Về các bài toán np c và một số phương pháp giải

TRẦN THỊ DƯƠNG

VỀ CÁC BÀI TOÁN NP-C
VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chuyên ngành : Khoa học máy tính
Mã số
: 60480101

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2014

1

MỞ ĐẦU
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ,
đặc biệt là máy tính, người ta có khả năng giải quyết được nhiều bài toán rất
phức tạp.
Tuy nhiên, còn những vấn đề là ―không giải được‖ cho dù kỹ thuật máy
tính có phát triển và cũng có những vấn đề được xem là ―quá phức tạp‖, vượt
mọi khả năng tính toán thực tế vì mất quá nhiều thời gian. Việc nghiên cứu về
độ phức tạp của thuật toán đã cho phép chúng ta phân loại được các lớp bài
toán theo từng mức độ phức tạp khác nhau, và chỉ ra ranh giới giữa các lớp
bài toán giải được và những lớp bài toán không thể giải được trong thời gian
đa thức.
Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, lớp NP - C (NP - đầy đủ) là một
lớp các bài toán quyết định. Một bài toán L là NP - C nếu nó nằm trong lớp
NP (lời giải cho L có thể được kiểm chứng trong thời gian đa thức) và là NP Hard (mọi bài toán trong NP đều có thể quy về L trong thời gian đa thức).
Mặc dù bất kì lời giải nào cho mỗi bài toán đều có thể được kiểm chứng
nhanh chóng, hiện chưa có cách nào tìm ra được lời giải đó một cách hiệu
quả. Thời gian thực thi của tất cả các thuật toán hiện tại cho những bài toán
này đều tăng rất nhanh theo kích thước bài toán. Vì vậy ngay cả những trường
hợp có kích thước tương đối lớn đã đòi hỏi thời gian hàng tỷ năm để giải.
Các bài toán lớp NP - C là tập hợp các bài toán NP - Hard trong NP. Các
bài toán lớp NP - C được quan tâm nghiên cứu bởi khả năng kiểm chứng
nhanh chóng lời giải (NP) dường như có liên hệ với khả năng tìm kiếm nhanh
chóng lời giải (P). Hiện vẫn chưa biết được nếu mọi bài toán trong NP đều có
thể được giải quyết nhanh chóng hay không (đây chính là bài toán P so với

2

NP). Tuy nhiên, nếu bất kì một bài toán nào trong NP - C có thể được giải
quyết nhanh chóng, thì theo định nghĩa của NP - C, mọi bài toán trong NP đều
có thể được giải quyết nhanh chóng.
Các bài toán NP- C xuất hiện thường xuyên trong thực tế nên, mặc dù
chưa có giải thuật trong thời gian đa thức cho chúng, các nhà nghiên cứu vẫn
tìm cách giải quyết chúng thông qua các phương pháp khác như thuật toán
xấp xỉ, thuật toán gần đúng nhân tử hóa, v.v... Việc tìm hiểu và nghiên cứu
các phương pháp giải bài toán lớp NP- C là một trong những bài toán
mở của khoa học máy tính hiện nay. Vì vậy em đã chọn đề tài: Về các bài
toán NP-C và một số phương pháp giải để làm luận văn tốt nghiệp.
Cấu trúc của luận văn gồm: Phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương nội
dung, cụ thể:
Chương 1: Khái niệm các lớp bài toán P, NP, NP-C.
Trong chương này em giới thiệu chung về các lớp bài toán P, NP, NP –
C, minh họa bằng các ví dụ cụ thể và đưa ra mối quan hệ giữa lớp P, NP và
NP-C
Chương 2: Phương pháp tham và phương pháp nhánh cận giải một số bài
toán NP-C
Trong chương này em trình bày phương pháp tham giải bài toán về đồ
thị và phương pháp nhánh cận giải bài toán Ba lô, bài toán tìm đường đi ngắn
nhất.
Chương 3: Chương trình thử nghiệm
Chương này thể hiện chương trình cài đặt thuật toán nhánh cận giải bài toán
Ba lô.

3

Chƣơng 1: KHÁI NIỆM CÁC LỚP BÀI TOÁN P, NP, NP – C
1.1. Vài khái niệm cơ bản của lý thuyết độ phức tạp
1.1.1 Máy Turing tất định và không tất định
Máy Turing là một máy tính trừu tượng mô tả các quá trình tính toán
trên máy tính.
Máy Turing có hai loại: Máy Turing tất định (Deterministic Turing
Machine) và Máy Turing không tất định (Nondeterministic Turing
Machine) được mô tả như sau:
Máy Turing tất định
Mô tả cách làm việc của máy:
Máy Turing tất định gồm một bộ điều khiển hữu hạn trạng thái, một
đầu đọc và ghi, một băng vô hạn được chia thành từng ô vuông, mỗi ô có
thể lưu giữ một ký hiệu thuộc tập hữu hạn các ký hiệu.

Hình 1.1. Mô tả máy tính Turing tất định
Khởi đầu, một xâu Input được đặt trên một băng, đó là chuỗi ký hiệu
có chiều dài hữu hạn được chọn từ một bộ chữ cái. Những ô còn lại của
băng vô hạn theo cả hai bên phải và trái, chứa một ký hiệu đặc biệt là ký
hiệu trống ( diễn tả trạng thái ô không có ký hiệu nào).
Có một đầu đọc – ghi luôn chỉ vào một trong các ô của băng. Ta nói
rằng máy Turing đang đọc – ghi ô đó. Lúc khởi hoạt, đầu đọc – ghi nằm

4

tận bên trái của xâu Input.
Một bước hoạt động của máy Turing được quy định bởi một hàm phụ
thuộc trạng thái của bộ điều khiển và ký hiệu đang được đọc chuyển vị.
Trong một bước hoạt động, máy Turing sẽ:
- Thay đổi trạng thái. Trạng thái tiếp theo cũng chính là trạng thái hiện
tại.
- Ghi một ký hiệu băng vào ô đang được quét. Ký hiệu băng này thay
thế ký hiệu băng đang có ở ô vuông đó. Ký hiệu được ghi cũng có thể
chính là ký hiệu hiện đang ở đó.
- Di chuyển đầu đọc – ghi sang trái hoặc sang phải.
Một cách không hình thức, ta có thể định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1 Một máy Turing M tất định là một bộ M = (Q, Σ, Γ, δ,
q0, B, F)
Trong đó các thành phần của M có ý nghĩa như sau:
Q: là tập hữu hạn các trạng thái của bộ điều khiển hữu hạn.
Σ: Tập hữu hạn các chữ cái.
Γ: Tập đầy đủ các kí hiệu băng; Σ luôn là tập con của Γ
: Hàm chuyển vị, : Γ ×Q x {1, 0, 1}.Đối của (q, X) là một trạng
thái q và một kí hiệu băng X. Giá trị của (q, X) nếu được định nghĩa sẽ
là một bộ ba (p, Y, D) trong đó:
p: trạng thái tiếp theo
Y: Một ký hiệu thuộc Γ và sẽ được ghi vào ô đang được quét,
thay thế cho ký hiệu đang ở trong ô đó.
D: Một trong hai ký hiệu L (sang trái) hoặc R (sang phải) để chỉ
ra hướng di chuyển của đầu đọc – ghi.
q0: Trạng thái bắt đầu, một phần tử Q là trạng thái khởi đầu của bộ điều
khiển.
B: ký tự trắng (blank). B

Γ

F: Tập kiểm hợp các trạng thái kết thúc, một tập con của Q.

5

- Các chức năng và đặc trưng cơ bản của máy Turing tất định:

Ngôn ngữ xác định bởi máy Turing và ngôn ngữ đoán nhận được
Cho M = ( Q, Σ, Γ , δ, q0, B, F) là một máy tính Turing.
Một hình trạng của máy tính Turing M là một từ có dạng aqb, trong
đó a

Γ*, b

Γ*, biểu thị nội dung: trên băng có từ ab, đầu đọc - ghi nhìn

kí tự đầu b và máy ở trạng thái q. Hàm chuyển δ dho ta quy tắc chuyển đổi
các hình trạng. Nếu máy tính Turing M bắt đầu làm việc với hình trạng
q0w (trong đó w

Z*) và chuyển đổi liên tiếp sau một số hữu hạn bước đến

hình trạng kết thúc aFb ở trạng thái chấp nhận F, thì ta nói rằng máy tính
Turing M chấp nhận từ vào w.
Ta ký hiệu LM = {w\ w

Z*, M chấp nhận w).

Định nghĩa 1.2. Ngôn ngữ LM gọi là ngôn ngữ xác định bởi máy
Turing hay còn gọi là ngôn ngữ tương ứng với của máy tính Turing M.
Định nghĩa 1.3. Cho L là một ngôn ngữ trên bảng chữ cái Σ
Ngôn ngữ L gọi là đoán nhận được bởi máy tính Turing nếu tồn tại M
sao cho LM = L (tức là tồn tại một máy tính Turing sao cho ngôn ngữ tương
ứng của nó trùng với một ngôn ngữ cho trước L).
Ta nói máy tính Turing đoán nhận ngôn ngữ L.
Máy tính Turing không tất định
Máy tính Turing tất định là một dạng đặc biệt của máy tính Turing
không tất định.

Hình 1.2. Mô tả máy tính Turing không tất định

6

Nhưng máy tính Turing không tất định có một hàm chuyển vị

sao

cho mỗi trạng thái q và ký hiệu đọc được (q, X) là một bộ ba {(q1, Y1, D1),
(q2, Y2, D2),… (qk, Yk, Dk), trong đó k là một số nguyên hữu hạn nào đó. Tại

mỗi bước máy tính Turing không tất định có thể chọn một trong các bộ ba
để thực hiện bước chuyển tiếp theo. Tuy nhiên nó không thể lấy một trạng
thái từ một trong các bộ ba này, một ký hiệu băng từ bộ ba khác và một
hướng lại từ bộ ba khác nữa.
So sánh hai định nghĩa trên ta thấy máy tính Turing không tất định
được định nghĩa một cách hình thức giống máy tính Turing tất định có
thêm môđun phỏng đoán, nhằm để có thể chọn bước thực thi kế tiếp tùy ý
trong một tập cho trước các lệnh và có khả năng xử lý song song các
phỏng đoán.
1.1.2 Bài toán quyết định và ngôn ngữ tƣơng ứng
Định nghĩa 1.4 Cho một tập các dữ kiện (instance) và câu hỏi (question)
trên các dữ kiện thuộc tập đó. Bài toán quyết định là bài toán mà câu trả lời
của nó là ―Yes‖ hay ―No‖ (tương ứng với True/1 hay False/0)
Sau đây là vài ví dụ minh họa cho bài toán quyết định:
Ví dụ 1.1: Bài toán kiểm tra số nguyên tố
Instance: một số nguyên n > 2
Question: n có phải số nguyên tố hay không?
Ví dụ 1.2: Bài toán HC ( Hamilton Cycle)
Instance: đồ thị vô hướng G = (V, E)
Question: đồ thị vô hướng G = (V, E) có chu trình Hamilton hay không?
Về nguyên tắc mọi bài toán đều có thể biểu diễn lại dưới bài toán quyết định
tương ứng.
Ngôn ngữ tƣơng ứng với bài toán quyết định:
Giả sử cho một bài toán quyết định π với tập các dữ kiện I được biểu
diễn bởi các xâu trên bảng chữ cái Σ nào đó, và với question Q trên tập

7

I. Ký hiệu L(π) là tập các xâu (thuộc Σ* ) biểu diễn các dữ kiện mà câu
hỏi Q có trả lời “đúng”. Khi đó ta nói ngôn ngữ L(π) là ngôn ngữ tương
ứng với bài toán π.
2.3.1 Thời gian tính của một máy tính Turing
Cho trước một bài toán quyết định π với tập các dữ kiện I được biểu
diễn bởi các xâu trên bảng chữ cái Σ nào đó, với câu hỏi Q trên tập I. Ký
hiệu L(π) là tập các xâu (thuộc Z* ) biểu diễn các dữ kiện của một instance
cụ thể của bài toán π. Ta biết rằng ngôn ngữ L(π) là một ngôn ngữ tương
ứng với bài toán π. Với mỗi instance I cụ thể, ta sẽ có một input biểu diễn
nó, mà ta ký hiệu là x(I). Bây giờ ta có thể biểu diễn thời gian tính của bài
toán π đối với một máy tính Turing cho trước. Với một input x(I)

L(π),

máy tính sẽ chạy cho đến lúc dừng tại trạng thái ―Yes/No‖. Thời gian tính
x(I) sẽ là số bước đoán nhận xâu x(I) của máy cho tới khi máy dừng lại.
Thông thường số bước chạy máy này phụ thuộc vào I, và tất nhiên là một
hàm số của độ dài biểu diễn I, tức là độ dài của xâu x(I).
Bằng cách đó ta định nghĩa: TM(n):= max{m: tồn tại một xâu x

Z*

với |x| = n mà thời gian đoán nhận xâu là m}
Một máy tính Turing (hay một chương trình tính toán trên cơ sở máy
tính Turing) được nói là có thời gian tính toán đa thức (gọi tắt là thời gian
đa thức) nếu như tồn tại một đa thức p(n) sao cho mọi số tự nhiên n ta có
TM(n) ≤ p(n). Khi đó ta cũng nói rằng chương trình máy tính Turing có độ
phức tạp tính toán không vượt quá p(n).
1.1.4. Lớp P, NP và mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP
Định nghĩa l.5 ( Lớp P - Polynomial time)
Ta gọi lớp P là lớp những bài toán quyết định giải được bằng máy tính
Turing tất định trong thời gian đa thức.

8

Một bài toán quyết định π là giải được trong thời gian đa thức, nếu
ngôn ngữ L(π) tương ứng với nó thuộc lớp P, tức nó đoán nhận được trong
thời gian đa thức.
Như vậy, lớp P gần như tương ứng với lớp các bài toán quyết định giải
được trong thời gian đa thức, về mặt lý thuyết, có thể xem là lớp các bài toán
dễ.
Ví dụ 1.3: Bài toán kiểm tra số nguyên tố
Instance: một số nguyên n > 2
Question: n có phải là số nguyên tố hay không?
Ví dụ 1.4: Thuật toán Kruskal tìm cây khung bé nhất của một đồ thị có
m nút và e cạnh.
Instance: một đồ thị có m nút và e cạnh
Question: tìm cây khung bé nhất?
Định nghĩa l.6 ( Lớp NP - Nondeterministic Polynomial)
Ta gọi lớp NP là lớp các bài toán quyết định có thể giải được bằng máy
tính Turing không tất định trong khoảng thời gian đa thức.
Một cách không hình thức, chúng ta nói một ngôn ngữ L thuộc lớp NP
nếu có một máy tính Turing không tất định và một độ phức tạp thời gian T(n)
sao cho L = LM và khi M được cho nguyên liệu có chiều dài n thì không có
dãy bước chuyển nào của M vượt quá T(n) bước chuyển.

Ví dụ 1.5: Bài toán chu trình Hamilton
Instance: đồ thị vô hướng G = (V, E)
Question: đồ thị vô hướng G = (V, E) có chu trình Hamilton hay không?

9

Để nói về mối quan hệ giữa lớp P và lớp NP ta thấy do máy tính Turing
tất định là trường hợp đặc biệt của máy tính Turing không tất định nên các bài
toán thuộc lớp P sẽ thuộc lớp NP.
Tuy P

NP là rất hiển nhiên song ta vẫn chưa biết P = NP hay không,

nhưng hầu hết các nhà nghiên cứu đều tin rằng P

NP. Từ đó ta có mô hình

mô phỏng sau:

NP

P

Hình 1.3 Mối quan hệ giữa lớp P và NP
1.1.5 Phép dẫn với thời gian đa thức (Polynomial Time Reduction)
Giả sử ta muốn giải quyết bài toán π1 ( trong đó π1: I1 —> {Yes/ No})
mà ta có thuật toán cho bài toán π2 (trong đó π2: I2 —> {Yes/ No}, giả sử ta
có hàm f: I1 —> I2 mà dữ kiện x của π1 sinh ra dữ kiện f(x) cho π2 sao cho
câu trả lời đúng cho π1 trên x là ―Yes‖ nếu và chỉ nếu câu trả lời đúng cho π2
trên f(x) là ―Yes‖ và ngược lại, thì ta có thể sử dụng thuật toán cho π2 để giải
quyết bài toán π1.
Định nghĩa 1.7
Cho π1 và π2 là hai bài toán quyết định, πi (Y) là lớp các Instance ứng
với YES, πi (N) là lớp các Instance ứng với No.

10

Một cách biến đối f biến mỗi Instance của π1 thành Instance của π2 được
gọi là phép dẫn thời gian đa thức nếu nó thỏa mãn:
- Phép dẫn f thực hiện được trong thời gian đa thức bởi máy tính
Turing.
- Mỗi dữ kiện π1 (Y) thành dữ kiện thuộc π2 (Y)
- Mỗi dữ kiện π1 (N) thành dữ kiện thuộc π2 (N)

Thuật toán π1
Dữ
kiện
π1

f(x)
Thuật toán π2

f
Dữ kiện π2

Yes/No

Hình 1.4 Một phép dẫn bài toán π1 thành π2 trong thời gian đa thức
Có thể phát biểu bằng lời như sau: nếu bài toán π1 có thể dẫn được về
bài toán π2 trong thời gian đa thức, và giải được bài toán π2 trong thời gian đa
thức, thì ta sẽ giải được bài toán π1 trong thời gian đa thức. Theo nghĩa thời
gian đa thức thì bài toán π2 khó hơn hoặc bằng bài toán π1 .
Địnhnghĩa 1.8 f là phép dẫn đa thức từ π1 về π2
1. f có thể được tính trong thời gian đa thức.
2. Với dữ kiện đầu vào x cho bài toán π1 câu trả lời đúng cho bài
toán π2 trên f (x) là giống như câu trả lời đúng cho π1 trên x.
Định nghĩa 1.9 Bài toán quyết định π1 dẫn về bài toán quyết định π2

11

trong thời gian đa thức, nếu tồn tại một phép dẫn với thời gian đa thức từ π1 về
π2.
Ta viết π1 π2
Định lý 1.1 Nếu π1

π2 và π2 P thì π1 P (và tương tự nếu π2 P thì π1

P).
Ví dụ 1.4 Bài toán chu trình Hamilton:
Instance: đồ thi vô hướng G = (V, E)
Question: đồ thị vô hướng G = (V, E) có chu trình Hamilton hay không?
Ví dụ 1.5 Bài toán Traveling Salesman ( người bán hàng ):
Instance: n thành phố C ={ C1, C2, ..., Cn} với d (Ci, Cj) là khoảng cách
giữa hai thành phố Ci vàCj. Một giới hạn W

Z+ (Z+ là tập các số nguyên

dương).
Question: Người bán hàng có đi một vòng khắp các thành phố và quay
về thành phố ban đầu với tổng độ dài không vuợi quá W hay không ? Tức là
có tồn tại hoán vị π trên {1, 2, .., n} sao cho:
+ d (cπ (i), cπ (i-1))

W?

Ta sẽ chỉ ra bài toán chu trình Hamilton dẫn về bài toán người bán hàng:
cho trước đồ thị G = (V, E) gồm m đỉnh, phép biến đổi f là phép nối thêm các
cạnh (x, y) cho hai đỉnh không kề nhau x, y trong G và gán trọng số cho các
cạnh có sẵn của đồ thị bằng 1 và trọng số các cạnh được nối thêm là 2. Đồ thị
thu được , ký hiệu là f(G). Ta chọn W = m.
Dễ dàng thấy G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi f(G) có một chu
trình Hamilton với tổng trọng số các cạnh bằng m.
Giới hạn W đối với độ dài tuyến đường mong muốn là một bộ bằng m.
Ta thấy rằng phép dẫn f này có thể tính được bởi một thuật toán thời gian đa

12

thức. Với mỗi trọng số:

các khoảng cách d(v1, v2) mà phải cụ thể

hóa, thì cần thiết kiểm tra G để xem {(v1, v2} có phải là một cạnh của E hay
không?
Như vậy tính chất thứ nhất của yêu cầu được thỏa mãn.
Để chứng minh yêu cầu thứ hai được thỏa mãn, chúng ta phải chỉ ra rằng
G có chứa chu trình Hamilton khi và chỉ khi có tuyến đường đi qua tất cả các
thành phố trong hàm f (G) mà có tổng độ dài tuyến đường

W.

Trước tiên, giả sử (v1, v2..., vm) là một chu trình Hamilton cho G sau đó
(v1, v2..., vm) cũng là một tuyến đường trong f(G) và tuyến đường này có tổng
độ dài m = W, bởi vì mỗi khoảng cách giữa các thành phố tương đương với
một cạnh đồ thị G và như vậy có độ dài từ 1( từ đỉnh này đến đỉnh kia có cạnh
nối trực tiếp).
Ngược lại, giả sử (v1, v2..., vm) là tuyến đường trong f(G) với tổng độ
dài nhỏ hơn hoặc bằng W. Do bất kỳ hai thành phố hoặc là có đường đi trực
tiếp hoặc là gián tiếp và độ dài giữa m thành phố như vậy được cộng lại để
tính độ dài của tuyến đường. Thực tế W = m cho biết mỗi cặp các thành phố
đã đi qua là khoảng cách trực tiếp. Với định nghĩa:
f (G)  {vi, vi+1,} (trong đó i

là các cá các cạnh của đồ thị G.

Chính vì thế (v1, v2..., vm) là một chu trình Hamilton cho đồ thị G.
Như vậy, ta đã chỉ được rằng bài toán chu trình Hamilton dẫn được về
bài toán người bán hàng. Tuy rằng chứng minh này đơn giản nhưng nó chứa
toàn bộ những yếu tố cần thiết cho phép dẫn với thời gian đa thức và từ đó ta
có thể sử dụng một dạng về cách thức cấu trúc những bằng chứng như vậy.
Ý nghĩa cho định lý l.1 cho các bài toán quyết định giờ đây có thể được
minh họa dưới dạng dưới bài toán chu trình Hamilton và bài toán người bán
hàng, và ta có thể kết luận rằng nếu người bán hàng có thể được giải quyết

13

bằng một thuật toán trong thời gian đa thức thì chu trình Hamilton cũng được
giải quyết trong thời gian đa thức.
Ngược lại, nếu bài toán chu trình Hamilton là bài toán không giải quyết
được trong thời gian đa thức thì bài toán người bán hàng cũng như vậy.

1.2. Các bài toán NP-C trong lý thuyết đồ thị, trong quy hoạch
nguyên
Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, lớp NP-C là một lớp các bài toán
quyết định. Lớp NP-C được quan tâm nghiên cứu bởi khả năng kiểm chứng
nhanh chóng lời giải (NP) dường như có liên hệ với khả năng tìm kiếm nhanh
chóng lời giải (P). Hiện vẫn chưa biết được nếu mọi bài toán trong NP đều có
thể được giải quyết nhanh chóng hay không. Tuy nhiên, nếu bất kì một bài
toán nào trong NP-C có thể được giải quyết nhanh chóng, thì theo định nghĩa
của NP-C, mọi bài toán trong NP đều có thể được giải quyết nhanh chóng.
1.2.1 Lịch sử lớp các bài toán NP - C
Khái niệm NP- C được đưa ra bởi Stephen Cook năm 1971 trong bài báo
mang tên "The complexity of theorem-proving procedures".Tuy nhiên tên gọi
NP- C không xuất hiện trong bài báo này mà được đưa ra sau này. Trong đó
Cook đã chứng minh định lý Cook-Levin (Leonid Levin cũng chứng minh
định lý này một cách độc lập cùng thời gian với Cook). Định lý này chứng
minh bài toán Circuit-SAT là NP-C. Năm 1972, Richard Karp chứng minh 21
bài toán khác cũng là NP-C. Từ sau đó đến nay, hàng nghìn bài toán đã được
chứng minh là NP-C. Nhiều bài toán quan trọng trong số đó được liệt kê trong
cuốn "Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NPCompleteness" của Garey và Johnson.
1.2.2 Bài toán lớp NP-C (Nondeterministic Polynomial -Complete)

14

Người ta đã chứng minh được rằng trong lớp NP có những bài toán khó
hơn bất kì bài toán nào khác trong lớp này, tức là nếu có thuật toán thời gian
đa thức để giải một bài toán nào đó trong số chúng thì cũng có thuật toán thời
gian đa thức để giải mọi bài toán trong lớp NP. Những bài toán như vậy được
gọi là NP - Complete (NP-C).
Định nghĩa 1.10 Một bài toán thuộc lớp NP mà mọi bài toán thuộc lớp
NP khác đều dẫn được về nó với thời gian đa thức được gọi là bài toán
NP-C.
Ví dụ 1.6: Bài toán Satisfiability problem hay còn được gọi là bài toán
SAT.
Bài toán SAT là các biểu thức Boole được xây dựng từ:
Các biến mang giá trị Boole; nghĩa là chúng nhận một trong hai giá trị:
giá trị 1(đúng) hoặc 0 (sai).
- Các toán tử hai ngôi kí hiệu ^ (cho phép AND) và kí hiệu (cho phép
OR).
- Các toán tử một ngôi ký hiệu

(đại diện cho phép Not).

- Các dấu ngoặc ( ) để nhóm các toán tử và toán hạng nhằm mục đích là
thay đổi độ ưu tiên của các toán tử.
- Bài toán SAT được phát biểu như sau:
Cho một biểu thức Boole, tồn tại hay không phép các biến cho giá trị
đúng / sai (T/F) để biểu thức nhận giá trị đúng (T)?
Bài toán SAT được phát biểu dưới dạng bài toán quyết định như sau:
Instance: Cho trước một tập hợp A các tục biến ( là các biến hoặc phủ
định của nó).
Trong đó, một tục biến là một tập hợp các biến hoặc phủ định của nó
chẳng hạn (v1, v4,

,v6)

15

Question: Tồn tại hay không một phép gán giá trị các biến sao cho tất cả
các tục biến của A đều có ít nhất một giá trị True
Bài toán SAT là bài toán đầu tiên được chứng minh là thuộc bài toán
NPC
Từ định nghĩa ta thấy một bài toán

là NP-C nếu nó thoả mãn đồng thời

hai điều kiện sau:
1.

NP

2.

Với

’ thuộc NP thì ’ dẫn được về

với thời gian đa

thức.
Như vậy để chứng minh một bài toán

là NP-C ta cần chứng minh hai

điều:
1.

Bài toán

phải thuộc lớp NP

2.

Mọi hai toán thuộc lớp NP đều dẫn được về bài toàn

với

phép dẫn thời gian đa thức.
Định lý 1.2. Nếu bài toán P1 là NP-C, P2 là NP và có một phép thu thời
gian đa thức từ P1 về P2 thì P2 cũng là NP-C.
Chứng minh:
Ta cần chứng tỏ rằng mỗi ngôn ngữ L thuộc NP đều thu được P2 trong
thời gian đa thức. Khi đó theo định nghĩa P2 sẽ thuộc NP-C.
Vì P1 là NP-C nên có một phép thu đa thức L về P1. Giả sử thời gian
của phép thu này là p(n). Vì thế có một chuỗi W
biến đổi thành một chuỗi x

L có chiều dài n được

P1 có chiều dài tối đa là p(n). Biết rằng có

một phép thu thời gian đa thức từ P1 về P2 .
Giả sử thời gian của phép thu này là q(m) thì phép thu này biến đổi
chuỗi x

P1

về một chuỗi y nào đó thuộc P2 với thời gian tối đa là

q(p(n)). Vì thế phép biến đổi W

L về y

P2 mất thời gian tối đa là p(n) +

16

q(p(n)). Đây cũng là một đa thức. Vậy có thể kết luận rằng L có thể thu về
P2 trong thời gian đa thức, tức là P2 cũng là NP-C.
Định lý 1.3. Nếu có một bài toán nào đó là NP-C mà lại thuộc lớp P thì
ta có P=NP.
Chứng minh: Giả sử có bài toán Q

NP-C và Q

P thì mọi ngôn ngữ L

trong NP đề thu được về Q trong thời gian đa thức. Nếu Q
Như vậy NP

P. Kết hợp với điều hiển nhiên P

P thì L

P.

NP ta được P = NP.

Ví dụ 1.7: Tập độc lập (Independent Set)
Cho G là một đồ thị vô hướng. Ta nói tập con I của các đỉnh thuộc G
là một tập độc lập nếu không có 2 đỉnh nào của I được nối bởi một cạnh của
G (tức là I là tập các đỉnh mà không có 2 đỉnh nào là liền kề nhau). Một tập
độc lập là cực đại nếu nó có nhiều nút nhất trong số các tập độc lập.
Đồ thị trong hình 1.5 có tập độc lập gồm các đỉnh {1, 4}. Đó cũng là tập độc
lập cực đại.
1

2

3

4

1

1

Hình 1.5 Ví dụ về tập độc lập

Bài toán:

Cho một đồ thị G. Tìm tập độc lập cực đại.

Giống như mọi bài toán trong lý thuyết các bài toán nan giải, ta sẽ
phát biểu bài toán trong dạng Yes/No. Để làm việc này ta đưa thêm một
cận dưới vào phát biểu của bài toán và diễn tả lại câu hỏi là: đồ thị đã cho có
một tập độc lập tối thiểu bằng với cận đó hay không.
Bài toán: Tập độc lập hay IS (Independent Set).

17

Instance: Một đồ thị G và một cận dưới k, 1 k

n, n là số đỉnh của G.

Question: Yes nếu và chỉ nếu G có một tập độc lập gồm k đỉnh.
Định lý 1.4. Bài toán tập độc lập là NP-C
Chứng minh:
Trước tiên dễ thấy rằng bài toán IS

NP.

Cho trước đồ thị G = (V, E) và một cận k. Đoán thử k nút và kiểm tra
chúng độc lập (có nhiều khả năng chọn k nút nên bài toán là NP).
Tìm cách thu bài toán 3SAT về IS.
Gọi

E = (e1)(e2)...(em) là một biểu thức 3-CNF. Ta xây dựng từ E

đồ thị G có 3m nút mà ta sẽ đặt tên là [i, j] với 1

I

m; j = 1, 2, 3. Nút [i, j]

biểu diễn nguyên đề (literal) thứ j trong phân đề (clause) ei.
Ví dụ 1.8.

Bài toán phủ đỉnh (vertex cover)

Phủ đỉnh của một đồ thị là tập các đỉnh sao cho mỗi cạnh liên thuộc với
ít nhất một đỉnh thuộc tập này.
Bài toán đặt ra là tìm phủ đỉnh bé nhất.
Bài toán phủ đỉnh và bài toán tập độc lập liên quan chặt chẽ với nhau:
Bù của một tập độc lập là một phủ đỉnh và ngược lại.
Thí dụ Trong đồ thị trên bù của phủ đỉnh là tập các đỉnh
{2, 4}. Hai đỉnh này độc lập nhau.
1

2

3

6

5

4

1

1

Hình 1.6. Thí dụ về phủ đỉnh

18

Chúng ta sẽ phát biểu bài toán phủ định dưới dạng bài toán quyết định
Yes/No:
Cho một đồ thị

G và một số k : 0 < k < /v/ 1.

Hỏi: ? Phủ đỉnh với số đỉnh

k.

Định lý 1.5 . Bài toán phủ đỉnh là NP-C.
Chứng minh:
a) Rõ ràng bài toán phủ đỉnh thuộc NP: Lấy một tập k đỉnh và kiểm tra
xem đó có phải là phủ đỉnh hay không tức là mỗi cạnh bất kỳ của G có một
đầu nằm trong tập đó.
b) Quy dẫn bài toán tập độc lập về bài toán phủ đỉnh. Trước hết nhận
xét rằng bù của một tập độc lập là một phủ đỉnh. Chẳng hạn trong hình 3.8
tập các nút không tô màu đỏ tạo thành một phủ đỉnh. Vì các nút đỏ là tập
độc lập cực đại nên các nút còn lại tạo thành một phủ đỉnh cực tiểu.
Xây dựng phép quy dẫn: Gọi G với một cận dưới k là một thể hiện của
bài toán tập độc lập. Nếu G có n nút, gọi G với cận trên n k là một thể hiện
của bài toán phủ đỉnh. Phép biến đổi này có thể thực hiện được trong thời
gian tuyến tính.
Ta khẳng định rằng:
G có tập độc lập kích thước k G có một phủ đỉnh kích thước n k.
Chứng minh:
• Đủ: Gọi N là tập các nút của G và C là phủ đỉnh với kích thước n k.
Ta chứng minh: N\ C là một tập độc lập. Giả sử không phải, nghĩa là tồn tại
cặp đỉnh v, w N\ C sao cho có cạnh nối chúng thuộc G. Thế thì, vì v, w C, cạnh
(v, w) G không được phủ bởi C. Mâu thuẫn. Như vậy N \ C là tập độc lập với k
nút.
• Cần: Giả sử I là tập độc lập có k nút. Ta sẽ chứng minh rằng
N \ I là một phủ đỉnh có n k nút. Ta cũng chứng minh bằng phản chứng. Giả

19

sử N \ I không phải là phủ đỉnh. Khi đó tồn tại một cạnh (v, w) không được
phủ bởi N\ I, tức là cả v, w N \ I v, w I. Mâu thuẫn vì I là tập độc lập.
1.2.3 Một số bài toán NP-C khác
Quá trình khám phá các bài toán thuộc loại NP-C cho biết rằng có rất ít
cơ hội phát triển được một thuật toán hiệu quả để giải nó. Và để giải các bài
toán NP-C đó thường dùng các phương pháp tìm kiếm các heuristic, các lời
giải từng phần, các xấp xỉ và những cách khác nhằm tránh giải trực diện bài
toán.
Mọi bài toán NP-C đều đòi hỏi thời gian mũ để giải. Sau đây là một số
ví dụ về bài toán NP-C.
Ví dụ 1.9 Bài toán tô màu đồ thị (Graph k-colorability, k 3)
Instance: Đồ thị

G = (V, E), số nguyên dương k.

Question: Có cách tô k màu cho các đỉnh của G hay không, tức là tồn
tại hay không một hàm f : V

{1, 2, ..., k} sao cho nếu (u, v)

E thì f (u) ≠ f (v).

Người ta đã chứng minh được rằng bài toán Graph 2- color giải được
trong thời gian đa thức, còn tất cả các bài toán Graph k-color với k

3 đều

là NP-C.
Ví dụ 1.10: Bài toán Hamilton Cycle
Bài toán chu trình Hamilton là bài toán đi xác định xem với một đồ thị G
= (V, E) cho trước có chứa một chu trình Hamilton (chu trình đơn chứa mọi
đỉnh của G). Bài toán được phát biểu dưới dạng bài toán quyết định như sau:
Instance: Cho đồ thị G = (V, E).
Question: G có chứa một chu trình đơn đi qua mọi đỉnh hay không?
Ví dụ 1.11. Bài toán ba lô (knapsack problem) nguyên