Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 +c và ứng dụng

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
y  ax 4  bx 2  c VÀ ỨNG DỤNG
Các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong các năm gần đây, chúng ta thường
4
2
gặp câu khảo sát hàm số y  ax  bx  c  a �0  và các vấn đề liên quan đến các điểm cực trị
của đồ thị hàm số này. Để giúp học sinh ôn thi có hiệu quả, bài viết này đưa ra các tính chất
thường gặp của các điểm cực trị của hàm số y  ax 4  bx 2  c và một số ứng dụng của nó.

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

4
2
Xét hàm số y  ax  bx  c  a �0  trên �.

x0
�
 4ax3  2bx  2 x  2 ax 2  b  . Suy ra y�
0� � 2
Ta có y�
2ax  b  0 (1)
�
Ở đây chúng ta chỉ xét trường hợp hay gặp là đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm
cực trị phân biệt.
 0 có ba
Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi y�
nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 � ab  0 (*)
x0
�
�
0�
Với điều kiện (*) ta có y�
b . Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
�
x�
�
2a
�
�
� b
b
b2 �
b2 �
A  0; c  , B �
  ; c  �và C �  ; c  �.
2a
4a �
4a �
�
� 2a
2b
b 4  8ab
Khi đó ta có AB  AC 
và BC   .
2
a
16a
Sau đây là một số tính chất thường gặp của các điểm cực trị này.
1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Vì AB  AC nên tam giác ABC là tam giác cân tại A. Suy ra tam giác ABC là tam giác
�  900 hay tam giác ABC vuông cân tại A.
vuông khi và chỉ khi BAC
2b
b 4  8ab
2
2
 2.
Khi đó BC  AB 2 � BC  2 AB � 
� b 3  8a  0
2
a
16a
Tính chất 1: Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
ab  0
�
tam giác vuông khi và chỉ khi �3
.
b  8a  0
�
2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
Ta có tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB  AC  BC � AB 2  BC 2
b 4  8ab
2b
�

� b3  24a  0 .
2
16a
a

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

1

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất 2: Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
ab  0
�
tam giác đều khi và chỉ khi �3
.
b  24a  0
�
3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc 
cho trước.
Có ba trường hợp xảy ra.
Trường hợp 1:   900 .
Khi đó tam giác ABC là tam giác tù. Vì tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC có
�  .
một góc   900 khi và chỉ khi BAC
�
Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos BAC
2b
b 4  8ab
� BC 2  2 AB 2  1  cos   � 
 2.
 1  cos   � 16a   b3  8a   1  cos  
2
a
16a
3
3
� b  8a   b  8a  cos   0 .
Trường hợp 2:   900 ( ta đã xét ở tính chất 1)
Trường hợp 3:   900 .
0
� C
�   thì �
+ Nếu B
A  1800  2 , suy ra cos A  cos  180  2    cos 2 .
�
Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos BAC
2b
b 4  8ab
� BC 2  2 AB 2  1  cos 2  � 
 2.
 1  cos 2  � 16a   b3  8a   1  cos 2 
2
a
16a
3
3
� b  8a   b  8a  cos 2  0 .
3
3
+ Nếu �
A   thì tương tự trường hợp 1, ta có b  8a   b  8a  cos   0 .

Tính chất 3. Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của
một tam giác cân có một góc  cho trước khi và chỉ khi ab  0 và
3
3
hoặc b  8a   b  8a  cos   0 nếu   900
hoặc b3  8a  0 nếu   900
3
3
�C
�    900
hoặc b  8a   b  8a  cos 2  0 nếu B
3
3
hoặc b  8a   b  8a  cos   0 nếu �
A    900 .
4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC  OA (với O là gốc tọa độ)
2b
 c 2 � ac 2  2b  0 .
Ta có BC  OA � BC 2  OA2 � 
a
Tính chất 4. Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện
ab  0
�
BC  OA (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi � 2
.
ac  2b  0
�
5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện tích
tam giác đó.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

2

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó H
�
b2 �
b2
b2
0; c  �. Suy ra AH  

có tọa độ H �
.
4a �
4a 4 a
�
Vậy diện tích tam giác ABC là S ABC

1
2b b 2
1
b5
 BC. AH  .  .
.
 
2
a 4a
2
32a 3

Tính chất 5. Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh
ab  0
�
�
của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi �
b5 .
�S  
32a 3
�
6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao điểm của BC với trục
�
b2 �
b2
b2
H
0;
c

AH



Oy. Khi đó H có tọa độ là �
.
�và
4a �
4a 4 a
�
ACH 
Từ tam giác vuông AHC, ta có sin �

AH AH

.
AC AB

AB
AB 2 b 4  8ab 4 a


� 2
Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta được 2 R 
16a 2
b
sin �
ACH AH
3
b  8a
Suy ra R 
.
8ab
Tính chất 6. Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh
ab  0
�
�
của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi � b3  8a .
�R  8 a b
�

II. ỨNG DỤNG
Ví dụ 1. (Câu 1 đề thi TSĐH năm 2012 khối A và khối A1)
4
2
2
Cho hàm số y  x  2  m  1 x  m (1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 1, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
m  1
�
2  m  1  0
�
ab  0
m  1
�
�
�
�
�
��
��
�m0
vuông khi và chỉ khi �3
�
3
3
m

0
m

1

1
b  8a  0



8
m

1

8

0
�
�


�
�
Ví dụ 2. (Câu 1 đề thi TSĐH năm 2011 khối B)
4
2
Cho hàm số y  x  2  m  1 x  m (1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA  BC ; trong đó O là
gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

3

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lời giải.
Áp dụng tính chất 4, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA  BC khi
�
2  m  1  0
ab  0
m  1
�
�
�
��2
��2
và chỉ khi � 2
� m  2 �2 2 .
ac

2
b

0
m

4
m

4

0
m

4
m

1

0


�
�
�
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  3 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại
2m  0
�
ab  0
�
�
�
3
tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị là R khi và chỉ khi � b3  8a � �  2m   8
�R  8 2m
�R  8 a b


�
�
m0
�
1� 2 1 �
�
� � m3  1 . Suy ra R  �
m  �.
2�
m�
�R 
2m
�
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có
1� 2 1
1 � 1 3 2 1 1
3 1
3
R �
m 

.
 . 3  .3 2 .
�� .3. m .
2�
2m 2 m � 2
2m 2m 2 4 4
1
1
3
1
� m3  � m  3 .
Vậy min R  . 3 2 � m 2 
2
2
4
2m
Ví dụ 4. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  1 (1)
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi
qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm
2m  0
�
ab  0
�
m0
�
�
�
�
3
3
này có bán kính R khi và chỉ khi � b  8a hay �  2m   8 � � m3  1
�R  8 2m
�R  8 a b
�R 


2m
�
�
�
m3  1
2
Theo đề bài ta có R  1 , suy ra 1 
� m3  2m  1  0 �  m  1  m  m  1  0
2m
m 1
�
1  5
�
�
.
1 � 5 . Đối chiếu với điều kiện m  0 ta được m  1 , m 
�
m
2
�
2
4
2
2
Ví dụ 5. Cho hàm số y  x  2  m  2  x  m  5m  5

 Cm 

Với những giá trị nào của m thì đồ thị  Cm  có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 2, đồ thị  Cm  có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

4

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ab  0
�
cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều khi và chỉ khi �3
b  24a  0
�
m2
�
2  m  2  0
�
m2
�
�
�
�
�
��
�
�
� m  2 3 3.
3
3
3
 m  2   3 �m  2  3
8  m  2   24  0
�
�
Ví dụ 6. Cho hàm số y   x 4  2mx 2  1
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một
góc bằng 1200 .
Lời giải.
Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có
ab  0
�
�
một góc   1200 khi và chỉ khi �3
b  8a   b3  8a  cos   0
�
m0
�
2m  0
�
m0
�
�
�
�
�� 3
�
1
�
�
�
�
8m3  8   8m3  8 �
 � 0
8m  8   8m3  8  cos1200  0
12m3  4  0
�
�
�
� 2�
�
m0
m0
�
�
1
�
�
��3 1 ��
1 �m 3 .
m
m 
3
�
�
3
�
� 33
Ví dụ 7. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  2 .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện
tích bằng 32.
Lời giải.
Theo tính chất 5, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có
2m  0
ab  0
�
�
m0
�
�
�
�
5 �
5
�
diện tích S  32 khi và chỉ khi �
�
�
b
 2m 
32  m5
�
32  
�S  
�
3
3
32a
�
32.1
�
m0
�
m0
�
�
�
�� 2
� 5 2 � m  4.
5
32

m
m  32
�
�
Ví dụ 8. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một
góc bằng 300 .
Lời giải
Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân
có một góc   300 khi và chỉ khi ta có hai trường hợp sau
ab  0
�
�
0
+ Nếu góc ở đỉnh   30 thì �3
(1)
b  8a   b3  8a  cos   0
�

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

5

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ab  0
�
�
+ Nếu góc ở đáy   300 thì �3
(2)
b  8a   b3  8a  cos 2  0
�
m0
�
2m  0
�
�
�
�� 3
Ta có (1) � � 3
3
3
0
8
m

8

8
m

8
cos30

0


8m  8   8m3  8  .
0
�
�
2
�
m0
�
m0
�
2
�
�
��3
��
2 � m  3 2  3
3
m   2 3
�
�2  3 m  2  3  0
�
m0
�
2m  0
�
m0
�
�
�
�� 3
�� 3
Và (2) � � 3
1
3
0
3
8m  8   8m  8  cos 60  0
8m  8   8m  8  .  0
3m  1  0
�
�
�
�
2
m0
m0
�
�
1
�
�
��3
1 �m3 .
1 ��
m3
m 
3
�
�
3
3
�
�
2
1
Vậy khi m   3 hoặc m   3 2  3 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
3
ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 300 .

















III. BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
ĐS: m  3 3
Bài tập 2. Cho hàm số y   x 4  2mx 2  m 2  m .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
2
1
ĐS: m  3 2  3 hoặc m  3
300 .
3
4
2
Bài tập 3. Cho hàm số y  2 x  2mx  m  1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo
bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất
3
ĐS: min R  � m  1
4
4
2
Bài tập 4. Cho hàm số y  2 x  2  m  3 x  m  1 (1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA  BC ; trong đó O là gốc tọa
độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
ĐS: m  � 5
4
2
Bài tập 5. Cho hàm số y   x  2  m  1 x  m  1 .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng
32.
ĐS: m  3





-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

6

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

IV. KẾT LUẬN
Bài viết này đã nêu ra 6 tính chất của các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c
 a �0  và một số ứng dụng của chúng. Hy vọng rằng bài viết này cung cấp cho các bạn một tài
liệu để giảng dạy và ôn tập cho học sinh lớp 12 thi vào các trường Đại học và Cao đẳng có kết
quả. Cuối cùng tác giả mong đón nhận được sự góp ý chân thành của các bạn và xin chúc các
bạn sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt.
Trân trọng cám ơn.
Nguyễn Văn Thiết

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

7

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MỤC LỤC
Mở đầu ……………………………………………………………………………..trang 1
I. Cơ sở lý thuyết ……………………………………………………………………….. 1
1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác vuông. ………………………………………………………………. 1
Tính chất 1
2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác đều. …………………………………………………………………. 1
Tính chất 2
3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác cân có một góc  cho trước………………………………………….2
Tính chất 3
4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC  OA
(với O là gốc tọa độ) …………………………………………………………. 2
Tính chất 4
5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác và tính diện tích tam giác đó………………………………………... 2
Tính chất 5
6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một
tam giác và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC……………… 3
Tính chất 6
II. Ứng dụng
Ví dụ 1……………………………………………………………………………. 3
Ví dụ 2 …………………………………………………………………………… 3
Ví dụ 3 …………………………………………………………………………… 4
Ví dụ 4 …………………………………………………………………………… 4
Ví dụ 5 …………………………………………………………………………… 4
Ví dụ 6 …………………………………………………………………………… 5
Ví dụ 7 ………………………………………………………………………….... 5
Ví dụ 8 …………………………………………………………………………… 5
III. Bài tập
Bài tập 1 …………………………………………………………………………. 6
Bài tập 2 …………………………………………………………………………. 6
Bài tập 3 …………………………………………………………………………. 6
Bài tập 4 …………………………………………………………………………. 6
Bài tập 5 …………………………………………………………………………. 6
IV. Kết luận ……………………………………………………………………………... 7
Mục lục …………………………………………………………………………………. 8
Nhận xét của BGH………………………………………………………………………. 9

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

8

Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c và ứng dụng
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Xếp loại: .......................................................................
Ngày .........tháng..........năm ...........

PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………
Ngày .........tháng..........năm ...........

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

9