích phân tổng quát.
Giải hệ phương trình vi phân (2.5) nhiều khi ta chỉ tìm được các hệ thức

Phan Thị Chiến

15

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp



Phương trình đạo hàm riêng cấp một



 x, y ,..., yn , c ,..., cn  0
1
1
 1
..............................................

 n x, y1,..., yn , c1,..., cn  0



(2.10)



Hệ thức này được gọi là tích phân tổng quát của hệ vi phân (2.5).
2.3.4.4. Nghiệm kì dị.
Nghiệm của hệ phương trình vi phân (2.5) mà tại mỗi điểm của nó điều
kiện duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy không được thỏa mãn.

Phan Thị Chiến

16

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một
Chương 2

Phương trình đạo hàm riêng cấp một
1. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp một.

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp một
X1  x1, x2 ,..., xn , u 

u
u
u
 X 2  x1, x2 ,..., xn , u 
 ...  X n  x1, x2 ,..., xn , u 
 R  x1, x2 ,..., xn , u 
x1
x2
xn

(1.1)
Ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa: Phương trình (2) được gọi là phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính thuần nhất cấp một nếu (1.1) được viết dưới dạng
X1 ( x1, x2 ,..., xn , u )

u
u
u
 X 2 ( x1, x2 ,..., xn , u )
 X n ( x1, x2 ,..., xn , u )
 0 (1.2)
x1
x2
xn

Trong đó các hàm X1, X2, …,Xn không phụ thuộc biến u, không đồng
thời triệt tiêu tại bất kì điểm nào của miền đang xét. Ngoài ra ta giả thiết trong
miền đó các hàm X1, X2, …,Xn liên tục cùng với tất cả các đạo hàm riêng cấp
một của chúng.
Định nghĩa: Phương trình (1.1) được gọi là phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp một không thuần nhất nếu các hệ số Xj có thể chứa u và vế phải
có hàm R. Khi R  0 nhưng có một hàm Xj chứa u thì phương trình vẫn coi là
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất. Bởi vậy ta luôn giả
thiết rằng các hàm Xj, R khả vi liên tục và các hàm Xj không đồng thời triệt
tiêu trong miền biến thiên đang xét của các biến X1, X2, …,Xn, u.
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp một được
viết dưới dạng:

Phan Thị Chiến

17

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

X1  x1, x2 ,..., xn , u  u  X 2  x1, x2 ,..., xn , u  u  ... 
x1
x2
 X n  x1, x2 ,..., xn , u  u  R  x1, x2 ,..., xn , u 
xn

(1.3)

1.1. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp một.
1.1.1. Mối liên hệ giữa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần
nhất cấp một và hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương
ứng.
Cùng với phương trình (1.2) ta xét hệ phương trình vi phân thường dưới
dạng đối xứng sau

dx1
dx2
dxn

 ... 
X1  x1, x2 ,..., xn  X 2  x1, x2 ,..., xn 
X n  x1, x2 ,..., xn 

(1.4)

Hệ (1.4) này được gọi là hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng
tương ứng với phương trình (1.2).
Do X1, X2, …,Xn không phụ thuộc vào biến u, không đồng thời triệt tiêu
tại bất cứ điểm nào của miền đang xét và các hàm này liên tục cùng với tất cả
các đạo hàm riêng cấp một của chúng nên hệ (1.4) thỏa mãn các điều kiện của
định lý tồn tại và duy nhất nghiệm.
Vì vậy có thể tìm được hệ n tích phân đầu độc lập của hệ (1.4)











 x , x ,..., x  c
1
n
 1 1 2

 2 x1, x2 ,..., xn  c2

................................

 n x1, x2 ,..., xn  cn


Trong không gian (x1, x2,…,xn) hệ tích phân đầu độc lập này xác định một
họ đường cong phụ thuộc n - 1 tham số gọi là đường đặc trưng của phương
trình (1.2). Từ đó mối liên hệ giữa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
thuần nhất cấp một và hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương
ứng được xác định qua các định lý sau:

Phan Thị Chiến

18

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

Phương trình đạo hàm riêng cấp một

Định lý 1.1. Vế trái của tích phân đầu bất kì   x1, x2 ,..., xn   c là nghiệm
không tầm thường của phương trình (1.2).
Chứng minh:
Theo định nghĩa tích phân đầu   c dọc theo đường cong tích phân của
hệ (1.4) và do đó

dx j  0
j 1 x j
n

d  

(1.5)

Vì dọc theo mỗi đường cong tích phân của (1.4) ta có

dx j  X j

dx1
, j  2,..., n
X1

(1.6)

Thay (1.6) vào (1.5) ta có

 X 2
 X n
dx1 
dx1  ... 
dx  0
x1
x2 X1
xn X1 1

Hay

X1




 X2
 ...  X n
0
x1
x2
xn

(1.7)

Tại mỗi điểm (x1, x2,…,xn) của miền đang xét đều có một đường cong
tích phân của hệ (1.4) đi qua nên đồng nhất thức (1.7) thỏa mãn với mọi (x1,





x2,…,xn) thuộc miền đang xét. Điều này chứng tỏ hàm u  x1, x2 ,..., xn là
nghiệm của hệ (1.4). Ta có điều phải chứng minh.





Định lý 1.2. Giả thiết u  x1, x2 ,..., xn là nghiệm không tầm thường
của phương trình (1.2). Khi đó hệ thức

  x1, x2 ,..., xn   c
là một tích phân đầu độc lập của hệ (1.4).
Thật vậy, theo giả thiết ta có

Phan Thị Chiến

19

K 30 E Toán

Luận văn tốt nghiệp

X1

Phương trình đạo hàm riêng cấp một




 X2
 ...  X n
0
x1
x2
xn

(1.8)

Ta lấy vi phân toàn phần hàm  dọc theo nghiệm của hệ (1.4)
d 




dx1 
dx2  ... 
dx
x1
x2
xn n

  X1



 x1 X n



  X1




 X 2
 
 ... 
 dx
x2 X n
xn  n



  dxn
 X1
 ...  X1

x1
x1
x1  X n

Theo giả thiết ta có thể coi Xn  0. Khi đó từ (1.8), (1.9) ta suy ra

d  0 dọc theo nghiệm của hệ (1.4). Điều này chứng tỏ   x , x ,..., xn   c
1 2




là tích phân đầu của hệ (1.4).
Từ mối liên hệ giữa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất
cấp một và hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng ta có
các bước tìm nghiệm không tầm thường của phương trình (1.2) như sau:
Bước 1: Tìm hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng
với phương trình đạo hàm riêng đang xét.
Bước 2: Tìm các tích phân đầu độc lập.
Bước 3: Kết luận nghiệm.
Ví dụ 1.1. Xét phương trình

x

u
u
u
 2y  z  0
x
y
z

(1.10)

Từ (1.10) ta có hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng tương ứng
là

dx  dy  dz
x 2 y  z
Dễ thấy phương trình này có 2 tích phân đầu độc lập là

xz  c1, x y  c2

Phan Thị Chiến

20

K 30 E Toán