Skkn quan hệ giữa parabol và đường thẳng

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng rất phổ biến trong chơng trình Đại số 9 và thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối cấp đặc biệt là
trong các đề thi tuyển sinh vào các trờng THPT. Bởi sự đa dạng và thú vị, sự tổng
hợp của các kiến thức trong cả chơng trình đại số lớp 9 liên quan tới nó, từ các
kiến thức và kĩ năng tính toán đến việc lập luận chặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm
số và đồ thị cho tới sự vận dụng linh hoạt các kiến thức của hệ thức Vi-ét hay sự
lồng ghép vào việc vận dụng các phơng pháp giải phơng trình, hệ phơng trình
v.v…
Chính vì những ứng dụng thực tế trên về quan hệ giữa Parabol và đường
thẳng, trong quá trình dạy học tôi đã đúc rút đợc một vài dạng toán cơ bản và điển
hình về mối quan hệ này. Sau đây xin giới thiệu cùng các đồng nghiệp để chúng ta
cùng tham khảo và trao đổi.

1

II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trớc hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ bản thờng xuyên
sử dụng sau:
Cho Parabol y=a'x2 (P) và đờng thẳng y = ax + b (d)
Khi đó:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x 2 (P) và đờng thẳng y=ax + b (d)
là nghiệm của phơng trình:
a'x2 = ax + b
<=> a'x2 – ax – b = 0 (*)
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phơng
trình (*) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp xúc nhau)
khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính
là nghiệm kép của phơng trình đó.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của mối quan
hệ này:

 Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d)
y=x+6
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (d) y = x + 6
là nghiệm của phơng trình:
x2 = x + 6
 x2 –x – 6 = 0
 = b2 – 4ac
= (–1)2 – 4.1.( –6)
= 1 + 24
= 25
D =5

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
2

x1 =

- b+ D
1+ 5
=
=3
2a
2

x2 =

- b- D
1- 5
=
=- 2
2a
2

Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và – 2
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đờng thẳng (d)
y = – 5x + 4
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x 2 với đờng thẳng (d) y = –5x
+ 4 là nghiệm của phơng trình:
–x2 = –5x + 4
 x2 –5x + 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0 nên x1 = 1; x2 = 4
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4

 Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
1
Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 và đờng thẳng (d):
2
y = 3x – 4
Giải
1
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 và đờng thẳng (d):
2
y = 3x – 4 là nghiệm của phơng trình:
1 2
x = 3x - 4
2
� x2 - 6x + 8 = 0

' = b'2 – ac
= (–3)2 – 1.8
=9–8
=1
D' =1

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
3

- b'+ D ' 3 + 1
=
=4
a
1
- b'- D ' 3- 1
x2 =
=
=2
a
1
Thay x1 = 4 vào ta đợc y1 = 8
Thay x2 = 2 vào ta đợc y2 = 2
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)
x1 =

Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) y =

1 2
x và đờng thẳng (a):
3

y = 2x – 3
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y =

1 2
x và đờng thẳng (a):
3

y = 2x – 3 là nghiệm của phơng trình:
1 2
x = 2x - 3
3
� x2 - 6x + 9 = 0
' = b'2 – ac
= (–3)2 – 1.9
=9–9
=0
Phơng trình có nghiệm kép:

x1 = x2 =

- b' 3
= =3
a
1

Thay x = 3 vào ta đợc y = 3
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)

 Dạng 3: Chứng minh về vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y = - 4 x 2 luôn tiếp xúc với đờng thẳng
(d): y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –4x 2 với đờng thẳng (d) y =
4mx + m2 là nghiệm của phơng trình:
–4x2 = 4mx + m2
4

 4x2 + 4mx + m2 = 0
 = b2 – 4ac
= (4m)2 – 4.4.m2
= 16m2 – 16m2
=0m
Phơng trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đờng thẳng
(d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y = x2 luôn có điểm chung với đờng
thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x 2 với đờng thẳng (d) y = 2(m
– 1)x – 2m + 3 là nghiệm của phơng trình:
x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3
 x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
' = b'2 – ac
= [(m – 1)]2 – (2m – 3)
= m2 – 2m +1 – 2m + 3
= m2 – 4m +4
= (m – 2)2  0  m
Phơng trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung với
đờng thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.

 Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt phẳng
toạ độ giữa Parabol và đờng thẳng.
2
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y = 3 x cắt đờng thẳng (d): y = 5x – 2
tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x 2 với đờng thẳng (d) y = 5x
– 2 là nghiệm của phơng trình:
3x2 = 5x – 2

 3x2 – 5x + 2 = 0
5

Ta có a + b + c= 3 + (–5) + 2 = 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 1 ; x2 = c = 2
a 3
Ta thấy hai nghiệm này cùng dơng. Suy ra hoành độ giao điểm đều dơng. Do đó
giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục tung.
Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P) y = - x2 cắt đờng thẳng (d): y = 2x –
2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = -x2 với đờng thẳng (d) y = 2x –
2007 là nghiệm của phơng trình:
–x2 = 2x – 2007
 x2 + 2x – 2007 = 0
Vì có a.c = 1.( –2007) < 0 nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Do đó giao
điểm thuộc hai phía đối với trục tung.

 Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.
Ví dụ 9: Cho Parabol (P) y = x 2 cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x – m2 – 9.
Tìm m để:
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (D) tiếp xúc với (P).
c) (D) không cắt (P).
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (D)
y = 2(m +1)x – m2 – 9 là nghiệm của phơng trình:
x2 = 2(m +1)x – m2 – 9
 x2 – 2(m +1)x + m2 +9= 0 (1)
' = b'2 – ac
= [(m + 1)]2 – (m2 + 9)
= m2 + 2m +1 – m2 – 9
= 2m – 8
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (1) có hai nghiệm
phân biệt
<=> ' > 0
6

<=> 2m – 8 > 0
<=> 2m > 8
<=> m > 4
Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (1) có nghiệm kép
<=> ' = 0
<=> 2m – 8 = 0
<=> 2m = 8
<=> m = 4
Vậy với m = 4 thì (D) tiếp xúc với (P).
c) (D) không cắt (P) <=> Phơng trình (1) vô nghiệm
<=> ' < 0
<=> 2m – 8 < 0
<=> 2m < 8
<=> m < 4
Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P).
Ví dụ 10: Cho Parabol (P) y = x2 cắt đờng thẳng (D): y = 4x + 2m.
a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P).
b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ
độ giao điểm khi m =

3
2

Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đờng thẳng (D)
y = 4x + 2m là nghiệm của phơng trình:
x2 = 4x + 2m
 x2 – 4x – 2m = 0 (*)
' = b'2 – ac
= (–2)2 – (–2m)
= 4 + 2m
a) (D) tiếp xúc với (P) <=> Phơng trình (*) có nghiệm kép
<=> ' = 0
7

<=> 4 + 2m = 0
<=> m = –2
Vậy với m = –2 thì (D) tiếp xúc với (P).
b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt <=> Phơng trình (*) có hai nghiệm
phân biệt
<=> ' > 0
<=> 4 + 2m > 0
<=> m > –2
Vậy với m > –2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Khi m =

3
thì hoành độ giao điểm của A, B là nghiệm của phơng trình:
2

x2 – 4x – 3 =0
' = b'2 – ac
= (–2)2 – 1(–3)
=4+3
= 7
D' = 7

x1 =

x2 =

- b'+ D '
= 2+ 7
a

- b'-

D'
a

= 2-

7

Thay x1 =2 + 7 vào ta đợc y1 = 11 +4 7
Thay x1 =2 – 7 vào ta đợc y1 = 11 –4 7
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là:
A(2 + 7 ; 11 +4 7 ); B(2 – 7 ; 11 – 4 7 )

 Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến giữa Parabol và đờng thẳng.
1 2
x
2
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại điểm M có hoành độ –

Ví dụ 11: Cho Parabol (P) y = 2.

8

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) viết tiếp tuyến này song song với đờng
1
2

thẳng y = x - 1
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;

3
) và tiếp xúc với (P).
2

Giải
Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b
a) Thay x = –2 vào phơng trình Parabol ta đợc y = – 2
Vậy M(–2; –2)
vì đờng thẳng đi qua M(–2; –2) nên ta có:
–2 = –2a + b => b = 2a – 2 (1)
Mặt khác, đờng thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phơng trình:
1
- x2 = ax + b Có nghiệm kép
2
2
� x + 2ax + 2b = 0 Có nghiệm kép
 ' = 0
 a2 – 2b =0 (2)
Thay (1) vào (2) ta đợc: a2 – 2(2a – 2) = 0
a2 – 4a +4 =0
 (a – 2)2 = 0
a=2
Với a = 2 thay vào (1) ta đợc b = 2.2 – 2 = 2
Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là:
y = 2x + 2
b)
1
2

Vì tiếp tuyên song song với y = x - 1 nên ta có a =

1
2

1
2

Suy ra phơng trình đờng thẳng có dạng y = x + b
Vì đờng thẳng này tiếp xúc với (P) nên phơng trình:
1
1
- x2 = x + b có nghiệm kép
2
2
 x2 + x + 2b = 0 (I)
 = b2 – 4ac
9

có nghiệm kép

= 12 – 4.1.2b
= 1 – 8b
Để phơng trình (I) có nghiệm kép thì  = 0
 1 – 8b = 0
1
b=
8
1
1
Vậy phơng trình tiếp tuyên cần tìm là: y = x +
2
8
c)

Đờng thẳng (d) đi qua A(1;

3
) nên ta có:
2

3
3
= a + b => b =
– a (3)
2
2

Vì đờng thẳng tiếp xúc với Parabol nên phơng trình:
1
Có nghiệm kép
- x2 = ax + b
2
2
� x + 2ax + 2b = 0( II ) Có nghiệm kép
Ta có: ' = a2 – 2b
Để phơng trình (II) có nghiệm kép thì a2 – 2b = 0 (4)
Thay (3) vào (4) ta đợc: a2 – 2(

3
–a) = 0
2

 a2 + 2a – 3 = 0
Suy ra a = 1 và a = – 3
1
* Với a = 1 thay vào (3) ta đợc b =
2
* Với a = 3 thay vào (3) ta đợc b = Vậy qua A(1;

3
2

3
) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là:
2
y=x+

1
3
; y = 3x 2
2

 Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tơng giao thoả mãn điều kiện cho trớc.
2
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) y = - x và đờng
thẳng (d) có phơng trình y = mx – 1

10

a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1; x2. Chứng minh x1 - x2 �2
Giải
a) Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đờng thẳng (d)
y = mx – 1 là nghiệm của phơng trình:
–x2 = mx – 1
 x2 + mx – 1= 0 (*)
 = b2 – 4ac
= m2 – 4.1.( –1)
= m2 + 4 > 0  m
Vì  > 0  m, nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Ta có x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (*) nên theo định lí Vi-ét có:
x1.x2 = –1
=> x1 - x2 = x1 +
Vì x1 và

1
x2

1
cùng dấu nên:
x1
x1 +

1
1
1
= x1 +
�2 x1 .
=2
x2
x1
x1

Vậy x1 - x2 �2
Ví dụ 13: Cho Parabol (P) có phơng trình: y =

x2
và đờng thẳng (D) có ph2

ơng trình: y = mx – m + 2
a) Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt.
c) Giảc sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P). Chứng
minh rằng: y1+y2  (2 2 –1)(x1+x2)
Giải
x2
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y =
với đờng thẳng (D) y = mx – m
2
+ 2 là nghiệm của phơng trình:

11

x2
= mx - m + 2
2
� x2 - 2mx + 2m - 4 = 0(**)

a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải là
nghiệm của phơng trình (**).
Từ đó suy ra:
42 – 2m.4 +2m – 4 = 0
=> m = 2
Vậy với m = 2 thì đờng thẳng (D) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành
độ bằng 4.
b)
(D) và (P) tại hai điểm phân biệt <=> phơng trình (**) có hai nghiệm phân
biệt <=> ' > 0
<=> (–m)2 – (2m – 4) > 0
<=> m2 – 2m +4 > 0
<=> (m – 1)2 +3 > 0 luôn đúng  m
Vậy (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c)
Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) nên x 1 và x2 là
nghiệm của phơng trình (**)
Theo định lí Vi-ét x1 + x2 = -

b
= 2m
a

Ta lại có: y1= mx1 – m + 2; y2 = mx2 – m + 2
Suy ra:
y1 + y2 = (mx1 – m + 2) + (mx2 – m + 2)
= m(x1 + x2) – 2m + 4
= 2m2 – 2m + 4
= [( 2 m)2 – 4 2 m + 4] + (2 2 –1).2m
= ( 2 m – 2)2 +(2 2 – 1).2m
= ( 2 m – 2)2 +(2 2 – 1).(x1 + x2) (vì x1 + x2 = 2m)

12

13

III) KẾT THÚC VẤN ĐỀ
Trên đây tôi đã giới thiệu cùng các đồng nghiệp về bảy dạng toán quan hệ giữa
Parabol và đờng thẳng trong chơng trình Đại số 9 mà tôi đã nghiệm đợc trong quá
trình giảng dạy. Các bài toán về dạng này rất phong phú và đa dạng. Song do thời
gian nghiên cứu cha nhiều, bài viết có thể còn thiếu sót, tôi rất mong đợc sự trao
đổi, góp ý của các đồng nghiệp về vấn này để việc dạy Toán nói chung và toán 9
nói riêng đạt đợc hiệu quả cao hơn, góp phần giúp các em học sinh có thêm kiến
thức, kĩ năng, hứng thú… trong giải toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi
cuối cấp và kì thi tuyển sinh vào các trờng THPT đạt hiệu quả cao.
Xin trân trọng cảm ơn!

14