Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"

MỤC LỤC
Trang
CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG
Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ..............................................................................1
I. Lí do chọn đề tài ..........................................................................................1
II. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài .........................................................1
Phần thứ hai: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.............................................2
I. Cơ sở lý luận .................................................................................................2
II. Cơ sở thực tiễn.............................................................................................2
III. Nội dung đề tài ..........................................................................................3
A. Lý thuyết...................................................................................................3
B. Bài tập.......................................................................................................5
VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG....................... 4
VẤN ĐỀ 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ GIẢI TAM
GIÁC TRONG MẶT PHẲNG................................................................19
VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN KẾT HỢP CÁC ĐƯỜNG KHÁC
NHAU.....................................................................................................23
Phần thứ ba: KẾT LUẬN...................................................................................26

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG
Để tiện cho quá trình đặt và giải quyết các bài toán về tam giác trong
mặt phẳng
(xác định các yếu tố chưa biết thông qua các yếu tố đã biết của tam giác),
ta sẽ gọi đó là quá trình giải một bài toán tam giác (hay là giải tam giác)
trong mặt phẳng và ta coi như bài toán được giải quyết xong nếu như xác định
được tọa độ 3 đỉnh hoặc phương trình ba cạnh của tam giác đó, các bài tập áp
dụng phương pháp giải của các bài toán được đưa ra trong phần bài tập tự
luyện.
Trong tài liệu này ta cũng sử dụng một số kí hiệu sau:
A, B, C: các đỉnh của tam giác ABC.
AB, BC, CA: cạnh và phương trình các cạnh của tam giác ABC.
G, H: lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.
M = d1 ∩ d2: Tọa độ M là giao điểm của d1 và d2.
VTCP: vectơ chỉ phương.
VTPT: vectơ pháp tuyến.
PTTQ: Phương trình tổng quát
.
PTTS: Phương trình tham số.
PTCT: Phương trình chính tắc.

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
Phần thứ nhất:

ĐẶT VẤN ĐỀ

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán học THPT cụ thể là phân môn hình học 10, các
em học sinh được tiếp cận với kiến thức: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .
Với
“ Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ” các em được trang bị một số kiến thức
về phương trình đường thẳng , phương trình đường tròn, phương trình đường E
líp…
Nếu gặp các bài toán mà có đầy đủ giả thiết thì các em chỉ cần áp dụng ngay
công thức là có ngay kết quả. Song trong thực tế các kỳ thi Đại học, Cao đẳng
– THCN các em có thể gặp phải các bài toán về giải tam giác (Xác định các
điểm, viết phương trình các đường thẳng khi đã biết một số yếu tố nào đó ).
Thực tế khi gặp dạng toán này chỉ có một số em đã biết cách giải, song cách
trình bày và lời giải còn chưa gọn gàng và sáng sủa. Tại sao lại xảy ra tình trạng
đó?
Lý do ở đây có thể là : Trong chương trình SGK lớp 10 hiện hành, kiến
thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày ở học kỳ 2 với thời
lượng ít và lượng bài tập dạng này chưa được đề cập thường xuyên hoặc có thể
chưa được đề cập đến. Mặt khác , nếu như trong các giờ dạy của mình , các thầy
cô giáo không đưa thêm các bài tập dạng này và phương pháp giải tương ứng thì
các em học sinh không thể giải được các bài toán nói trên.
Với lý do đó , cùng với kinh nghiệm của mình sau một thời gian giảng
dạy, tôi đã khai thác, hệ thống hóa lại kiến thức cơ bản trong khuôn khổ nhỏ của
mảng kiến thức “ Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ” là phần: “ Phương
trình đường thẳng trong mặt phẳng ” để cùng trao đổi với đồng nghiệp và
làm tài liệu tham khảo cho học sinh, giúp các em có cái nhìn toàn diện về việc
viết phương trình đường thẳng cũng như phương pháp giải các bài toán về giải
tam giác trong mặt phẳng.
II . PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh
khối 10 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn
Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này
làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể.
Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một khối lượng lớn các bài
toán với tương ứng các bài tập tự luyện đã được phân loại. Sau mỗi bài toán
tác giả đều có những phương pháp giúp thầy cô và các học sinh có thể chọn ra
cho mình những phương pháp giải tối ưu để có được những lời giải gọn gàng
nhất.
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

1

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"

Phần thứ hai: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Những bài toán hình học cùng với sự phát triển của nó đã và sẽ không
ngừng dẫn đến sự chuyển hóa một số hướng nào đó thành những lĩnh vực mới
về tính chất của hình học.
Cùng một vấn đề của bài toán ta có thể sử dụng phương pháp hình học
hoặc phương pháp giải tích hoặc bằng sự kết hợp của cả hai để giải quyết.
Với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta có thể làm cho hình
học thoát ra khỏi lối tư duy trực quan nhằm hướng tới sự khái quát hóa của
toán học trong các lĩnh vực khác.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng với kiến thức gọn nhẹ, đơn giản
giúp học sinh có thể giải bài toán giải tam giác một cách nhẹ nhàng. Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng không những cung cấp cho học sinh những công
cụ mới để giải quyết bài toán mà còn tập cho học sinh làm quen với phương
pháp tư duy nâng cao khả năng suy luận, luôn biết nhìn nhận sự việc và hiện
tượng xung quanh với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu tìm
tòi khám phá tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh trong tương lai.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Có rất nhiều cách khác nhau để tiếp cận và tìm hiểu kiến thức thực tế
của học sinh trước khi thực hiện đề tài. Khi giảng dạy trên lớp cũng như bồi
dưỡng học sinh, tôi đã đưa vào một số bài toán nhằm kiểm tra kiến thức của
các em học sinh . Các kiến thức tôi đưa vào vừa có tác dụng củng cố các kiến
thức cơ bản đồng thời trang bị cho học sinh kỹ năng giải toán. Từ đó các em có
một cách nhìn toàn diện về vấn đề giải toán “ Phương trình đường thẳng trong
mặt phẳng” để các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng.

Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

2

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI

PHƯƠNG PHÁP
PHÁPTOẠ
TOẠ ĐỘ
ĐỘ TRONG
TRONG MẶT
MẶT PHẲNG
PHẲNG
PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH ĐƯỜNG
ĐƯỜNG THẲNG
THẲNG
PHƯƠNG
A. Lý
Lý thuyết
thuyết
A.
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r

Vectơ ur  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó
song song hoặc trùng với .
r
r
Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của  thì ku (k  0) cũng là một VTCP của
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
r
Vectơ nr  0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc
với .
r
r
Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của  thì kn (k  0) cũng là một VTPT của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
r
r
r r
– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của  thì u  n .
3. Phương trình tham số của đường thẳng
r
Cho đường thẳng  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .
 x  x  tu
Phương trình tham số của :  y  y 0  tu1
(1) ( t là tham số).
0  x2  x0  tu1

Nhận xét: – M(x; y)     t  R:  y  y  tu .

0
2
– Gọi k là hệ số góc của  thì:
+ k = tan, với  = �xAv ,   900 .
u
+ k = 2 , với u1  0 .
u1

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
r
Cho đường thẳng  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .
x  x0 y  y0

Phương trình chính tắc của :
(2) (u1  0, u2  0).
u1
u2
Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương
trình chính tắc.
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

3

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
Phương trình ax  by  c  0 với a2  b2  0 được gọi là phương trình tổng quát
của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c  0 thì  có:
r
r
r
u  (b; a) hoặc u  (b; a) .
VTPT là n  (a; b) và VTCP
r
– Nếu  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n  (a; b) thì phương trình của  là:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  0

x

y

  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của :   1 .
a b
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
  đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của :
y  y0  k ( x  x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 .
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
 a1 x  b1y  c1  0
 a x  b y  c  0 (1)
a
b
 2
2
2
 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm  1  1 (nếu a2 , b2 ,  0 )
a ab2 bc2
a ,b ,c  0 )
 1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  1  a1  b1 (nếu

a2 b21 c21 c1 2 2 2


1  2
 hệ (1) có vô số nghiệm 
(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2
7. Góc giữa hai đường thẳng
r
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) )
r
và 2: ra2 rx  b2 y  c2  0 r(cór VTPT0 n2  (a2 ; b2 ) ).
khi (n1, n2 )  90
 (n , n )
(�
1 , 2 )   1 0 2 r r
r r
n1.(nnr2 , nr )  90
a10b1  a2 b2
r(n1r, n2 ) khi
180 �
�

cos(1 , 2 )  cos(n1 , n2 )  r r1 2
n1 . n2
a12  b12 . a22  b22
Chú ý:
 1  2  a1a2  b1b2  0 .

 Cho 1: y  k1 x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì:
+ 1 // 2  k1 = k2
+ 1  2  k1. k2 = –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M0 , ) 

ax0  by0  c
a2  b 2

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN )  .
– M, N nằm cùng phía đối với   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)  0 .
– M, N nằm khác phía đối với   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)  0 .
 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

4

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
2 là:

a1 x  b1y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a22  b22

Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

5

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"

B. Bài
Bài tập
tập
B.
VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán 1:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM
VÀ BIẾT MỘT VÉC TƠ PHÁP TUYẾN.
Phương pháp giải:
r
Nếu  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n  (a; b) thì phương trình của  là:
PTTQ: a( x  x0 )  b( y  y0 )  0
x  x 0 y  y0

,
(a, b  0)
PTCT:
PTTS:

a
bx  x0 tb
 y  y  ta
0


Bài tập 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm
r
M và có VTPT n biết :
r
r
a) M(–2; 3) , n  (5; 1)
b) M(–1; 2), n  (2;3)
Hướng dẫn:
*Với bài tập 1: thì câu hỏi là cơ bản bởi đây chính là các bài toán đã có
phương pháp giải tổng quát . Cách giải là sử dụng phương trình đường thẳng
qua một điểm và có vectơ pháp tuyến.
Giải
Gọi (d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB
uuur thì (d) đi qua trung điểm I(2;-2)
của đoạn thẳng AB và có véc tơ pháp tuyến AB  (2; 6) .
Phương trình đường thẳng (d) là: 2( x  2)  6( y  2)  0  x  3 y  8  0
Bài tập 2. Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
1. Là đường trung trực của AB biết A(1;1); B(3;-5)
2. Là đường trung trực của tam giác ABC biết A(1;1); B(2;-1); C(-1;2)
3. Là đường trung trực của tam giác ABC biết M(-1;-1); N(1;9); P(9;1) lần lượt là
trung điểm của AB; BC; AC
Hướng dẫn:Chỉ cần xác định vectơ pháp tuyến là ta có kết quả.
Lời giải
1.Gọi (d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì
uuur(d) đi qua trung điểm
M(2;-2) của đoạn thẳng AB và có véc tơ pháp tuyến AB  (2; 6) . Phương trình
đường thẳng (d) là: 2( x  2)  6( y  2)  0  x  3 y  8  0
2. Phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: 2 x  4 y  3  0
Phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng BC là: x  y  0
Phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AC là: 4 x  2 y  3  0
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

6

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
3. Gọi (d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì (d) đi qua trung điểm
uuur
M(-1;1) của đoạn thẳng AB và có véc tơ pháp tuyến NP  (8; 8) . Phương trình
đường thẳng (d) là: 8( x  1)  8( y  1)  0  x  y  2  0
ĐS: Phương trình đường thẳng trung trực của BC là: 5 x  y  14  0
Phương trình đường thẳng trung trực của AC là: x  5 y  14  0
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có A(5;6); B(3; 2); C (2; 3) . Viết phương trình các
đường cao của tam giác
Hướng dẫn:Chỉ cần xác định vectơ pháp tuyến là ta có kết quả.
Giải
Gọi H là trực tâm tam giác ABC
- Đường
cao AH đi qua A(5;6) và vuông góc với BC nên có véc tơ pháp tuyến là
uuur
BC  (5; 5) . Phương trình đường cao AH là: x  y  1  0
- Tương tự :Phương trình đường cao BH là: x  3y  3  0
Phương trình đường cao CH là: 2 x  y  1  0
Bài toán 2:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM
VÀ BIẾT MỘT VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG
r
Đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có véc tơ chỉ phương u  (u1; u2 ) .
x  x0 y  y0

+ Phương trình chính tắc của :
(2) (u1  0, u2  0).
u1x  x u2tu
0
1
+ Phương trình tham số của :  y  y  tu
(1) ( t là tham số).


0

2

Bài tập 1: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm
r
M và có VTCP u biết :
r
r
a) M(–2; 3) , u  (5; 1)
b) M(–1; 2), u  (2;3)
Hướng dẫn: Thay vào công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm và
có véc tơ chỉ phương.
Bài tập 2: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai
điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0)
b) A(5; 3), B(–2; –7)
Hướng dẫn:
Cách 1: Thay vào công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
uuu
r
Cách 2: - Đường thẳng AB có véc tơ chỉ phương là AB .
- Thay vào công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ
chỉ phương.
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

7

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có A(2; 2); B (3; 4); C (7;5) .
1. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
2. Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC.
3. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.
Hướng dẫn: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Bài tập 4. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết M(1;1); N(2;-1);
P(-1;2) lần lượt là trung điểm của các cạnh của tam giác.
uuur
Hướng dẫn: - Cạnh AB đi qua M và có VTCP là PN
Bài tập 5. Cho tam giác ABC có M(2;1); N(5;3); P(3;-4) lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB; AC; BC.Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Hướng dẫn:
Cách 1:Viết phương trình các cạnh AB,BC,AC rồi tìm tọa độ điểm A, B, C .
Cách 2: Sử dụng kết quả tứ giác AMPN là hình bình hành để suy ra tọa độ điểm
A. Làm tương tự ta có tọa độ điểm B,C.
Bài tập 6. Cho hình vuông ABCD, có hai đỉnh là A(2;0); B(-1;4). Viết phương
trình các cạnh của hình vuông
Giải
- Phương trình đường thẳng AB là: 4 x  3y  8  0 .
uuu
r
- Cạnh AD nằm trên đường thẳng đi qua A và nhận AB  (3; 4) làm véc tơ pháp
tuyến nên có phương trình: 3 x  4 y  6  0 .
uuu
r
- Cạnh BC nằm trên đường thẳng đi qua B và nhận AB  (3; 4) làm véc tơ pháp
tuyến nên có phương trình: 3 x  4 y  19  0 .
- Ta có AB  5 .
 xD  6
- Do tứ giác ABCD
là
hình
vuông
nên
điểm D thỏa mãn:
 ytọađộ
3x  4 y  6  0
3
 D
D
  D

2
2
 xD  2
 ( x D  2)  ( yD )  25

- Với D(6;3)thì phương trình đườngthẳng
CD là 4 x  3y  33  0
 yD  3
- Với D(-2;-3)thì phương trình đường thẳng CD là 4 x  3y  17  0
 D  AD
 AD  AB 


Bài tập 7. Cho A(1;-3) và đường thẳng  : x  2 y  2  0 . Dựng hình vuông ABCD
sao cho B,C thuộc  và tọa độ điểm C không âm.
1. Tìm tọa độ các điểm B, C, D
2. Tính chu vi và diện tích hình vuông ABCD
Giải
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

8

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
1. Ta thấy điểm A không thuộc đường thẳng  .
 thì (d) có véc tơ pháp
+ Gọi (d)
r là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
tuyến n  (2;1) .
Phương trình đường thẳng (d) là: 2x+y+1=0
+ Gọi B là giao điểm của (d) và  thì tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình
x  2y  2  0
x  0
 

Vậy B(0;-1)
 2x  y  1  0
 y  1
- Ta có AB  5 .
 xC  2
 nên
- C
Do
tứ
giác
ABCD
là
hình
vuông
y 0
x  2y  2  0

 C
 C
C
  2
 

 x  2
 5 yC  10 yC  0
 AB  BC
 C
Vậy C(2;0)
 yC  2(uuLur) uuu
r
- Do tứ giác ABCD là hình vuông nên DC  AB  D(3; 2)

2. Chu vi hình vuông ABCD là 4 5
Diện tích hình vuông ABCD là 5

1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.

1.

Bài tập 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-3;-2) và giao điểm
của hai đường thẳng 1 : 3 x  4 y  6  0;  2 : 4 x  3 y  1  0
Hướng dẫn:
- Tìm giao điểm N của hai đường thẳng 1 và  2 .
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M và N
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Cho 3 điểm A(1;5); B(-4;-5); C(4;1).
CMR A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác.
Tính chu vi và diện tích tam giác.
Tính các góc của tam giác.
Viết phương trình các đường cao của tam giác.
Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.
1
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(1;1); B(3; 2); C ( ; 1)
2
CMR tam giác ABC là tam giác vuông.
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.
Bài 3. Cho P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AC;
BC. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 4. Cho tam giác ABC có A(1;1); B(4;5); C(13;-4) và M , N , P lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC; AC; AB.
Viết phương trình các cạnh của tam giác MNP.

Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

9

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
2. Viết phương trình đường thẳng PN và AM. Gọi I là giao điểm của AM và PN.
uur uuur
Kiểm tra lại rằng I là trung điểm của PN và AI  IM .
Bài 5. Cho hình vuông ABCD, có hai đỉnh là C(5;4); D(1;1). Viết phương trình
các cạnh của hình vuông.
Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;1) và giao điểm của hai
đường thẳng 1 : 3 x  4 y  2  0;  2 : 2 x  3 y  4  0 .
Bài 7. Cho tam giác ABC có A(1;-1); B(-2;1); C(3;5)
1. Viết phương trình đường trung tuyến BI.
2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với BI.
Bài toán 3:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM
VÀ CÓ HỆ SỐ GÓC
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức về phương trình đường thẳng theo hệ số góc:
Phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k là :
y  y0  k ( x  x0 )

Bài 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và
có hệ số góc k biết :
a) M(–3; 1), k = –2
b) M(–3; 4), k = 3
*Với bài tập 1: thì câu hỏi là cơ bản bởi đây chính là các bài toán đã có phương
pháp giải tổng quát . Cách giải là thay vào công thức phương trình đường
thẳng qua một điểm và có hệ số góc k.
Bài toán 4:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM
VÀ SONG SONG HOẶC VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
CHO TRƯỚC.
Phương pháp giải:
- Xác định một điểm thuộc đường thẳng
-Xác định véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng.
Bài tập 1 . Cho tam giác ABC có A(3;-4) và phương trình hai đường cao lần
lượt là: 7 x  2 y  1  0; 2x  7 y  6  0 . Viết phương trình các cạnh AB, AC, BC và
đường cao còn lại của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

10

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
Rõ ràng bài toán này bắt đầu buộc học sinh phải tư duy để xác định được 2
đường cao đã cho được xuất phát từ đỉnh nào của tam giác (ở đây có thể thấy
rằng tọa độ đỉnh A không thỏa mãn 2 phương trình đường cao đã cho nên ta có
thể đặt: BH : 7 x  2 y  1  0; CH:2x  7 y  6  0 ( Với H là trọng tâm của tam giác
ABC) . Sau khi đã xác định rõ ràng được giả thiết của bài toán thì nói chung
yêu cầu của bài toán 2 không khó khăn gì nữa( bởi đây cũng là các bài toán
cơ bản).
Giải
Thấy rằng tọa độ đỉnh A không thỏa mãn 2 phương trình đường cao đã cho nên
ta có thể đặt: BH : 7 x  2 y  1  0; CH:2x  7 y  6  0 ( Với H là trọng tâm của tam
giác ABC).
-uuuCạnh
r uuuu
rAB đi qua A và vuông góc với CH nên có véc tơ pháp tuyến là
n AB  uCH  (7;2) . Phương trình cạnh AB là: 7 x  2 y  13  0
- Phương trình cạnh AC là: 2 x  7 y  8  0
- Do B là giao điểm của AB và BH nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương
trình:
 7 x  2 y  13  0
x 1
 

Vậy B(1;3).
7 x  2 y 1  0
y 3
- Do C là giao điểm của AC và CH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương
trình:
 2x  7 y  8  0
 x  4
 

Vậy C(-4;-2)
 2x  7 y  6  0
 y  2
- Phương trình cạnh BC là: x  y  2  0
- Phương trình đường cao AH là: x  y  1  0
Bài

là trực tâm và
AB : 5 x  3 y  2  0;
AH: 4x  3 y  1  0; BH : 7 x  2 y  22  0 Viết phương trình các
cạnh AC, BC, CH của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Để viết được phương trình các cạnh AC, BC, CH của tam giác ABC ta phải tìm
được tọa độ điểm A, B từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và
vuông góc với đường thẳng có phương trình cho trước.

1.
2.
3.
1.

tập

2.

Cho

tam

giác

ABC

có

H

Bài tập 3. Cho đường thẳng d có phương trình x-y-1=0. từ điểm A(0;2) người ta
dựng đường thẳng   d .
Viết phương trình đường thẳng 
Tính chu vi tam giác giới hạn bởi d ,  và Oy
Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác trên
Hướng dẫn:
Áp dụng phương pháp giải bài toán cơ bản.
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

11

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
Đáp số : x  y  2  0
2. Tìm tọa độ các điểm A, B, C rồi tính chu vi tam giác ABC
3 2
3 2
Đáp số: AB  3; BC 
; AC 
2
2
Chu vi tam giác ABC là : AB  BC  AC  3  3 2
3. Tìm tọa độ trung điểm của AB, BC, AC rồi viết phương trình các đường trung
tuyến.
Bài tập 4. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và phương trình ba cạnh là
AB : 2 x  y  2  0;
BC: 2x  3 y  6  0; AC :10 x  7 y  70  0 Viết phương trình các
đường cao của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Tìm tọa độ các điểm A, B, C rồi viết phương trình các đường cao của tam giác
ABC.
Bài tập 5. Cho ba đường thẳng d1 : 2 x  3 y  1  0; d 2 : x  y  3  0; d 3 : 3x  5 y  0 . Viết
phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của d1; d 2 và:
1. Song song với d3
2. Vuông góc với d3
Bài tập 6. Cho tam giác ABC có A(2;1), B(-2;3) , C(4;5) . Viết phương trình các
đường thẳng cách đều 3 điểm A, B, C.
Hướng dẫn:
Đường thẳng cách đều 3 điểm A, B, C của tam giác ABC là các đường trung
bình của tam giác ABC.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Cho tam giác ABC có A(2;2) và phương trình hai đường cao
BH : 9 x  3 y  4  0;
CH: x  y  2  0 ( H là trực tâm của tam giác ABC).
1. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với cạnh AC một góc 900
Bài 2. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4; -5) và phương
trình hai đường cao
AH : 5 x  3 y  4  0;

CH: 3x  8 y  13  0

Bài 3. Cho hai đường thẳng 1 : 4 x  3 y  12  0;  2 : 4 x  3 y  12  0
1. Tìm tọa độ các đỉnh của một tam giác có các cạnh lần lượt nằm trên 1;  2 ;Oy .
2. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác nói trên.
Bài 4. Cho hai đường thẳng 1 : 3x  4 y  6  0;  2 : 4 x  3 y  1  0
1. Tìm tọa độ các đỉnh của một tam giác có các cạnh lần lượt nằm trên 1;  2 ;Ox .
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

12

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
2. Tính chu vi tam giác .
3. Viết phương trình đường cao của tam giác đi qua giao điểm của 1;  2 .
4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của 1;Ox biết d song song
với đường thẳng có phương trình 4x - 3y + 5=0
 x  2  3t
 x  1  2t '
d': 
Bài 5. Cho hai đường thẳng d : 
 y  1 t
 y  3t '
1. Tìm tọa độ giao điểm M của d và d’
2. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của hai đường thẳng đi qua
M và lần lượt vuông góc với d và d’.
Bài 6. Cho tam giác ABC có A(1;1) và hai đường cao hạ từ B, C lần lượt có
phương trình là BH : 2 x  y  8  0; CH: 2x  3 y  6  0 . Viết phương trình đường
thẳng chứa đường cao hạ từ A và xác định tọa độ các đỉnh B,C của tam giác
ABC
Bài 7. Cho ba đường thẳng d1 : 3x  4 y  2  0; d 2 : 2 x  5 y  1  0; d3 : 2 x  3 y  4  0 .
Viết phương trình đi qua giao điểm của d1; d 2 và:
3. Song song với d3
4. Vuông góc với d3
Bài 8. Cho tam giác ABC có A(1;0) và hai đường cao hạ từ B,C lần lượt có
phương trình là: x  2 y  1  0; 3x  y  1  0 . Tính diện tích tam giác ABC và viết
phương trình đường thẳng chứa đường cao còn lại
Bài toán 5:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM
VÀ TẠO VỚI ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC MỘT GÓC 
Phương pháp giải
- Định dạng phương trình đường thẳng (d) cần tìm.
- Do đường thẳng (d) hợp với đường thẳng  một góc  nên cos(; d )  cos  . Từ
đó suy ra yếu tố chưa biết.
- Kêt luận về phương trình đường thẳng (d)
Bài 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng 1;  2 trong các trường hợp sau:
1. 1 : 3x  2 y  1  0;  2 : x  y  5  0
 x  1 t
2. 1 : x  2 y  3  0;  2 : 
 x  3  4t
 xy223t 3t
; 2 : 
3. 1 : 
x y
1 1 y2t 4  yx31  ty  1

; 2 :

4. 1 :
2
3
2
1
Hướng dẫn:
Đây là bài toán cơ bản chỉ việc áp dụng công thức tính góc giữa hai dường
thẳng.
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

13

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
Để xác định góc giữa hai đường thẳng cần xác định véc tơ pháp tuyến hoặc
VTCP của hai đường thẳng
Giải
| 3.1  2.(1) |
1

1. cos(1 ,  2 ) 
9  4. 1  1

26

Vậy góc giữa hai đường thẳng 1;  2 là 780 41'
ur
1 có véc tơ pháp tuyến là n1  (1; 2) nên có véc tơ chỉ phương
2.
Đường
thẳng
ur
u1  (2;1)

uu
r

Đường thẳng  2 có véc tơ chỉ phương u2  (1;3)
cos(1 ,  2 ) 

| 2.(1)  1.3 |
1

4  1. 1  9
50

Vậy góc giữa hai đường thẳng 1;  2 là 81052 '
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;3) và hợp với đường
thẳng  : x-2y+1=0 một góc 450 .
Giải
r
Gọi 1 là đường thẳng đi qua M và có véc tơ pháp tuyến n  (a; b) , ( a 2  b 2  0 ).
Phương trình đường
thẳng 1 có dạng a( x  1)  b( y  3)  0  ax  by  a  3b  0
2
2
 2 | a  2b | 10. a  b
1

450
Do
góc giữa | ađường
và
bằng
nên
.1  b.(2) | thẳng
1
cos(
 6a12, 16
) ab
cos45
 6b02  0



2
a
b  3
a  3b
  b=1 thì
 a=3 . Phương trình đường thẳng 1 là: 3x + y – 6 = 0
Chọn
b  3a
a   1
Chọn
a=1
thì
b =- 3 . Phương trình đường thẳng 1 là: x - 3y -10 = 0
 b
3
5. a 2  b 2

Bài 3: Cho I(1;3) và đường thẳng (d): x+2y -1=0. Viết phương trình đường chéo
hình vuông có tâm I và có cạnh nằm trên đường thẳng (d).
Hướng dẫn:
Đường chéo của hình vuông luôn tạo với cạnh của nó một góc 450 nên yêu cầu
của bài toán là viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I(1;3) và tạo với
đường thẳng (d) một góc 450 .
Đáp số: 3x + y – 9 = 0 v à x - 3y + 7 = 0
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC có phương trình: 2x-3y-5=0, cạnh
AB có phương trình: x+y+1=0. Cạnh AC đi qua điểm M(1;1). Viết phương trình
cạnh AC.
Hướng dẫn:
Cách 1: Dùng góc giữa hai đường thẳng
Cách 2:
- Kẻ MN song song với BC
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

14

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
-

Viết phương trình đường thẳng MN
Tìm tọa độ điểm N
Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng MN
Tìm tọa độ điểm A
Viết phương trình đường thẳng AC( đi qua A và M)
Giải
Cách 1:
r
Đường thẳng AC đi qua M và có véc tơ pháp tuyến n  (a; b) , ( a 2  b 2  0 ).
Phương
trình đường thẳng AC có dạng a( x  1)  b( y  1)  0  ax  by  a  b  0
 a 2  b 2  8a 2  24ab  18b 2
Do tam giác ABC cân đỉnh A
nên
| 2.1
 3.1| | a.2  b.(3) |

2
cos(
 7AB
a 2 , BC
24ab
) c17
os(bAC
,0BC ) 

13. 2
13. a 2  b 2
1 2| 2a  3b |
2
2
  a
a  b  2. | 2a  3b |
a 
2
 7 2  a24
 b 2 17  0
b
b 
 a a=b. Do a 2  b 2  0 nên chọn b=1 thì a=1. Phương trình đường thẳng AC
- Với
a  b
b  1
 17 thỏa mãn vì song song với AB)
 x+y-2=0
 (không
là:

a
17
  17 a  2b 2
- Với
 b a 7 7 b . Do 7a  b  0 nên chọn b=7 thì a=17. Phương trình đường thẳng

AC là: 17x+7y-24=0
Cách 2: HS tự làm

Bài 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2;-1) sao cho đường thẳng
đó lập với hai đường thẳng (d1 ) : 2 x  y  5  0;(d 2 ) : 3 x  6 y  1  0 một tam giác cân
có đỉnh là giao điểm của (d1 );(d 2 ) .
Hướng dẫn: Làm tương tự bài 4
Bài 6. Viết phương trình các cạnh của
hình vuông ABCD biết đỉnh A(-1;2) và
 x  1  2t
phương trình một đường chéo là: 
 y  2t
Hướng dẫn:
Đường chéo của hình vuông luôn tạo với cạnh của nó một góc 450 nên yêu cầu
của bài toán là viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1; 2) và tạo với
đường chéo của hình vuông một góc 450 .
Bài toán 6:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH
ĐOẠN CHẮN
Phương pháp giải
- Định dạng phương trình đường thẳng cần tìm
- Sử dụng giả thiết để tìm các yếu tố chưa biết
- Kết luận về phương trình đường thẳng cần tìm
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

15

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(8;6) và tạo với trục Ox,
Oy một tam giác có diện tích bằng 12
Giải
Gọi  là đường thẳng cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b) (a, b  0):
x y
Phương trình của  có dạng :   1 .
a8 b6
8a
  1  8a  6b  ab  b 
,(a  6)
- Do  đi qua M(8;6) ta có:
1
a b
a6
 OA
.OB  12  | a | . | b | 24
-SDo
2  tạo với trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 12 nên
 6a2  24 | a  8 |
a  8
Với
  a= - 8 thì b=3. Phương trình đường thẳng  là: 3x-8y+24=0
a  4

Với a= 4 thì b= - 6. Phương trình đường thẳng  là: 3x-2y -12=0
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4;1) và tạo với chiều
dương của trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8
Hướng dẫn:
Làm tương tự bài 1 nhưng điều kiện a, b > 0
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(- 4; 10) và chắn trên hai
trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau
Hướng dẫn:
Làm tương tự bài 1 nhưng điều kiện diện tích được thay bởi |a|=|b|
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;2) và tạo trục Ox, Oy
một tam giác có diện tích bằng 6
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;1) và chắn trên hai trục
toạ độ 2 đoạn bằng nhau.
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(–4; 10) và cùng với hai
trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S=2.
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cùng với hai trục
toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S=4.
Bài toán 7:
TÍNH KHOẢNG CÁCH . VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách và công thức phương trình đường phân
giác.

Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

16

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"

1.
2.
3.
4.
5.

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng (d) trong các trường
hợp sau:
1, M(1;1);(d):x  y  5  0
2, M(3;2);(d):2x  3
 x  2  2t
3, M(5;2);(d):
 y  5 t
4, M(3;2);(d):3y  5  0
x 1 y  4

5, M (2;1), (d ) :
2
5
Hướng dẫn
Áp dụng công thức tính khoảng cách
Áp dụng công thức tính khoảng cách
Chuyển PT đường thẳng (d) về PTTQ rồi áp dụng công thức tính khoảng cách
Áp dụng công thức tính khoảng cách
Chuyển PT đường thẳng (d) về PTTQ rồi áp dụng công thức tính khoảng cách
Bài 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau
(d1):3x  4y  1  0;(d2 ):3x  4y  3  0
3 3
1
Ta có:     (d1 ) P (d2 )
4 4
3
Chọn A(-5;4) thuộc (d1)

Giải

4

Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) thì d  d ( A,(d2 )) 
5
Bài 3: Viết Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
(d1 ), ( d 2 ) biết:
1, (d1):2x  3y  1  0;(d2 ):3x  2y  2  0
 x  1 5t
2, (d1):4x  3y  4  0;(d2 ):
 y  3 12t
Hướng dẫn
Đây là bài toán cơ bản chỉ việc áp dụng công thức phương trình đường phân
giác
1

Bài 4: Cho tam giác ABC có A(1;1); B(1;  ); C (4; 3) . Viết phương trình đường
2
phân giác trong của góc A.
Hướng dẫn
Cách 1:
Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc A rồi viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm.
Cách 2:
- Viết phương trình đường thẳng AB, AC
- Viết phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng AB, AC
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

17

"Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng"
- Xác định đường phân giác trong của góc giữa hai đường thẳng AB, AC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng (d) trong các trường
hợp sau:
1, M(3;2);(d):3x  4y  1  0
2, M  3;2 ; (d): Trục Ox
x  2
3, M(3;2);(d):
 y  1 t
Bài 2: Viết phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
1 ,  2 biết :
1, 1 : x  2 y  1  0,  2 : 4 x  y  5  0
x  t
, 2 : x  y  7  0
2, 1 : 
y  4t
3, 1 : 3x  4 y  5  0,  2 : 6 x  8 y  7  0
x  3t
x  u
; 2 : 
4, 1 : 
 y  1 t
 y  1  2u
Bài 3: Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn hợp bởi hai đường
thẳng 1 ,  2 biết : 1 : 3x  4 y  12  0,  2 :12 x  5 y  20  0,
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB : 4 x  3 y  1  0, BC:y =0; AC:3x  4 y  6  0
1. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
2,Tính diện tích tam giác ABC
3. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC có A(6; 3); B(4;3); C (9; 2) .
1, Viết phương trình đường thẳng  là phân giác trong của góc A.
2, Tìm điểm P   sao cho tứ giác ABPC là hình thang
Bài 6: Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết
AB : 4 x  y  2  0, BC : x  4y  8=0; AC:x  4 y  8  0

Bài toán 8:
HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
1) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng 
Phương pháp giải
H  
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng  thì  MH   

Tọa độ điểm H
2) Tìm điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng 
Phương pháp giải
Cách 1:
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng  là điểm H
Gv. Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa

18