Vành chính, vành euclide và ứng dụng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
Nguyễn Thị Như Quỳnh
VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Hà Nội – Năm 2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
Nguyễn Thị Như Quỳnh
VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Đại số
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Th.S Dương Thị Luyến
Hà Nội – Năm 2017
Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cảm ơn
Lời mở đầu
1
Bảng kí hiệu
2
1 VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE
3
1.1
Các khái niệm và tính chất số học trong miền nguyên .
3
1.2
Vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2
Các tính chất của vành chính . . . . . . . . . .
6
Vành Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.2
Tính chất của vành Euclide . . . . . . . . . . .
15
1.3
2 ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE 17
2.1
Vành số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1
Xây dựng vành số nguyên . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2
Vành số nguyên là vành chính, vành Euclide . .
18
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
2.2
2.3
2.4
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Ứng dụng trong vành số nguyên . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.1
Khái niệm UCLN . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.2
Sự tồn tại của UCLN . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2.3
Bài toán tìm UCLN
. . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.4
Đẳng thức Bezout
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2.5
Phần tử bất khả quy trong vành số nguyên . . .
29
2.2.6
Định lý về sự phân tích tiêu chuẩn . . . . . . .
30
2.2.7
Phương trình vô định . . . . . . . . . . . . . . .
34
Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3.1
Xây dựng vành đa thức một ẩn . . . . . . . . .
36
2.3.2
Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3.3
Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Ứng dụng trong vành đa thức một ẩn trên một trường
39
2.4.1
Phép chia Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.4.2
UCLN của hai đa thức nguyên tố cùng nhau . .
43
2.4.3
Thuật chia Euclide . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.4.4
Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.4.5
Sự phân tích một đa thức thành các nhân tử bất
khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
KẾT LUẬN
50
Tài liệu tham khảo
50
Nguyễn Thị Như Quỳnh
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Lời cảm ơn
Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự
giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay,
khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn
chân thành, sâu sắc tới cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến người
đã trực tiếp tạo mọi điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong
suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này.
Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên
khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Như Quỳnh
Nguyễn Thị Như Quỳnh
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Lời cam đoan
Khoá luận tốt nghiệp "Vành chính, vành Euclide và ứng
dụng" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên
cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo - Thạc Sĩ
Dương Thị Luyến
Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đã
viết trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin cam đoan kết quả
trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tác
giả nào khác.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Như Quỳnh
Nguyễn Thị Như Quỳnh
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó lý thuyết vành
chiếm một phần quan trọng trong Đại số. Vành chính, vành Euclide
là hai khái niệm rất trừu tượng trong lý thuyết vành. Hai lớp vành
đặc biệt này có những tính chất quan trọng được áp dụng rất nhiều
trong toán phổ thông, điều đó thể hiện rõ nhất trong toán trung học
cơ sở. Mà các ứng dụng của vành chính, vành Euclide trong toán phổ
thông chính là các ứng dụng trên vành số nguyên và vành đa thức
một ẩn trên trường số. Xuất phát từ những lý do đó, em quyết định
chọn đề tài khóa luận mang tên "Vành chính, vành Euclide và
ứng dụng".
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Khóa luận này nghiên cứu các kiến thức về vành chính, vành Euclide
và ứng dụng của chúng trong hai lớp vành: vành số nguyên và vành
đa thức một ẩn trên trường số.
Khóa luận này gồm hai chương:
Chương 1. Vành chính, vành Euclide.
Chương 2. Ứng dụng của vành chính, vành Euclide.
3. Đối tượng nghiên cứu
Vành chính, vành Euclide và ứng dụng của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.
Nguyễn Thị Như Quỳnh
1
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Bảng kí hiệu
Kí hiệu
Định nghĩa
a|b
a là ước của b
∀
Lượng từ tổng quát
∀xf (x)
Với mọi x, f (x)
∃
Lượng từ tồn tại
∃x, f (x)
Tồn tại x, f (x)
δ:X→Y
Ánh xạ δ từ X đến Y
Z
Tập hợp các số nguyên
R
Tập hợp các số tự nhiên
C
Tập hợp các số phức
Q
Tập hợp các số hữu tỷ
Nguyễn Thị Như Quỳnh
2
K39B Sư phạm Toán
Chương 1
VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLIDE
1.1
Các khái niệm và tính chất số học trong miền
nguyên
Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1. Ta có
các khái niệm và tính chất số học sau:
Định nghĩa 1.1. Một phần tử a ∈ A gọi là bội một phần tử b ∈ A
.
hay a chia hết cho b, kí hiệu: a..b, nếu có c ∈ A sao cho a = bc. Ta còn
nói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b|a.
Định nghĩa 1.2. Các ước của đơn vị gọi là các phần tử khả nghịch.
Chẳng hạn, trong vành Z các số nguyên, các phần tử khả nghịch là
1 và −1. Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, các đa thức
bậc 0 nghĩa là các phần tử khác 0 của K là các phần tử khả nghịch.
Định nghĩa 1.3. Hai phần tử x và x0 gọi là liên kết nếu chúng là ước
của nhau, tức là x0 = ux với u khả nghịch.
Chẳng hạn, trong vành các số nguyên Z, hai số nguyên a và −a là
liên kết.
3
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, hai đa thức f (x) và
af (x), a ∈ K và a 6= 0, là liên kết.
Định nghĩa 1.4. Cho b là một ước của a. Khi đó b được gọi là ước
thực sự của a nếu b không khả nghịch và b không liên kết với a.
Định nghĩa 1.5. Giả sử a là một phần tử khác 0 và không khả nghịch
của A; a gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu a không có ước
thực sự
Định nghĩa 1.6. Nếu c|a và c|b thì c gọi là ước chung của a và b.
Phần tử d gọi là ước chung lớn nhất của a và b, kí hiệu UCLN(a, b),
nếu d là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b đều là
ước của d.
Nếu d là một ước chung lớn nhất của a và b thì d0 cũng là ước chung
lớn nhất của a và b, trong đó d0 là một phần tử liên kết với d. Nên ta
viết UCLN(a, b) ∼ d.
Định nghĩa 1.7. a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng
nhận phần tử đơn vị làm ước chung lớn nhất.
Tính chất 1.1.1. Một số tính chất trong miền nguyên
(i) a|b khi và chỉ khi Aa ⊃ Ab.
(ii) a|0,∀a ∈ A.
(iii) 1|a, ∀a ∈ A.
(iv) a|a, ∀a ∈ A.
Nguyễn Thị Như Quỳnh
4
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
(v) Nếu a|b và b|c thì a|c.
Nếu a|b và a|c thì a|b + c.
Tổng quát: Nếu a|bi , i = 1, n thì a|
Pn
i=1 bi xi , xi
∈A
(vi) Nếu a|b thì (a) ⊂ (b)
Nếu a ∼ 1 thì (a) = A.
Nếu a ∼ b thì (a) = (b).
1.2
Vành chính
1.2.1
Định nghĩa
Định nghĩa 1.8. Một miền nguyên X được gọi là một vành chính
nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính.
Ví dụ
Vành các số nguyên Z là vành chính.
Thật vậy, chỉ cần chứng minh rằng mọi iđêan A của Z đều là iđêan
chính.
Nếu A = {0} = 0Z thì A là một iđêan sinh chính bởi 0.
Nếu A 6= {0}, thì tồn tại a ∈ A, a 6= 0 nên −a ∈ A. Vậy A chứa
các số nguyên âm và các số nguyên dương. Gọi n là số nguyên dương
nhỏ nhất trong A. Ta sẽ chỉ ra A là iđêan chính sinh bởi n.
Ta có ∀a ∈ A, chia a cho n ta được : a = nb + r với b, r ∈ Z
và 0 ≤ r < n. Vì A là một iđêan và n ∈ A nên nb ∈ A, do đó
r = a − nb ∈ A.
Nếu r 6= 0 thì n không là số nguyên dương bé nhất của A, mâu
thuẫn giả thiết của số n, do đó r = 0 hay a = nb ∈ (n).
Nguyễn Thị Như Quỳnh
5
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Suy ra A ⊂ (n).
Ta cũng có n ∈ A nên (n) ⊂ A.
Vậy A = (n). Suy ra điều phải chứng minh.
1.2.2
Các tính chất của vành chính
Tính chất 1.2.1. Trong vành chính A, ước chung lớn nhất của hai
phần tử a và b bất kỳ luôn tồn tại.
Chứng minh
Gọi I là iđêan sinh bởi a và b. Các phần tử I có dạng ax + by với
x, y ∈ A. Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử
d nào đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng:
d = ax + by, x, y ∈ A
(1)
Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b.
Vì a, b ∈ I = dA, nên a = da0 , b = db0 , a0 , b0 ∈ A. Do đó d là ước
chung của a, b. Thêm nữa nếu c là một ước chung của a và b, tức là
có a”, b” ∈ A sao cho a = ca”, b = cb”, thế thì (1) trở thành
d = c(a”x + b”y)
Do đó c|d.
Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b.
Tính chất 1.2.2. Nếu e là một ước chung lớn nhất của a và b, thì có
r, s ∈ A sao cho
e = ar + bs
Nguyễn Thị Như Quỳnh
6
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Tính chất 1.2.3. Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s ∈ A sao
cho
1 = ar + bs
Tính chất 1.2.4. Nếu c|ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì c|b.
Chứng minh
Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên theo tính chất 1.2.3, ta có r, s ∈ A
sao cho
1 = ar + cs
Nhân hai vế của đẳng thức với b ta được
b = abr + bcs
Vì c|ab nên có q ∈ A sao cho ab = cq. Do đó
b = c(qr + bs).
Từ đẳng thức trên suy ra c|b.
Tính chất 1.2.5. Giả sử x là một phần tử bất khả quy và a là một
phần tử bất kì. Thế thì hoặc x|a hoặc x và a nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh
Vì x là bất khả quy nên các ước của x là các phần tử liên kết với
x và các phần tử khả nghịch. Do đó gọi d là một ước chung lớn nhất
của x và a, thì d ∼ (x, a), suy ra d|x, mà x là bất khả quy, nên xảy ra
hai trường hợp:
TH1: d ∼ x suy ra x|a.
Nguyễn Thị Như Quỳnh
7
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Th2: d ∼ 1 suy ra (x, a) = 1, hay x và a nguyên tố cùng nhau.
Tính chất 1.2.6. Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch.
Các mệnh đề sau đây là tương đương:
a) x là bất khả quy.
b) x|ab thì x|a hoặc x|b.
Chứng minh
(a ⇒ b) Theo tính chất 1.2.5 ta có hoặc x|a hoặc x và a nguyên tố
cùng nhau. Nếu x và a nguyên tố cùng nhau theo tính chất 1.2.4 ta
có x|b.
(b ⇒ a) Giả sử a là một ước của x, thế thì có b ∈ A sao cho
x = ab
Vì x|x nên x|ab = x. Theo b) x|a hoặc x|b. Nếu x|a thì kết hợp a|x
ta có a và x liên kết. Nếu x|b thì kết hợp b|x ta có x = ub, u là khả
nghịch. Do đó
x = ab = ub
Nhưng x 6= 0, nên b 6= 0 do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên.
Cho nên một ước a của x chỉ có thể là hoặc liên kết với x hoặc là khả
nghịch. Vậy x là bất khả quy.
Tính chất 1.2.7. Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iđêan của
A sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm , có một iđêan M của họ F là tối
đại trong F .
Chứng minh
Nguyễn Thị Như Quỳnh
8
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Giả sử I0 là một iđêan của F . Hoặc I0 là tối đại trong F , ta có
điều phải chứng minh. Hoặc có một iđêan I1 của F sao cho I1 6= I0 và
I1 ⊃ I0 . Nếu I1 là tối đại trong F thì ta có điều phải chứng minh, nếu
không ta lại có một iđêan I2 của F sao cho I2 6= I1 và I2 ⊃ I1 . Tiếp
tục quá trình này , hoặc ta được một iđêan M của F tối đại trong F ,
hoặc là ta được một dãy vô hạn những iđêan phân biệt trong F :
I0 ⊂ I1 ⊂ ... ⊂ In ⊂ In+1 ⊂ ...
Ta giả sử trường hợp sau xảy ra. Gọi I là hợp của các iđêan trong dãy
trên
I=
[
In
n∈N
Dễ dàng thấy I một iđêan của A. Vì A là một vành chính nên iđêan
I được sinh ra bởi một phần tử x ∈ I. Theo định nghĩa của hợp, có
một số tự nhiên n sao cho x ∈ In . Điều này kéo theo I ⊂ In và do đó
In = In+1 , mâu thuẫn với giả thiết các iđêan của dãy là phân biệt. Do
đó điều giả sử không xảy ra.
Vậy ta có một iđêan M của F tối đại trong F .
Tính chất 1.2.8. Trong vành chính A, mọi phần tử khác 0 và không
khả nghịch đều phân tích được một cách duy nhất thành một tích những
nhân tử bất khả quy (không kể đến thứ tự và sai khác một số nhân tử
khả nghịch).
Nghĩa là
Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Khi đó, x có
Nguyễn Thị Như Quỳnh
9
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
thể viết duy nhất dưới dạng
x = p1 p2 ...pn
(2)
với các pi , i = 1, 2, ..., n, là những phần tử bất khả quy.
Chứng minh
Chứng minh sự tồn tại: Gọi F là tập hợp các phần tử không khả
nghịch x 6= 0 sao cho x không được viết dưới dạng (2). Ta hãy chứng
minh F 6= ∅. Giả sử F 6= ∅. Ta kí hiệu F là họ các iđêan Ax với
x ∈ F . Theo tính chất 1.2.7, F có một phần tử m sao cho Am là tối
đại trong F. Trước hết m không bất khả quy, vì nếu m bất khả quy
thì m có dạng (2). m không bất khả quy thì m có ước thực sự, chẳng
hạn a là một ước thực sự của m, điều đó có nghĩa là có b ∈ A sao cho
m = ab
Như vậy b cũng là một ước của m, b không thể là khả nghịch vì sẽ
kéo theo a liên kết với m, b không thể liên kết với m vì sẽ kéo theo a
khả nghịch, do đó b phải là ước thực sự của m. Vì a và b là những ước
thực sự của m , nên ta có
Am ⊂ Aa, Am 6= Aa
và
Am ⊂ Ab, Am 6= Ab
Do Am là tối đại trong F nên Aa và Ab không thuộc F , do đó a và
b không thuộc F ; a và b đều khác 0, khác khả nghịch và không thuộc
F , nên a và b phải được viết dưới dạng (2)
a = p1 p2 ...pi ,
b = pi+1 , ..., pn
Nguyễn Thị Như Quỳnh
10
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
điều này kéo theo
m = ab = p1 p2 ...pn
mâu thuẫn với m ∈ F .
Chứng minh tính duy nhất: Giả sử x có hai sự phân tích thành tích
các phần từ bất khả quy như sau:
x = p1 p2 ...pm
x = q1 q2 ...qn
với p1 , p2 , ..., pm , q1 , q2 , ..., qn là những phần tử bất khả quy. Thế thì
m = n, và với một sự đánh số thích hợp ta có qi = ui pi , i = 1, 2, ..., m.
Theo tính chất 1.2.6 nhân tử bất khả quy p1 của x phải là ước của
một qi nào đó. Vì A là giao hoán nên ta có thể giả thiết rằng p1 là ước
thực sự của q1 . Nhưng q1 là bất khả quy, nó không có ước thực sự, do
đó p1 là ước không thực sự của q1 . Thêm nữa p1 không khả nghịch,
cho nên phải có p1 và q1 liên kết, tức là q1 = u1 p1 với u1 khả nghịch.
Như vậy ta được p1 p2 ...pm = u1 p1 q2 ...qn .
Vì p1 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được
p2 ..pm = u1 q2 ...qn .
Theo tính chất 1.2.6, p2 là một ước thực sự của một qi nào đó với
i ≥ 2. Ta có thể giả thiết rằng p2 là ước của q2 . Do đó q2 = u2 p2 với
u2 khả nghịch. Như vậy ta được
p2 p3 ...pm = u1 u2 p2 q3 ...qn .
Nguyễn Thị Như Quỳnh
11
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Vì p2 6= 0 thực hiện luật giản ước ta được
p3 ...pm = u1 u2 q3 ...qn .
Tiếp tục quá trình trên sau khi giản ước hết ở một vế ta được đẳng
thức 1 = u1 ...um .qm+1 ...qn ( với m ≤ n ).
Còn nếu n ≤ m thì ta lại có pn+1 ...pm = u1 ...un .
Nên m = n và pi ∼ qi , i = 1, n.
Ví dụ: Trong vành các số nguyên Z ta có:
20 = 2.2.5 = (−2).2.(−5) = 2.(−2).(−5)
.
Nhận xét:
Trong sự phân tích các nhân tử bất khả quy, nhân tử pi có thể xuất
hiện αi lần, khi đó ta viết gộp lại thành:
x = pα1 1 pα2 2 ...pαk k
với p1 , p2 , ..., pk là các phần tử bất khả quy, α1 , α2 , ..., αk là các số tự
nhiên.
Hệ quả 1.1. Giả sử a và b là hai phần tử của một vành chính có dạng
phân tích như sau:
a = pα1 1 pα2 2 ...pαnn
b = pβ1 1 pβ2 2 ...pβnn
trong đó các pi là những phần tử bất khả quy, các αi , βi là những số tự
nhiên, i = 1, 2, ..., n.
Nguyễn Thị Như Quỳnh
12
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
Đặt λi = min(αi , βi ), với i = 1, 2, ..., n.
Thì khi đó phần tử d = pλ1 1 pλ2 2 ...pλnn là một ước chung lớn nhất của
a và b.
Tính chất 1.2.9. Giả sử K là trường các thương của vành chính A,
α ∈ K là một nghiệm của đa thức f (x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x +
a0 (ai ∈ A).
Thế thì α ∈ A.
Chứng minh
Ta có thể viết α = a/b, với a, b ∈ A nguyên tố cùng nhau. Vì
f (α) = 0 nên ta suy ra, sau khi thay bằng a/b và nhân với bn :
an + b(an−1 an−1 + .... + a1 abn−2 + a0 bn−1 )
Như vậy b chia hết cho an . Vì b nguyên tố với a nên áp dụng tiếp
hệ quả 2 ta được b chia hết cho a. Do đó b là phần tử khả nghịch của
A, tức là b−1 ∈ A, điều này kéo theo α = ab−1 ∈ A.
1.3
1.3.1
Vành Euclide
Định nghĩa
Định nghĩa 1.9. Giả sử X là một miền nguyên, X ∗ là tập hợp các
phần tử khác 0 của X. Miền nguyên X cùng với một ánh xạ (gọi là
ánh xạ Euclide )
δ : X∗ → N
từ X ∗ đến tập hợp các số tự nhiên N thỏa mãn các tính chất:
(1) Nếu b|a và a 6= 0 thì δ(b) ≤ δ(a);
Nguyễn Thị Như Quỳnh
13
K39B Sư phạm Toán
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
GVHD: Th.S Dương Thị Luyến
(2) Với hai phần tử a và b tùy ý của X, b 6= 0, có q và r thuộc X sao
cho a = bq + r và δ(r) < δ(b), nếu r 6= 0;
gọi là một vành Euclide.
Phần tử q gọi là thương và r gọi là dư. Nếu r = 0 thì b chia hết
cho a theo (1) ta có δ(b) ≤ δ(a). Như vậy điều kiện cần để một phần
tử b là ước của một phần tử a 6= 0 là δ(b) ≤ δ(a).
Ví dụ:
Vành số nguyên Z với ánh xạ:
δ : Z∗ → N
n 7→ δ(n) = |n|
là một vành Euclide.
Thật vậy, ta có Z là miền nguyên.
Với ∀m, n thuộc Z∗
Nếu m|n thì ta có a ∈ Z∗ sao cho n = ma.
Suy ra |n| = |ma| = |m|.|a| ≥ |m| Dấu ” = ” xảy ra khi |a| = 1.
Vậy δ(m) ≤ δ(n). Điều kiện thứ nhất thỏa mãn.
Với hai số nguyên m, n bất kỳ(m 6= 0). Khi đó sẽ tồn tại q và r
thuộc Z sao cho n = mq + r, hoặc r = 0(ta quay lại trường hợp trên),
hoặc 0 < r < |m|. Như vậy điều kiện thứ hai được thỏa mãn.
Chú ý rằng nếu số nguyên r thỏa mãn 0 ≤ r < |m| ⇒ |r| < |m| ⇒
δ(r) < δ(m)
Vậy Z là vành Euclide
Nguyễn Thị Như Quỳnh
14
K39B Sư phạm Toán